Quotientenidentitäten

Die **Quotientenidentitäten** schreiben Tangens und Kotangens als Quotienten (eine Division) von Sinus und Kosinus **desselben** Winkels: $$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} \qquad (\cos\theta \neq 0)$$ $$\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} \qquad (\sin\theta \neq 0)$$ ## Woher sie kommen: das rechtwinklige Dreieck Für einen spitzen Winkel $\theta$ in einem rechtwinkligen Dreieck gilt $\sin\theta = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$ und $\cos\theta = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$. Teilst du sie durcheinander, kürzt sich die Hypotenuse weg: $$\frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{\text{Gegenkathete}/\text{Hypotenuse}}{\text{Ankathete}/\text{Hypotenuse}} = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} = \tan\theta$$ ## Woher sie kommen: der Einheitskreis Der Winkel $\theta$ trifft den Einheitskreis im Punkt $P = (\cos\theta, \sin\theta)$. Die Steigung des Radius $OP$ ist $\frac{y}{x} = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$, und diese Steigung ist $\tan\theta$. Das gilt für **jeden** Winkel, nicht nur für spitze, deshalb stimmen die Vorzeichen in allen vier Quadranten. ## Wo sie definiert sind - $\tan\theta$ ist nicht definiert, wenn $\cos\theta = 0$ ist: bei $90°$, $270°$, ... (also $\theta = 90° + k \cdot 180°$). - $\cot\theta$ ist nicht definiert, wenn $\sin\theta = 0$ ist: bei $0°$, $180°$, $360°$, ... (also $\theta = k \cdot 180°$). ## Verbindung zu den Kehrwert-Identitäten Nach den Kehrwert-Identitäten ist $\cot\theta = \frac{1}{\tan\theta}$. Den Bruch $\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ umzudrehen ergibt $\frac{\cos\theta}{\sin\theta}$, beide Sichtweisen passen also zusammen, und $\tan\theta \cdot \cot\theta = 1$ gilt überall dort, wo beide definiert sind.

Tangens und Kotangens aus Sinus und Kosinus

Für einen Winkel $\theta$ gilt $\sin\theta = \frac{3}{5}$ und $\cos\theta = \frac{4}{5}$. Bestimme $\tan\theta$ und $\cot\theta$.

Schreibe die Quotientenidentität für den Tangens auf: $\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{3/5}{4/5}$ = Die beiden Brüche dividieren

Dividiere (die Fünftel kürzen sich): $\frac{3/5}{4/5} = \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{4} = \frac{3}{4}$ = $\tan\theta = \frac{3}{4}$

Verwende die Quotientenidentität für den Kotangens: $\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} = \frac{4/5}{3/5} = \frac{4}{3}$ = $\cot\theta = \frac{4}{3}$

Prüfe mit der Kehrwert-Identität: $\tan\theta \cdot \cot\theta = \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3} = 1$ = Stimmt

Answer: $\tan\theta = \frac{3}{4}$ und $\cot\theta = \frac{4}{3}$

Exakte Werte bei 60°

Bestimme mit $\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}$ und $\cos 60° = \frac{1}{2}$ die exakten Werte von $\tan 60°$ und $\cot 60°$.

Tangens ist Sinus durch Kosinus: $\tan 60° = \frac{\sqrt{3}/2}{1/2}$ = Oben und unten derselbe Nenner 2

Die Hälften kürzen: $\frac{\sqrt{3}/2}{1/2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{1} = \sqrt{3}$ = $\tan 60° = \sqrt{3}$

Kotangens ist Kosinus durch Sinus: $\cot 60° = \frac{1/2}{\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ = $\cot 60° = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Den Nenner rational machen: $\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ = $\cot 60° = \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0{,}577$

Answer: $\tan 60° = \sqrt{3} \approx 1{,}732$ und $\cot 60° = \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0{,}577$

In Sinus und Kosinus umschreiben

Vereinfache $\cot\theta \cdot \sin\theta \cdot \sec\theta$.

Ersetze $\cot\theta$ mit der Quotientenidentität: $\frac{\cos\theta}{\sin\theta} \cdot \sin\theta \cdot \sec\theta$ = Nur $\sec\theta$ muss noch umgeschrieben werden

Ersetze $\sec\theta$ mit der Kehrwert-Identität: $\frac{\cos\theta}{\sin\theta} \cdot \sin\theta \cdot \frac{1}{\cos\theta}$ = Alles steht in $\sin$ und $\cos$

Schreibe alles als einen Bruch: $\frac{\cos\theta \cdot \sin\theta}{\sin\theta \cdot \cos\theta}$ = Zähler und Nenner haben dieselben Faktoren

Kürzen: $\frac{\cos\theta \sin\theta}{\sin\theta \cos\theta} = 1$ = $1$ (für $\sin\theta \neq 0$ und $\cos\theta \neq 0$)

Answer: $\cot\theta \cdot \sin\theta \cdot \sec\theta = 1$

Eine kurze Vereinfachung

Vereinfache $\frac{\tan\theta}{\sin\theta}$.

Ersetze $\tan\theta$: $\frac{\tan\theta}{\sin\theta} = \frac{\sin\theta / \cos\theta}{\sin\theta}$ = Ein Bruch, geteilt durch $\sin\theta$

Durch $\sin\theta$ teilen heißt mit $\frac{1}{\sin\theta}$ multiplizieren: $\frac{\sin\theta}{\cos\theta} \cdot \frac{1}{\sin\theta}$ = $\sin\theta$ steht oben und unten

$\sin\theta$ kürzen: $\frac{1}{\cos\theta}$ = $\frac{1}{\cos\theta}$

Mit einer Kehrwert-Identität benennen: $\frac{1}{\cos\theta} = \sec\theta$ = $\sec\theta$

Answer: $\frac{\tan\theta}{\sin\theta} = \sec\theta$ (für $\sin\theta \neq 0$, $\cos\theta \neq 0$)

Ein Winkel im III. Quadranten

Der Winkel $\theta$ liegt im III. Quadranten und $\sin\theta = -\frac{5}{13}$. Bestimme $\tan\theta$ und $\cot\theta$.

Bestimme $\cos^2\theta$ mit der Pythagoreischen Identität: $\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169}$ = $\cos\theta = \pm\frac{12}{13}$

Wähle das Vorzeichen: im III. Quadranten ist $x < 0$: $\cos\theta < 0$ = $\cos\theta = -\frac{12}{13}$

Quotientenidentität für den Tangens: $\tan\theta = \frac{-5/13}{-12/13} = \frac{5}{12}$ = $\tan\theta = \frac{5}{12}$ (positiv, wie im III. Quadranten)

Quotientenidentität für den Kotangens: $\cot\theta = \frac{-12/13}{-5/13} = \frac{12}{5}$ = $\cot\theta = \frac{12}{5}$

Answer: $\tan\theta = \frac{5}{12}$ und $\cot\theta = \frac{12}{5}$

Die Quotientenidentitäten sind die Brücke, mit der du jeden trigonometrischen Term in Sinus und Kosinus umschreibst: - **Vereinfachen**: $\tan$ und $\cot$ als Brüche aus $\sin$ und $\cos$ zu schreiben ist der erste Schritt fast jeder Vereinfachung und jedes Beweises, die in diesem Thema folgen - **Exakte Werte**: Kennst du $\sin\theta$ und $\cos\theta$ (vom Einheitskreis oder aus einem Dreieck), bekommst du $\tan\theta$ und $\cot\theta$ mit einer einzigen Division - **Steigungen und Winkel**: Die Steigung einer Geraden, einer Straße oder einer Rampe ist der Tangens ihres Steigungswinkels - **Physik**: Ein Körper auf einer schiefen Ebene beginnt zu rutschen, wenn die Reibungszahl kleiner als $\tan\theta$ ist, und Schattenlängen berechnest du mit $\cot\theta$ - **Analysis**: Die Ableitung von $\tan x$ findest du, indem du $\frac{\sin x}{\cos x}$ schreibst und die Quotientenregel anwendest

Mistake: $\tan\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}$ schreiben

Why: Der Bruch steht auf dem Kopf: Das ist der Kotangens. Am Einheitskreis ist der Tangens die Steigung $\frac{y}{x}$, und $y = \sin\theta$.

Correct: $\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ (Sinus oben, wie $y$ durch $x$) und $\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}$

Mistake: Behaupten, $\tan 90° = 0$ oder $\cot 0° = 0$

Why: Bei $90°$ ist der Kosinus $0$, und durch $0$ darfst du nicht teilen. Bei $0°$ ist der Sinus $0$, also hat der Kotangens den Nenner null.

Correct: $\tan 90° = \frac{1}{0}$ ist nicht definiert, und $\cot 0° = \frac{1}{0}$ ist nicht definiert. Der Graph von $\tan$ hat dort senkrechte Asymptoten.

Mistake: Zwei Winkel mischen: $\frac{\sin 40°}{\cos 20°} = \tan 20°$ oder $\tan 40°$

Why: Die Identität gilt nur, wenn Sinus und Kosinus **denselben** Winkel haben.

Correct: $\frac{\sin 40°}{\cos 40°} = \tan 40°$, aber $\frac{\sin 40°}{\cos 20°} \approx 0{,}684$ ist weder $\tan 20° \approx 0{,}364$ noch $\tan 40° \approx 0{,}839$.

Mistake: Das Vorzeichen in den Quadranten II, III und IV verlieren

Why: Oft wird für $\cos\theta$ oder $\sin\theta$ die positive Wurzel genommen, und dann ist $\tan\theta > 0$ überall.

Correct: Bestimme zuerst die Vorzeichen aus dem Quadranten: Im II. Quadranten ist $\sin > 0$, $\cos < 0$, also $\tan\theta < 0$; im III. Quadranten sind beide negativ, also $\tan\theta > 0$.

Skipisten und Straßensteigungen

Die Steigung eines Hangs (Höhenunterschied durch waagrechte Strecke) ist der Tangens seines Steigungswinkels. Ein Sensor im Handy misst Sinus und Kosinus der Neigung, und die App dividiert sie.

Ein Hang mit $\sin\theta = 0{,}6$ und $\cos\theta = 0{,}8$ hat $\tan\theta = 0{,}75$: Er fällt um $75$ m pro $100$ m waagrechter Strecke.

Reibung auf einer Rampe

Eine Kiste auf einer Rampe bleibt liegen, solange die Haftreibungszahl $\mu$ mindestens $\tan\theta$ ist. Ingenieure bestimmen damit, wie steil Förderbänder und Laderampen sein dürfen.

Auf einer Rampe mit $\tan\theta = 0{,}5$ bleibt eine Kiste mit $\mu = 0{,}6$ liegen, eine Kiste mit $\mu = 0{,}4$ rutscht.

Schattenlängen

Steht die Sonne unter dem Höhenwinkel $\theta$, wirft ein Mast der Höhe $h$ einen Schatten der Länge $h \cot\theta = h \cdot \frac{\cos\theta}{\sin\theta}$. Architekten planen damit Schatten und Sonnenlicht.

Steht die Sonne bei $45°$, ist $\cot 45° = 1$, also wirft jeder Gegenstand einen Schatten, der so lang ist wie er hoch ist.

$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ und $\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}$, immer für denselben Winkel $\theta$

Im rechtwinkligen Dreieck kürzt sich die Hypotenuse: $\frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$

Am Einheitskreis ist $\tan\theta$ die Steigung $\frac{y}{x}$ des Radius zum Punkt $(\cos\theta, \sin\theta)$, deshalb gilt sie in jedem Quadranten

$\tan\theta$ ist nicht definiert, wo $\cos\theta = 0$ ($90°$, $270°$, ...); $\cot\theta$ ist nicht definiert, wo $\sin\theta = 0$ ($0°$, $180°$, ...)

$\tan\theta \cdot \cot\theta = 1$ überall dort, wo beide definiert sind

Zum Vereinfachen schreibst du zuerst alles in $\sin$ und $\cos$ um und kürzt dann gemeinsame Faktoren

Q: Warum heißen sie Quotientenidentitäten?

A: Ein Quotient ist das Ergebnis einer Division. Diese Identitäten drücken $\tan$ und $\cot$ als eine Funktion geteilt durch eine andere aus: $\sin\theta \div \cos\theta$ und $\cos\theta \div \sin\theta$.

Q: Ist $\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}$ eine Quotientenidentität oder eine Kehrwert-Identität?

A: Beide Sichtweisen führen zum selben Ergebnis. Die Kehrwert-Identität sagt $\cot\theta = \frac{1}{\tan\theta}$; ersetzt du $\tan\theta$ durch $\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ und drehst den Bruch um, erhältst du die Quotientenform $\frac{\cos\theta}{\sin\theta}$. Die Quotientenform funktioniert sogar bei $90°$, wo $\tan$ nicht definiert ist, aber $\cot 90° = \frac{0}{1} = 0$.

Q: Warum haben $y = \tan x$ und $y = \frac{\sin x}{\cos x}$ denselben Graphen?

A: Weil es dieselbe Funktion ist. Beide haben senkrechte Asymptoten, wo $\cos x = 0$ ist ($x = \pm 90°, \pm 270°, ...$), und Nullstellen, wo $\sin x = 0$ ist. Schalte im Graphen oben die beiden Kurven ein und aus: Sie liegen genau übereinander.

Q: Kann ich eine Quotientenidentität mit dem Taschenrechner prüfen?

A: Ja. Gib im Gradmodus $\sin(40) / \cos(40)$ und $\tan(40)$ ein: Beide ergeben ungefähr $0{,}8391$. Eine Zahlenprobe bei einigen Winkeln ist ein guter Test, aber nur eine algebraische Begründung beweist eine Identität für alle Winkel.

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Quotientenidentitäten

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Trigonometrie / Trigonometrische Identitäten

Quotientenidentitäten

Lerne, warum der Tangens gleich Sinus durch Kosinus und der Kotangens gleich Kosinus durch Sinus ist, wo sie definiert sind und wie du damit Terme vereinfachst.

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