Wie hängen die Additionstheoreme mit den Doppelwinkelformeln zusammen?

Setze $B = A$. Dann ist $\sin(2A) = \sin A \cos A + \cos A \sin A = 2\sin A \cos A$ und $\cos(2A) = \cos^2 A - \sin^2 A$. Die Tangensformel liefert $\tan(2A) = \frac{2\tan A}{1 - \tan^2 A}$.

Welches Paar besonderer Winkel soll ich nehmen?

Jedes Paar, das den Winkel ergibt, funktioniert: $75^\circ = 45^\circ + 30^\circ$, $15^\circ = 45^\circ - 30^\circ$ oder $60^\circ - 45^\circ$, $105^\circ = 60^\circ + 45^\circ$, $165^\circ = 120^\circ + 45^\circ$ oder $135^\circ + 30^\circ$. Verschiedene Paare führen zum selben Endwert.

Wann ist $\tan(A + B)$ nicht definiert?

Wenn $1 - \tan A \tan B = 0$ ist, also wenn $\tan A \tan B = 1$. Dann ist $A + B$ gleich $90^\circ$ (oder $270^\circ$), wo der Tangens nicht existiert. Beispiel: $\tan 30^\circ \tan 60^\circ = 1$ und $30^\circ + 60^\circ = 90^\circ$.

Lehrermaterialien

Additionstheoreme

Lerne die Additionstheoreme für Sinus, Kosinus und Tangens, berechne exakte Werte wie sin 75° und verbinde Winkel aus verschiedenen Quadranten.

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Definition

Die Additionstheoreme liefern Sinus, Kosinus und Tangens von

A + B

oder

A - B

allein aus den Werten von

A

und

B

Sinus

\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B

\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B

Kosinus

\cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B

\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B

Tangens

\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}

\tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}

So merkst du dir die Vorzeichen:

Der Sinus behält das Vorzeichen: $+$ in $A + B$ ergibt $+$ in der Formel, und er mischt Sinus mit Kosinus.
Der Kosinus wechselt das Vorzeichen: $A + B$ ergibt ein Minus, $A - B$ ein Plus, und er paart Kosinus mit Kosinus, Sinus mit Sinus.
Tangens: Der Zähler behält das Vorzeichen, der Nenner wechselt es.

Wichtig:

\sin(A + B)

ist nicht

\sin A + \sin B

. Zum Beispiel ist

\sin(30^\circ + 60^\circ) = \sin 90^\circ = 1

, aber

\sin 30^\circ + \sin 60^\circ \approx 1{,}366

Mit den besonderen Winkeln

30^\circ

45^\circ

und

60^\circ

liefern diese Formeln exakte Werte für neue Winkel wie

15^\circ = 45^\circ - 30^\circ

75^\circ = 45^\circ + 30^\circ

105^\circ = 60^\circ + 45^\circ

und

165^\circ = 120^\circ + 45^\circ

. Setzt du

B = A

, erhältst du die Doppelwinkelformeln.

Probier es gleich aus

Welcher Term ist gleich

\sin(A + B)

Lösungsbeispiele

Bestimme den exakten Wert von

\sin 75^\circ

Schreibe $75^\circ$ als Summe besonderer Winkel

75^\circ = 45^\circ + 30^\circ

→

A = 45^\circ

B = 30^\circ

Wende das Additionstheorem für den Sinus an

\sin 75^\circ = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ

→ Zwei Produkte bekannter Werte

Setze die exakten Werte ein

\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}

→

\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}

Prüfe mit dem Taschenrechner

\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \approx \frac{2{,}4495 + 1{,}4142}{4} \approx 0{,}9659

und

\sin 75^\circ \approx 0{,}9659

→ Die Werte stimmen überein

Antwort: $\sin 75^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \approx 0{,}9659$

Häufige Fehler

Schreiben von $\sin(A + B) = \sin A + \sin B$

Warum es falsch ist: Der Sinus ist keine lineare Funktion, du darfst ihn nicht über eine Summe verteilen. Mit $A = 30^\circ$ und $B = 60^\circ$ : $\sin 90^\circ = 1$ , aber $\sin 30^\circ + \sin 60^\circ \approx 1{,}366$ , und das ist gar kein möglicher Sinuswert.

Richtig: $\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ . Bewege die Schieberegler im Graphen: Die rote Kurve $\sin x + \sin b$ löst sich von den beiden anderen.

Das Vorzeichen in der Kosinusformel beibehalten: $\cos(A + B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$

Warum es falsch ist: Der Kosinus wechselt das Vorzeichen. Teste mit $A = B = 45^\circ$ : $\cos 90^\circ = 0$ , aber $\cos^2 45^\circ + \sin^2 45^\circ = 1$ .

Richtig: $\cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ und $\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$ .

Jeden fehlenden Wert positiv nehmen, z. B. $\cos A = \frac{4}{5}$ , wenn $\sin A = \frac{3}{5}$ und $A$ im II. Quadranten liegt

Warum es falsch ist: Der trigonometrische Pythagoras liefert nur den Betrag. Der Quadrant entscheidet über das Vorzeichen, und ein falsches Vorzeichen verändert das ganze Ergebnis.

Richtig: Nutze den Quadranten: Im II. Quadranten ist der Kosinus negativ, also $\cos A = -\frac{4}{5}$ . Merke: I. Quadrant alle positiv, II. nur Sinus, III. nur Tangens, IV. nur Kosinus.

Im Nenner von $\tan(A + B)$ die Form $1 + \tan A \tan B$ verwenden

Warum es falsch ist: In der Tangensformel behält der Zähler das Vorzeichen, der Nenner wechselt es, genau wie beim Kosinus.

Richtig: $\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ und $\tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$ .

Interaktive Visualisierung

Funktionsgraph

a (°) = 45b (°) = 30

Tippe auf den Graphen oder fahre mit der Maus darüber, um Werte abzulesen.

sin(a + b) = 0,9659
sin a · cos b + cos a · sin b = 0,9659
sin a + sin b = 1,2071

Tippe auf einen Namen, um den Graphen ein- oder auszublenden.

Beweise

\sin(x + 90^\circ) = \cos x

Beginne mit der linken Seite
$\sin(x + 90^\circ)$

Mit Zahlen prüfen

Winkel30°

Linke Seite

\sin(x + 90^\circ)

= 0,866

Rechte Seite

\cos x

= 0,866

Beide Seiten haben denselben Wert.

Interaktiver Sandkasten

Ausdrucksrechner

Probiere diese:

Verlauf

Noch keine Berechnungen

Übungsaufgaben

18 Aufgaben

Aufgabe 1 von 18

Einfach

Welcher Term ist gleich

\sin(A + B)

Warum es wichtig ist

Die Additionstheoreme sind die Grundformeln, aus denen die meisten anderen trigonometrischen Identitäten entstehen:

Exakte Werte: Der Taschenrechner liefert $\sin 75^\circ \approx 0{,}9659$ , das Additionstheorem dagegen den exakten Wert $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ , den Prüfungen und Beweise brauchen.
Weitere Identitäten: Doppelwinkel, Halbwinkel und die Komplementregeln folgen alle daraus (setze $B = A$ oder $A = 90^\circ$ ).
Wellen und Schall: In der Physik schreibt man $3\sin t + 4\cos t$ als eine einzige Welle $5\sin(t + \varphi)$ , um ihre Amplitude abzulesen.
Drehungen: Jedes Computerspiel und jeder Roboterarm dreht Punkte mit $x' = x\cos\beta - y\sin\beta$ und $y' = x\sin\beta + y\cos\beta$ , und das ist genau das Additionstheorem.
Winkel zwischen Geraden: Das Additionstheorem für den Tangens liefert den Winkel zwischen zwei Straßen, Rampen oder Dachlinien direkt aus ihren Steigungen.

Anwendungen im echten Leben

Zwei Wellen zusammenfassen

In Physik und Elektronik beschreibt eine Summe wie $3\sin t + 4\cos t$ zwei überlagerte Wellen. Das Additionstheorem für den Sinus zeigt, dass es eine einzige Welle $R\sin(t + \varphi)$ ist, und $R$ ist ihre Amplitude (wie laut oder wie stark sie ist).

Beispiel:

$R\sin(t + \varphi) = R\cos\varphi \sin t + R\sin\varphi \cos t$ . Der Vergleich mit $3\sin t + 4\cos t$ ergibt $R\cos\varphi = 3$ und $R\sin\varphi = 4$ .

1Probiere es selbst

Ein Signal ist $3\sin t + 4\cos t$ . Du möchtest es als $R\sin(t + \varphi)$ mit $R > 0$ schreiben.

Wie groß ist die Amplitude $R$ ?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Nutze $R^2 = (R\cos\varphi)^2 + (R\sin\varphi)^2$ :

Punkte drehen in Spielen und Robotik

Ein Punkt mit Abstand $r$ und Winkel $\alpha$ hat die Koordinaten $x = r\cos\alpha$, $y = r\sin\alpha$. Eine Drehung um $\beta$ ergibt den Winkel $\alpha + \beta$, und die Additionstheoreme machen daraus die Drehformeln $x' = x\cos\beta - y\sin\beta$ und $y' = x\sin\beta + y\cos\beta$.

Beispiel:

Drehung von $(1, 0)$ um $90^\circ$ : $x' = 1 \cdot 0 - 0 \cdot 1 = 0$ und $y' = 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 = 1$ , der Punkt wandert also nach $(0, 1)$ .

2Probiere es selbst

Ein Roboterarm hält ein Werkzeug im Punkt $(4, 3)$ . Er dreht sich um einen Winkel $\beta$ mit $\cos\beta = 0{,}8$ und $\sin\beta = 0{,}6$ .

Wie lautet die neue $y$ -Koordinate des Werkzeugs?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Nutze $y' = x\sin\beta + y\cos\beta$ :

Der Winkel zwischen zwei Straßen

Eine Gerade mit Steigung $m$ bildet mit der $x$-Achse einen Winkel $\theta$ mit $\tan\theta = m$. Das Additionstheorem für den Tangens einer Differenz liefert den Winkel zwischen zwei Geraden direkt aus ihren Steigungen, was Planer für Kreuzungen, Rampen und Dachlinien nutzen.

Beispiel:

Geraden mit den Steigungen $1$ und $0$ : $\tan(\alpha - \beta) = \frac{1 - 0}{1 + 0} = 1$ , sie schneiden sich also unter $45^\circ$ .

3Probiere es selbst

Auf einer Karte hat eine Straße die Steigung $3$ und eine zweite Straße die Steigung $\frac{1}{2}$ .

Wie groß ist der Winkel zwischen den Straßen in Grad?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Nutze $\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1 + \tan\alpha \tan\beta}$ mit $\tan\alpha = 3$ , $\tan\beta = \frac{1}{2}$ :

Wichtige Erkenntnisse

1 $\sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B$ : Der Sinus behält das Vorzeichen und mischt Sinus mit Kosinus
2 $\cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B$ : Der Kosinus wechselt das Vorzeichen
3 $\tan(A \pm B) = \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B}$ : Der Zähler behält das Vorzeichen, der Nenner wechselt es
4Exakte Werte für $15^\circ$ , $75^\circ$ , $105^\circ$ , $165^\circ$ entstehen aus Summen und Differenzen von $30^\circ$ , $45^\circ$ , $60^\circ$ (und $120^\circ$ , $135^\circ$ )
5Bei Winkeln in anderen Quadranten bestimmst du den fehlenden Sinus oder Kosinus mit dem trigonometrischen Pythagoras und nimmst das Vorzeichen aus dem Quadranten
6 $\sin(A + B) \neq \sin A + \sin B$ ; mit $B = A$ erhältst du die Doppelwinkelformeln

Häufig gestellte Fragen

Weil der Sinus keine lineare Funktion ist. Verdoppelst du einen Winkel, verdoppelt sich sein Sinus nicht:

\sin 30^\circ = 0{,}5

, aber

\sin 60^\circ \approx 0{,}866

, nicht

1

. Das Additionstheorem ist der richtige Ersatz für diese falsche Regel.

Glossar

Additionstheorem (Summe): Eine Formel für eine trigonometrische Funktion von $A + B$ , z. B. $\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$
Additionstheorem (Differenz): Eine Formel für eine trigonometrische Funktion von $A - B$ , z. B. $\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$
Exakter Wert: Ein Wert aus ganzen Zahlen, Brüchen und Wurzeln wie $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ statt einer gerundeten Dezimalzahl
Besondere Winkel: $30^\circ$ , $45^\circ$ und $60^\circ$ (und ihre Verwandten am Einheitskreis), deren Sinus, Kosinus und Tangens exakt bekannt sind
Vorzeichen im Quadranten: Das Vorzeichen eines trigonometrischen Werts in jedem Quadranten: I alle positiv, II Sinus, III Tangens, IV Kosinus

Formelkarte

Sinus einer Summe

\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B

Behält das Vorzeichen, mischt Sinus und Kosinus

Sinus einer Differenz

\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B

Minus zwischen den beiden Produkten

Kosinus einer Summe

\cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B

Das Vorzeichen wechselt zu Minus

Kosinus einer Differenz

\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B

Das Vorzeichen wechselt zu Plus

Tangens einer Summe

\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}

Zähler behält, Nenner wechselt das Vorzeichen

Tangens einer Differenz

\tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}

Zähler minus, Nenner plus

Heutige ChallengeEine Aufgabe, drei Versuche

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Definition

Sinus

Kosinus

Tangens

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Häufige Fehler

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Funktionsgraph

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Verlauf

Übungsaufgaben

Warum es wichtig ist

Anwendungen im echten Leben

Zwei Wellen zusammenfassen

Punkte drehen in Spielen und Robotik

Der Winkel zwischen zwei Straßen

Wichtige Erkenntnisse

Häufig gestellte Fragen

Glossar

Formelkarte

Sinus einer Summe

Sinus einer Differenz

Kosinus einer Summe

Kosinus einer Differenz

Tangens einer Summe

Tangens einer Differenz

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