Pythagoreische Identitäten

Schreibe bei jeder Aufgabe deinen Lösungsweg auf.

1.
Was ist die grundlegende pythagoreische Identität?
1. a)
2. b)
3. c)
4. d)
Lösung:
Die grundlegende pythagoreische Identität ist . Sie leitet sich aus der Einheitskreisdefinition ab, wobei und .
2.
Welche Identität ist ?
1. a)Quotientenidentität
2. b)Erste pythagoreische Identität
3. c)Zweite pythagoreische Identität
4. d)Dritte pythagoreische Identität
Lösung: Zweite pythagoreische Identität
ist die zweite pythagoreische Identität. Sie wird durch Division von durch abgeleitet.
3.
Wenn , was ist ?
Lösung: 0.64
Mit : , also .
4.
Vereinfache:
Lösung: 1
Aus können wir umstellen zu .
5.
Wenn und im ersten Quadranten liegt, was ist ?
1. a)
2. b)
3. c)
4. d)
Lösung:
ergibt , also und (positiv in Q1).
6.
Wenn und im vierten Quadranten liegt, finde . Gib als Bruch ein (z.B. -3/5).
Lösung: -3/5
ergibt . Da in Q4 liegt, ist .
7.
Leite aus der Grundidentität her.
Lösung: 1 + cot^2(theta) = csc^2(theta)
1. Beginne mit der Grundidentität. Wie lautet sie? sin^2(theta) + cos^2(theta) = 1
2. Um Kotangens und Kosekans zu erhalten, dividiere beide Seiten durch welche Funktion zum Quadrat? sin^2(theta)
3. Nach dem Dividieren, was wird aus ? 1
4. Was ist in Bezug auf Kotangens? cot^2(theta)
8.
Vereinfache:
1. a)
2. b)
3. c)
4. d)
Lösung:
Aus erhalten wir .
9.
Wenn und im dritten Quadranten liegt, finde .
Lösung: -5/4
1. Welche pythagoreische Identität verbindet Tangens und Sekans? 1 + tan^2(theta) = sec^2(theta)
2. Was ist wenn ? 9/16
3. Was ist ? 25/16
4. Im dritten Quadranten, ist Sekans positiv oder negativ? negativ
10.
Vereinfache: (Hinweis: Verwende die Identität zum Faktorisieren)
Lösung: 1 - cos(theta)
11.
Verifiziere die Identität:
Lösung: verified
1. Drücke durch Sinus und Kosinus aus: sin^2(theta)/cos^2(theta)
2. Setze in die linke Seite ein: . Welchen gemeinsamen Faktor kannst du bilden? sin^2(theta)
3. Nach dem Ausklammern: . Vereinfache die Klammer. (1 - cos^2(theta))/cos^2(theta)
4. Verwende für die Endform. tan^2(theta) * sin^2(theta)
12.
Wenn , was ist ?
1. a)
2. b)
3. c)
4. d)
Lösung:
. Also , und .
13.
Vereinfache:
Lösung: 2sec^2(theta)
1. Was ist der gemeinsame Nenner? (1 - sin(theta))(1 + sin(theta))
2. Vereinfache den Nenner mit der dritten binomischen Formel: 1 - sin^2(theta)
3. Was ist gleich? cos^2(theta)
4. Was ist der Zähler nach dem Addieren der Brüche? 2
14.
Was ist ?
1. a)
2. b)
3. c)
4. d)
Lösung:
Nach der Grundidentität gilt für jeden Winkel . Obwohl , ist die Summe ihrer Quadrate immer 1.
15.
Wenn und im ersten Quadranten liegt, finde . Gib als Bruch ein.
Lösung: 13/12
ergibt . Also (positiv in Q1).