Trigonometrische Identitäten beweisen

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Schreibe bei jeder Aufgabe deinen Lösungsweg auf.

1.
Welche Aussage ist eine Identität (wahr für jeden erlaubten Winkel $x$ )?
1. a) $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$
2. b) $\sin x = \cos x$
3. c) $\sin x + \cos x = 1$
4. d) $\tan x = 1$
2.
Prüfe die Identität $(1 + \tan^2 x)\cos^2 x = 1$ bei $x = 60°$ . Welchen Wert hat die linke Seite? Verwende $\tan 60° = \sqrt{3}$ und $\cos 60° = \frac{1}{2}$ .
3.
Prüfe numerisch, dass $\tan x \cos x = \sin x$ bei $x = 30°$ gilt.
4.
Welcher Schritt ist beim Beweisen einer Identität NICHT erlaubt?
1. a) $\tan x$ auf einer Seite als $\frac{\sin x}{\cos x}$ schreiben
2. b)Einen gemeinsamen Faktor in einem Bruch kürzen
3. c)Beide Seiten durch $\cos x$ dividieren
4. d)Eine Seite mit $\frac{1 + \cos x}{1 + \cos x}$ multiplizieren
5.
Zeige, dass $\sin(2x) = 2\sin x$ KEINE Identität ist: Berechne linke Seite minus rechte Seite bei $x = 90°$ .
6.
Beweise, dass $\sin x \cot x = \cos x$ gilt.
7.
Was ist der beste erste Schritt, um $\dfrac{\sin x}{1 + \cos x} = \dfrac{1 - \cos x}{\sin x}$ zu beweisen, wenn du links startest?
1. a)Beide Seiten quadrieren
2. b)Auf beiden Seiten $\cos x$ addieren
3. c)Zähler und Nenner mit $1 - \cos x$ multiplizieren
4. d)Zähler und Nenner mit $1 + \cos x$ multiplizieren
8.
Berechne die rechte Seite von $\sec x - \cos x = \sin x \tan x$ bei $x = 60°$ . Verwende $\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}$ und $\tan 60° = \sqrt{3}$ .
9.
Beweise, dass $\cos x\,(\sec x - \cos x) = \sin^2 x$ gilt.
10.
Beweise, dass $\dfrac{1}{1 - \cos x} + \dfrac{1}{1 + \cos x} = 2\csc^2 x$ gilt.
11.
Welcher Winkel ist ein Gegenbeispiel, das zeigt, dass $\sin x + \cos x = 1$ keine Identität ist?
1. a) $360°$
2. b) $90°$
3. c) $45°$
4. d) $0°$
12.
Berechne $\dfrac{1 - \sin^2 x}{1 - \cos^2 x}$ bei $x = 30°$ .
13.
Widerlege die Behauptung $(\sin x + \cos x)^2 = 1$ und finde, was die linke Seite wirklich ergibt.
14.
Welchem Term ist $\dfrac{1}{1 - \sin x} - \dfrac{1}{1 + \sin x}$ gleich?
1. a) $2\tan x \sec x$
2. b) $2\sin x$
3. c) $2\sec^2 x$
4. d) $2\tan^2 x$
15.
$\sec^4 x - \tan^4 x = 1 + A\tan^2 x$ ist eine Identität. Welche Zahl ist $A$ ?
16.
Beweise, dass $\dfrac{\cos x}{1 + \sin x} = \dfrac{1 - \sin x}{\cos x}$ gilt.
17.
Beweise, dass $\cot^2 x - \cos^2 x = \cot^2 x \cos^2 x$ gilt.
18.
Beweise, dass $\sin^4 x - \cos^4 x = 1 - 2\cos^2 x$ gilt.