Exakter Wert von sin 75°

Bestimme den exakten Wert von $\sin 75^\circ$.

Schreibe $75^\circ$ als Summe besonderer Winkel: $75^\circ = 45^\circ + 30^\circ$ = $A = 45^\circ$, $B = 30^\circ$

Wende das Additionstheorem für den Sinus an: $\sin 75^\circ = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ$ = Zwei Produkte bekannter Werte

Setze die exakten Werte ein: $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}$ = $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

Prüfe mit dem Taschenrechner: $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \approx \frac{2{,}4495 + 1{,}4142}{4} \approx 0{,}9659$ und $\sin 75^\circ \approx 0{,}9659$ = Die Werte stimmen überein

Answer: $\sin 75^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \approx 0{,}9659$

Exakter Wert von cos 15° mit einer Differenz

Bestimme den exakten Wert von $\cos 15^\circ$.

Schreibe $15^\circ$ als Differenz besonderer Winkel: $15^\circ = 45^\circ - 30^\circ$ = $A = 45^\circ$, $B = 30^\circ$

Wende das Additionstheorem für den Kosinus einer Differenz an (das Vorzeichen wechselt zu $+$): $\cos 15^\circ = \cos 45^\circ \cos 30^\circ + \sin 45^\circ \sin 30^\circ$ = Pluszeichen bei einer Differenz

Einsetzen und vereinfachen: $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ = $\cos 15^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

Erkenne den Zusammenhang: $\cos 15^\circ = \sin 75^\circ$, weil $15^\circ + 75^\circ = 90^\circ$ (Komplementbeziehung) = Derselbe Wert wie in Beispiel 1

Answer: $\cos 15^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \approx 0{,}9659$

Exakter Wert von tan 105°

Bestimme den exakten Wert von $\tan 105^\circ$ und vereinfache ihn.

Schreibe $105^\circ$ als Summe: $105^\circ = 60^\circ + 45^\circ$, mit $\tan 60^\circ = \sqrt{3}$ und $\tan 45^\circ = 1$ = $A = 60^\circ$, $B = 45^\circ$

Wende das Additionstheorem für den Tangens an: $\tan 105^\circ = \frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3} \cdot 1} = \frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3}}$ = Der Nenner $1 - \sqrt{3}$ ist negativ

Nenner rational machen: Zähler und Nenner mit $1 + \sqrt{3}$ multiplizieren: $\frac{(\sqrt{3} + 1)^2}{1 - 3} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{-2}$ = $-2 - \sqrt{3}$

Prüfe das Vorzeichen: $105^\circ$ liegt im II. Quadranten, wo der Tangens negativ ist; $-2 - \sqrt{3} \approx -3{,}7321$ = Negativ, wie erwartet

Answer: $\tan 105^\circ = -2 - \sqrt{3} \approx -3{,}7321$

Winkel aus verschiedenen Quadranten

$\sin A = \frac{3}{5}$ mit $A$ im II. Quadranten und $\cos B = \frac{5}{13}$ mit $B$ im I. Quadranten. Bestimme $\sin(A + B)$ und $\cos(A + B)$.

Bestimme $\cos A$ mit dem trigonometrischen Pythagoras: $\cos^2 A = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$, und der Kosinus ist im II. Quadranten negativ = $\cos A = -\frac{4}{5}$

Bestimme $\sin B$: $\sin^2 B = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169}$, und der Sinus ist im I. Quadranten positiv = $\sin B = \frac{12}{13}$

Wende das Additionstheorem für den Sinus an: $\sin(A + B) = \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{13} + \left(-\frac{4}{5}\right) \cdot \frac{12}{13} = \frac{15}{65} - \frac{48}{65}$ = $\sin(A + B) = -\frac{33}{65}$

Wende das Additionstheorem für den Kosinus an: $\cos(A + B) = \left(-\frac{4}{5}\right) \cdot \frac{5}{13} - \frac{3}{5} \cdot \frac{12}{13} = -\frac{20}{65} - \frac{36}{65}$ = $\cos(A + B) = -\frac{56}{65}$

Probe mit dem trigonometrischen Pythagoras: $\left(\frac{33}{65}\right)^2 + \left(\frac{56}{65}\right)^2 = \frac{1089 + 3136}{4225} = 1$ = Die Ergebnisse passen zusammen

Answer: $\sin(A + B) = -\frac{33}{65}$ und $\cos(A + B) = -\frac{56}{65}$, also liegt $A + B$ im III. Quadranten

Ein Muster rückwärts erkennen

Vereinfache $\sin 70^\circ \cos 20^\circ + \cos 70^\circ \sin 20^\circ$ und $\cos 80^\circ \cos 20^\circ + \sin 80^\circ \sin 20^\circ$ ohne Taschenrechner.

Ordne den ersten Term einer Formel zu: $\sin A \cos B + \cos A \sin B$ mit $A = 70^\circ$, $B = 20^\circ$ = Das ist $\sin(70^\circ + 20^\circ)$

Berechne: $\sin 90^\circ = 1$ = Erster Term $= 1$

Ordne den zweiten Term zu: $\cos A \cos B + \sin A \sin B$ (Pluszeichen) ist $\cos(A - B)$ = Das ist $\cos(80^\circ - 20^\circ)$

Berechne: $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$ = Zweiter Term $= \frac{1}{2}$

Answer: Der erste Term ist $1$, der zweite ist $\frac{1}{2}$

Mistake: Schreiben von $\sin(A + B) = \sin A + \sin B$

Why: Der Sinus ist keine lineare Funktion, du darfst ihn nicht über eine Summe verteilen. Mit $A = 30^\circ$ und $B = 60^\circ$: $\sin 90^\circ = 1$, aber $\sin 30^\circ + \sin 60^\circ \approx 1{,}366$, und das ist gar kein möglicher Sinuswert.

Correct: $\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$. Bewege die Schieberegler im Graphen: Die rote Kurve $\sin x + \sin b$ löst sich von den beiden anderen.

Mistake: Das Vorzeichen in der Kosinusformel beibehalten: $\cos(A + B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$

Why: Der Kosinus wechselt das Vorzeichen. Teste mit $A = B = 45^\circ$: $\cos 90^\circ = 0$, aber $\cos^2 45^\circ + \sin^2 45^\circ = 1$.

Correct: $\cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ und $\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$.

Mistake: Jeden fehlenden Wert positiv nehmen, z. B. $\cos A = \frac{4}{5}$, wenn $\sin A = \frac{3}{5}$ und $A$ im II. Quadranten liegt

Why: Der trigonometrische Pythagoras liefert nur den Betrag. Der Quadrant entscheidet über das Vorzeichen, und ein falsches Vorzeichen verändert das ganze Ergebnis.

Correct: Nutze den Quadranten: Im II. Quadranten ist der Kosinus negativ, also $\cos A = -\frac{4}{5}$. Merke: I. Quadrant alle positiv, II. nur Sinus, III. nur Tangens, IV. nur Kosinus.

Mistake: Im Nenner von $\tan(A + B)$ die Form $1 + \tan A \tan B$ verwenden

Why: In der Tangensformel behält der Zähler das Vorzeichen, der Nenner wechselt es, genau wie beim Kosinus.

Correct: $\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ und $\tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$.

Zwei Wellen zusammenfassen

In Physik und Elektronik beschreibt eine Summe wie $3\sin t + 4\cos t$ zwei überlagerte Wellen. Das Additionstheorem für den Sinus zeigt, dass es eine einzige Welle $R\sin(t + \varphi)$ ist, und $R$ ist ihre Amplitude (wie laut oder wie stark sie ist).

$R\sin(t + \varphi) = R\cos\varphi \sin t + R\sin\varphi \cos t$. Der Vergleich mit $3\sin t + 4\cos t$ ergibt $R\cos\varphi = 3$ und $R\sin\varphi = 4$.

Punkte drehen in Spielen und Robotik

Ein Punkt mit Abstand $r$ und Winkel $\alpha$ hat die Koordinaten $x = r\cos\alpha$, $y = r\sin\alpha$. Eine Drehung um $\beta$ ergibt den Winkel $\alpha + \beta$, und die Additionstheoreme machen daraus die Drehformeln $x' = x\cos\beta - y\sin\beta$ und $y' = x\sin\beta + y\cos\beta$.

Drehung von $(1, 0)$ um $90^\circ$: $x' = 1 \cdot 0 - 0 \cdot 1 = 0$ und $y' = 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 = 1$, der Punkt wandert also nach $(0, 1)$.

Der Winkel zwischen zwei Straßen

Eine Gerade mit Steigung $m$ bildet mit der $x$-Achse einen Winkel $\theta$ mit $\tan\theta = m$. Das Additionstheorem für den Tangens einer Differenz liefert den Winkel zwischen zwei Geraden direkt aus ihren Steigungen, was Planer für Kreuzungen, Rampen und Dachlinien nutzen.

Geraden mit den Steigungen $1$ und $0$: $\tan(\alpha - \beta) = \frac{1 - 0}{1 + 0} = 1$, sie schneiden sich also unter $45^\circ$.

Q: Warum gibt es keine einfache Regel wie $\sin(A + B) = \sin A + \sin B$?

A: Weil der Sinus keine lineare Funktion ist. Verdoppelst du einen Winkel, verdoppelt sich sein Sinus nicht: $\sin 30^\circ = 0{,}5$, aber $\sin 60^\circ \approx 0{,}866$, nicht $1$. Das Additionstheorem ist der richtige Ersatz für diese falsche Regel.

Q: Wie hängen die Additionstheoreme mit den Doppelwinkelformeln zusammen?

A: Setze $B = A$. Dann ist $\sin(2A) = \sin A \cos A + \cos A \sin A = 2\sin A \cos A$ und $\cos(2A) = \cos^2 A - \sin^2 A$. Die Tangensformel liefert $\tan(2A) = \frac{2\tan A}{1 - \tan^2 A}$.

Q: Welches Paar besonderer Winkel soll ich nehmen?

A: Jedes Paar, das den Winkel ergibt, funktioniert: $75^\circ = 45^\circ + 30^\circ$, $15^\circ = 45^\circ - 30^\circ$ oder $60^\circ - 45^\circ$, $105^\circ = 60^\circ + 45^\circ$, $165^\circ = 120^\circ + 45^\circ$ oder $135^\circ + 30^\circ$. Verschiedene Paare führen zum selben Endwert.

Q: Wann ist $\tan(A + B)$ nicht definiert?

A: Wenn $1 - \tan A \tan B = 0$ ist, also wenn $\tan A \tan B = 1$. Dann ist $A + B$ gleich $90^\circ$ (oder $270^\circ$), wo der Tangens nicht existiert. Beispiel: $\tan 30^\circ \tan 60^\circ = 1$ und $30^\circ + 60^\circ = 90^\circ$.