Quotientenidentitäten

Lerne, warum der Tangens gleich Sinus durch Kosinus und der Kotangens gleich Kosinus durch Sinus ist, wo sie definiert sind und wie du damit Terme vereinfachst.

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Definition

Die Quotientenidentitäten schreiben Tangens und Kotangens als Quotienten (eine Division) von Sinus und Kosinus desselben Winkels:
tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ(cos⁡θ≠0)\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} \qquad (\cos\theta \neq 0)
cot⁡θ=cos⁡θsin⁡θ(sin⁡θ≠0)\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} \qquad (\sin\theta \neq 0)

Woher sie kommen: das rechtwinklige Dreieck

Für einen spitzen Winkel θ\theta in einem rechtwinkligen Dreieck gilt sin⁡θ=GegenkatheteHypotenuse\sin\theta = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} und cos⁡θ=AnkatheteHypotenuse\cos\theta = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}. Teilst du sie durcheinander, kürzt sich die Hypotenuse weg:
sin⁡θcos⁡θ=Gegenkathete/HypotenuseAnkathete/Hypotenuse=GegenkatheteAnkathete=tan⁡θ\frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{\text{Gegenkathete}/\text{Hypotenuse}}{\text{Ankathete}/\text{Hypotenuse}} = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} = \tan\theta

Woher sie kommen: der Einheitskreis

Der Winkel θ\theta trifft den Einheitskreis im Punkt P=(cos⁡θ,sin⁡θ)P = (\cos\theta, \sin\theta). Die Steigung des Radius OPOP ist yx=sin⁡θcos⁡θ\frac{y}{x} = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}, und diese Steigung ist tan⁡θ\tan\theta. Das gilt für jeden Winkel, nicht nur für spitze, deshalb stimmen die Vorzeichen in allen vier Quadranten.

Wo sie definiert sind

  • tan⁡θ\tan\theta ist nicht definiert, wenn cos⁡θ=0\cos\theta = 0 ist: bei 90°90°, 270°270°, ... (also θ=90°+k⋅180°\theta = 90° + k \cdot 180°).
  • cot⁡θ\cot\theta ist nicht definiert, wenn sin⁡θ=0\sin\theta = 0 ist: bei 0°0°, 180°180°, 360°360°, ... (also θ=k⋅180°\theta = k \cdot 180°).

Verbindung zu den Kehrwert-Identitäten

Nach den Kehrwert-Identitäten ist cot⁡θ=1tan⁡θ\cot\theta = \frac{1}{\tan\theta}. Den Bruch sin⁡θcos⁡θ\frac{\sin\theta}{\cos\theta} umzudrehen ergibt cos⁡θsin⁡θ\frac{\cos\theta}{\sin\theta}, beide Sichtweisen passen also zusammen, und tan⁡θ⋅cot⁡θ=1\tan\theta \cdot \cot\theta = 1 gilt überall dort, wo beide definiert sind.

Probier es gleich aus

Welcher Term ist gleich tan⁡θ\tan\theta?

Lösungsbeispiele

Für einen Winkel θ\theta gilt sin⁡θ=35\sin\theta = \frac{3}{5} und cos⁡θ=45\cos\theta = \frac{4}{5}. Bestimme tan⁡θ\tan\theta und cot⁡θ\cot\theta.
1

Schreibe die Quotientenidentität für den Tangens auf

tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ=3/54/5\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{3/5}{4/5} → Die beiden Brüche dividieren
2

Dividiere (die Fünftel kürzen sich)

3/54/5=35⋅54=34\frac{3/5}{4/5} = \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{4} = \frac{3}{4} → tan⁡θ=34\tan\theta = \frac{3}{4}
3

Verwende die Quotientenidentität für den Kotangens

cot⁡θ=cos⁡θsin⁡θ=4/53/5=43\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} = \frac{4/5}{3/5} = \frac{4}{3} → cot⁡θ=43\cot\theta = \frac{4}{3}
4

Prüfe mit der Kehrwert-Identität

tan⁡θ⋅cot⁡θ=34⋅43=1\tan\theta \cdot \cot\theta = \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3} = 1 → Stimmt

Häufige Fehler

tan⁡θ=cos⁡θsin⁡θ\tan\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} schreiben

Warum es falsch ist: Der Bruch steht auf dem Kopf: Das ist der Kotangens. Am Einheitskreis ist der Tangens die Steigung yx\frac{y}{x}, und y=sin⁡θy = \sin\theta.

Richtig: tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} (Sinus oben, wie yy durch xx) und cot⁡θ=cos⁡θsin⁡θ\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}

Behaupten, tan⁡90°=0\tan 90° = 0 oder cot⁡0°=0\cot 0° = 0

Warum es falsch ist: Bei 90°90° ist der Kosinus 00, und durch 00 darfst du nicht teilen. Bei 0°0° ist der Sinus 00, also hat der Kotangens den Nenner null.

Richtig: tan⁡90°=10\tan 90° = \frac{1}{0} ist nicht definiert, und cot⁡0°=10\cot 0° = \frac{1}{0} ist nicht definiert. Der Graph von tan⁡\tan hat dort senkrechte Asymptoten.

Zwei Winkel mischen: sin⁡40°cos⁡20°=tan⁡20°\frac{\sin 40°}{\cos 20°} = \tan 20° oder tan⁡40°\tan 40°

Warum es falsch ist: Die Identität gilt nur, wenn Sinus und Kosinus denselben Winkel haben.

Richtig: sin⁡40°cos⁡40°=tan⁡40°\frac{\sin 40°}{\cos 40°} = \tan 40°, aber sin⁡40°cos⁡20°≈0,684\frac{\sin 40°}{\cos 20°} \approx 0{,}684 ist weder tan⁡20°≈0,364\tan 20° \approx 0{,}364 noch tan⁡40°≈0,839\tan 40° \approx 0{,}839.

Das Vorzeichen in den Quadranten II, III und IV verlieren

Warum es falsch ist: Oft wird für cos⁡θ\cos\theta oder sin⁡θ\sin\theta die positive Wurzel genommen, und dann ist tan⁡θ>0\tan\theta > 0 überall.

Richtig: Bestimme zuerst die Vorzeichen aus dem Quadranten: Im II. Quadranten ist sin⁡>0\sin > 0, cos⁡<0\cos < 0, also tan⁡θ<0\tan\theta < 0; im III. Quadranten sind beide negativ, also tan⁡θ>0\tan\theta > 0.

Interaktive Visualisierung

Beweise

tan⁡θcos⁡θ=sin⁡θ\tan\theta \cos\theta = \sin\theta

  1. Beginne mit der linken Seite

    tan⁡θcos⁡θ\tan\theta \cos\theta

Mit Zahlen prüfen

Linke Seite

tan⁡θcos⁡θ\tan\theta \cos\theta

= 0,5

Rechte Seite

sin⁡θ\sin\theta

= 0,5

Beide Seiten haben denselben Wert.

Funktionsgraph

-300-200-1000100200300-4-2024xyx = -270x = -90x = 90x = 270x = -270x = -90x = 90x = 270

Tippe auf den Graphen oder fahre mit der Maus darüber, um Werte abzulesen.

  • sin(a) = 0,5
  • cos(a) = 0,87
  • sin(a)/cos(a) = 0,58
  • tan(a) = 0,58
  • cos(a)/sin(a) = 1,73
  • cot(a) = 1,73

Tippe auf einen Namen, um den Graphen ein- oder auszublenden.

Asymptote

Einheitskreis

Grad

0°

Bogenmaß

0

sin(θ)

0

cos(θ)

1

tan(θ)

0

Koordinaten (cos, sin)

(1, 0)

Klicke und ziehe, um den Winkel im Einheitskreis zu drehen.

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Übungsaufgaben

18 Aufgaben
Aufgabe 1 von 18
Einfach
Welcher Term ist gleich tan⁡θ\tan\theta?

Warum es wichtig ist

Die Quotientenidentitäten sind die Brücke, mit der du jeden trigonometrischen Term in Sinus und Kosinus umschreibst:
  • Vereinfachen: tan⁡\tan und cot⁡\cot als Brüche aus sin⁡\sin und cos⁡\cos zu schreiben ist der erste Schritt fast jeder Vereinfachung und jedes Beweises, die in diesem Thema folgen
  • Exakte Werte: Kennst du sin⁡θ\sin\theta und cos⁡θ\cos\theta (vom Einheitskreis oder aus einem Dreieck), bekommst du tan⁡θ\tan\theta und cot⁡θ\cot\theta mit einer einzigen Division
  • Steigungen und Winkel: Die Steigung einer Geraden, einer Straße oder einer Rampe ist der Tangens ihres Steigungswinkels
  • Physik: Ein Körper auf einer schiefen Ebene beginnt zu rutschen, wenn die Reibungszahl kleiner als tan⁡θ\tan\theta ist, und Schattenlängen berechnest du mit cot⁡θ\cot\theta
  • Analysis: Die Ableitung von tan⁡x\tan x findest du, indem du sin⁡xcos⁡x\frac{\sin x}{\cos x} schreibst und die Quotientenregel anwendest

Anwendungen im echten Leben

Skipisten und Straßensteigungen

Die Steigung eines Hangs (Höhenunterschied durch waagrechte Strecke) ist der Tangens seines Steigungswinkels. Ein Sensor im Handy misst Sinus und Kosinus der Neigung, und die App dividiert sie.

Beispiel:

Ein Hang mit sin⁡θ=0,6\sin\theta = 0{,}6 und cos⁡θ=0,8\cos\theta = 0{,}8 hat tan⁡θ=0,75\tan\theta = 0{,}75: Er fällt um 7575 m pro 100100 m waagrechter Strecke.

1Probiere es selbst

Ein Neigungssensor auf einer Skipiste misst sin⁡θ=0,6\sin\theta = 0{,}6 und cos⁡θ=0,8\cos\theta = 0{,}8. Die Abfahrt ist waagrecht gemessen 200200 m lang.

Wie viele Meter Höhenunterschied hat die Abfahrt?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Höhenunterschied = tan⁡θ×\tan\theta \times waagrechte Strecke:

Reibung auf einer Rampe

Eine Kiste auf einer Rampe bleibt liegen, solange die Haftreibungszahl $\mu$ mindestens $\tan\theta$ ist. Ingenieure bestimmen damit, wie steil Förderbänder und Laderampen sein dürfen.

Beispiel:

Auf einer Rampe mit tan⁡θ=0,5\tan\theta = 0{,}5 bleibt eine Kiste mit μ=0,6\mu = 0{,}6 liegen, eine Kiste mit μ=0,4\mu = 0{,}4 rutscht.

2Probiere es selbst

Eine Laderampe hat sin⁡θ=941\sin\theta = \frac{9}{41} und cos⁡θ=4041\cos\theta = \frac{40}{41}. Eine Kunststoffkiste darauf hat die Haftreibungszahl μ=0,2\mu = 0{,}2.

Wie groß ist die kleinste Haftreibungszahl, bei der eine Kiste auf dieser Rampe liegen bleibt?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Kleinstes μ\mu = tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}:

Schattenlängen

Steht die Sonne unter dem Höhenwinkel $\theta$, wirft ein Mast der Höhe $h$ einen Schatten der Länge $h \cot\theta = h \cdot \frac{\cos\theta}{\sin\theta}$. Architekten planen damit Schatten und Sonnenlicht.

Beispiel:

Steht die Sonne bei 45°45°, ist cot⁡45°=1\cot 45° = 1, also wirft jeder Gegenstand einen Schatten, der so lang ist wie er hoch ist.

3Probiere es selbst

Mittags hat der Höhenwinkel der Sonne sin⁡θ=0,96\sin\theta = 0{,}96 und cos⁡θ=0,28\cos\theta = 0{,}28. Ein Fahnenmast ist 1212 m hoch.

Wie lang ist der Schatten des Fahnenmasts in Metern?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Schatten = 12⋅cos⁡θsin⁡θ12 \cdot \frac{\cos\theta}{\sin\theta}:

Wichtige Erkenntnisse

  • 1tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} und cot⁡θ=cos⁡θsin⁡θ\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}, immer für denselben Winkel θ\theta
  • 2Im rechtwinkligen Dreieck kürzt sich die Hypotenuse: sin⁡θcos⁡θ=GegenkatheteAnkathete\frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}
  • 3Am Einheitskreis ist tan⁡θ\tan\theta die Steigung yx\frac{y}{x} des Radius zum Punkt (cos⁡θ,sin⁡θ)(\cos\theta, \sin\theta), deshalb gilt sie in jedem Quadranten
  • 4tan⁡θ\tan\theta ist nicht definiert, wo cos⁡θ=0\cos\theta = 0 (90°90°, 270°270°, ...); cot⁡θ\cot\theta ist nicht definiert, wo sin⁡θ=0\sin\theta = 0 (0°0°, 180°180°, ...)
  • 5tan⁡θ⋅cot⁡θ=1\tan\theta \cdot \cot\theta = 1 überall dort, wo beide definiert sind
  • 6Zum Vereinfachen schreibst du zuerst alles in sin⁡\sin und cos⁡\cos um und kürzt dann gemeinsame Faktoren

Häufig gestellte Fragen

Ein Quotient ist das Ergebnis einer Division. Diese Identitäten drücken tan⁡\tan und cot⁡\cot als eine Funktion geteilt durch eine andere aus: sin⁡θ÷cos⁡θ\sin\theta \div \cos\theta und cos⁡θ÷sin⁡θ\cos\theta \div \sin\theta.
Ein Quotient ist das Ergebnis einer Division. Diese Identitäten drücken tan⁡\tan und cot⁡\cot als eine Funktion geteilt durch eine andere aus: sin⁡θ÷cos⁡θ\sin\theta \div \cos\theta und cos⁡θ÷sin⁡θ\cos\theta \div \sin\theta.
Beide Sichtweisen führen zum selben Ergebnis. Die Kehrwert-Identität sagt cot⁡θ=1tan⁡θ\cot\theta = \frac{1}{\tan\theta}; ersetzt du tan⁡θ\tan\theta durch sin⁡θcos⁡θ\frac{\sin\theta}{\cos\theta} und drehst den Bruch um, erhältst du die Quotientenform cos⁡θsin⁡θ\frac{\cos\theta}{\sin\theta}. Die Quotientenform funktioniert sogar bei 90°90°, wo tan⁡\tan nicht definiert ist, aber cot⁡90°=01=0\cot 90° = \frac{0}{1} = 0.
Weil es dieselbe Funktion ist. Beide haben senkrechte Asymptoten, wo cos⁡x=0\cos x = 0 ist (x=±90°,±270°,...x = \pm 90°, \pm 270°, ...), und Nullstellen, wo sin⁡x=0\sin x = 0 ist. Schalte im Graphen oben die beiden Kurven ein und aus: Sie liegen genau übereinander.
Ja. Gib im Gradmodus sin⁡(40)/cos⁡(40)\sin(40) / \cos(40) und tan⁡(40)\tan(40) ein: Beide ergeben ungefähr 0,83910{,}8391. Eine Zahlenprobe bei einigen Winkeln ist ein guter Test, aber nur eine algebraische Begründung beweist eine Identität für alle Winkel.

Glossar

Quotient
Das Ergebnis einer Division, zum Beispiel ist ab\frac{a}{b} der Quotient von aa und bb
Quotientenidentitäten
tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} und cot⁡θ=cos⁡θsin⁡θ\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}
Identität
Eine Gleichung, die für jeden Wert der Variablen gilt, für den beide Seiten definiert sind
Kotangens (cot⁡\cot)
Das Verhältnis cos⁡θsin⁡θ\frac{\cos\theta}{\sin\theta}, der Kehrwert des Tangens
Definitionsmenge
Die Menge der Winkel, für die ein Term definiert ist; für tan⁡θ\tan\theta alle Winkel mit cos⁡θ≠0\cos\theta \neq 0

Formelkarte

Tangens

tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}

Definiert für $\cos\theta \neq 0$

Kotangens

cot⁡θ=cos⁡θsin⁡θ\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}

Definiert für $\sin\theta \neq 0$

Produkt

tan⁡θ⋅cot⁡θ=1\tan\theta \cdot \cot\theta = 1

Wo beide definiert sind

Rechtwinkliges Dreieck

tan⁡θ=GegenkatheteAnkathete\tan\theta = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}

Die Hypotenuse kürzt sich in $\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$

Heutige ChallengeEine Aufgabe, drei Versuche

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