Trigonometrische Terme vereinfachen

Lösung: $\sin x$

$\cos x \cdot \frac{\sin x}{\cos x} = \sin x$: Der Faktor $\cos x$ kürzt sich weg.

Lösung: $\cos^2 x$

Ziehe auf beiden Seiten von $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ den Term $\sin^2 x$ ab: $1 - \sin^2 x = \cos^2 x$.

Lösung: 5

$\tan x \cot x = \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{\cos x}{\sin x} = 1$, also ist der Term $1 + 4 = 5$.

Lösung: $\sec x$

1. Mit Sinus und Kosinus: $\csc x \tan x = \frac{1}{\sin x} \cdot \frac{\sin x}{\cos x}$. Welcher Faktor kürzt sich? $\sin x$
2. Was bleibt nach dem Kürzen übrig? $\frac{1}{\cos x}$
3. Welche einzelne Funktion ist gleich $\frac{1}{\cos x}$? $\sec x$

Lösung: 1

1. Schreibe $\cot x$ mit Sinus und Kosinus. $\frac{\cos x}{\sin x}$
2. Schreibe $\sec x$ um. $\frac{1}{\cos x}$
3. Multipliziere: $\frac{\cos x}{\sin x} \cdot \sin x \cdot \frac{1}{\cos x} = ?$ 1

Lösung: $\cos x$

1. Berechne den ursprünglichen Term: $\dfrac{\sin 60°}{\tan 60°} = \dfrac{\sqrt{3}/2}{\sqrt{3}} = ?$ 0.5
2. Berechne die Antwort des Schülers: $\sin^2 60° = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = ?$ 0.75
3. Die Werte sind verschieden, also liegt der Schüler falsch. Die richtige Form ist $\cos x$. Was ist $\cos 60°$? 0.5

Lösung: $\tan x$

$\dfrac{1/\cos x}{1/\sin x} = \frac{1}{\cos x} \cdot \frac{\sin x}{1} = \frac{\sin x}{\cos x} = \tan x$.

Lösung: 2

$\sec^2 x - \tan^2 x = 1$ und $\csc^2 x - \cot^2 x = 1$, also ist die Summe $1 + 1 = 2$.

Lösung: 1

1. Durch $\csc x = \frac{1}{\sin x}$ teilen heißt mit $\sin x$ multiplizieren. Was wird aus $\dfrac{\sin x}{\csc x}$? $\sin^2 x$
2. Was wird genauso aus $\dfrac{\cos x}{\sec x}$? $\cos^2 x$
3. Was ist $\sin^2 x + \cos^2 x$? 1

Lösung: $\tan^2 x$

$\dfrac{1 - \cos^2 x}{1 - \sin^2 x} = \dfrac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = \tan^2 x$.

Lösung: 4

$\dfrac{4(1 - \cos^2 x)}{\sin x} = \dfrac{4\sin^2 x}{\sin x} = 4\sin x$, also $k = 4$.

Lösung: $1 + \cos x$

1. Ersetze $\sin^2 x$ mit einer Pythagoreischen Identität. $1 - \cos^2 x$
2. Faktorisiere $1 - \cos^2 x$ mit der dritten binomischen Formel. $(1 - \cos x)(1 + \cos x)$
3. Kürze $1 - \cos x$: Das Ergebnis ist $1 + \cos x$. Welchen Wert hat es bei $x = 60°$? 1.5

Lösung: $\sin^3 x$

1. Klammere den gemeinsamen Faktor aus. $\sin x(1 - \cos^2 x)$
2. Ersetze $1 - \cos^2 x$ durch $\sin^2 x$. Der Term wird zu $\sin^n x$: Was ist $n$? 3
3. Berechne $\sin^3 30° = \left(\frac{1}{2}\right)^3$ als Dezimalzahl. 0.125

Lösung: $2\tan x$

Zähler: $\cos x(1 + \sin x) - \cos x(1 - \sin x) = 2\sin x\cos x$. Nenner: $1 - \sin^2 x = \cos^2 x$. Also $\dfrac{2\sin x\cos x}{\cos^2 x} = \dfrac{2\sin x}{\cos x} = 2\tan x$.

Lösung: 8

$\dfrac{(1 + \sin x) + (1 - \sin x)}{1 - \sin^2 x} = \dfrac{2}{\cos^2 x} = 2\sec^2 x$. Bei $60°$: $\cos 60° = \frac{1}{2}$, also $\sec^2 60° = 4$ und der Wert ist $2 \cdot 4 = 8$.

Lösung: $\sec x - 1$

1. Ersetze $\tan^2 x$ mit einer Pythagoreischen Identität. $\sec^2 x - 1$
2. Faktorisiere den Zähler $\sec^2 x - 1$. $(\sec x - 1)(\sec x + 1)$
3. Kürze $\sec x + 1$: Das Ergebnis ist $\sec x - 1$. Berechne es bei $x = 60°$. 1

Lösung: 2

1. Multipliziere $(\sin x + \cos x)^2$ aus. $\sin^2 x + 2\sin x\cos x + \cos^2 x$
2. $(\sin x - \cos x)^2 = \sin^2 x - 2\sin x\cos x + \cos^2 x$. Was ergeben die mittleren Glieder $2\sin x\cos x$ und $-2\sin x\cos x$, wenn du beide addierst? 0
3. Was übrig bleibt: $2\sin^2 x + 2\cos^2 x = 2(\sin^2 x + \cos^2 x) = ?$ 2

Lösung: 1

$\tan x + \cot x = \dfrac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cos x} = \dfrac{1}{\sin x \cos x}$ und $\sec x \csc x = \dfrac{1}{\sin x \cos x}$, also ist der Quotient $1$.