Einführung in die trigonometrischen Verhältnisse

Schreibe bei jeder Aufgabe deinen Lösungsweg auf.

1.
Was bedeutet 'SOH' in SOH-CAH-TOA?
1. a)Sinus = Gegenkathete / Hypotenuse
2. b)Sinus = Hypotenuse / Gegenkathete
3. c)Sinus = Gegenkathete / Ankathete
4. d)Sinus = Ankathete / Hypotenuse
Lösung: Sinus = Gegenkathete / Hypotenuse
SOH bedeutet Sinus = Gegenkathete / Hypotenuse. Die Eselsbrücke hilft zu erinnern, dass Sinus das Verhältnis der Gegenkathete zur Hypotenuse ist.
2.
Welche Seite eines rechtwinkligen Dreiecks ist immer die längste?
1. a)Ankathete
2. b)Gegenkathete
3. c)Es hängt vom Winkel ab
4. d)Hypotenuse
Lösung: Hypotenuse
Die Hypotenuse ist immer die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks. Sie liegt gegenüber dem rechten Winkel (90 Grad).
3.
In einem rechtwinkligen Dreieck, wenn die Gegenkathete 3 und die Hypotenuse 5 ist, was ist ? Als Dezimalzahl angeben.
Lösung: 0.6
4.
In einem rechtwinkligen Dreieck, wenn die Ankathete 4 und die Hypotenuse 5 ist, was ist ? Als Dezimalzahl angeben.
Lösung: 0.8
5.
Welches trigonometrische Verhältnis verwendet die Gegenkathete und Ankathete (nicht die Hypotenuse)?
1. a)Tangens
2. b)Sekans
3. c)Kosinus
4. d)Sinus
Lösung: Tangens
Tangens (TOA) = Gegenkathete / Ankathete. Es ist das einzige primäre Verhältnis, das die Hypotenuse nicht enthält.
6.
In einem rechtwinkligen Dreieck, wenn die Gegenkathete 5 und die Ankathete 12 ist, was ist ? Als Bruch angeben (z.B. 5/12).
Lösung: 5/12
7.
Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Seiten 5, 12 und 13. Finde alle drei trigonometrischen Verhältnisse für den Winkel gegenüber der Seite mit Länge 5.
Lösung: sin = 5/13, cos = 12/13, tan = 5/12
1. Welche Seite ist die Hypotenuse? 13
2. Welche Seite liegt unserem Winkel gegenüber? 5
3. Welche Seite liegt an unserem Winkel an? 12
4. Berechne sin (Gegenkathete/Hypotenuse) 5/13
8.
Wenn , was kannst du über die Gegenkathete und Hypotenuse schließen?
1. a)Die Gegenkathete ist doppelt so lang wie die Hypotenuse
2. b)Die Gegenkathete ist gleich der Hypotenuse
3. c)Die Ankathete ist halb so lang wie die Hypotenuse
4. d)Die Gegenkathete ist halb so lang wie die Hypotenuse
Lösung: Die Gegenkathete ist halb so lang wie die Hypotenuse
Da , ist die Gegenkathete halb so lang wie die Hypotenuse.
9.
In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Gegenkathete 8 und die Hypotenuse 10. Finde alle drei trigonometrischen Verhältnisse.
Lösung: sin = 0.8, cos = 0.6, tan = 4/3
1. Berechne sin (Gegenkathete/Hypotenuse) als Dezimalzahl 0.8
2. Verwende Pythagoras um die Ankathete zu finden: sqrt(10^2 - 8^2) 6
3. Berechne cos (Ankathete/Hypotenuse) als Dezimalzahl 0.6
4. Berechne tan (Gegenkathete/Ankathete) als Bruch 8/6
10.
Wenn , was muss für die Gegenkathete und Ankathete gelten?
Lösung: equal
Wenn , dann ist Gegenkathete = Ankathete. Die Seiten müssen gleich lang sein.
11.
Eine 10 Meter lange Leiter lehnt an einer Wand. Die Basis ist 6 Meter von der Wand entfernt. Finde den Sinus des Winkels, den die Leiter mit dem Boden bildet.
Lösung: 0.8
1. Was ist die Hypotenuse in diesem Problem? 10
2. Was ist die Ankathete (Abstand von der Wand)? 6
3. Verwende Pythagoras um die Höhe zu finden: sqrt(10^2 - 6^2) 8
4. Berechne sin (Höhe/Leiterlänge) 0.8
12.
Für welchen Winkel gilt ?
1. a)45 Grad
2. b)90 Grad
3. c)60 Grad
4. d)30 Grad
Lösung: 45 Grad
Bei 45 Grad sind Gegenkathete und Ankathete gleich, also , was bedeutet
13.
In einem rechtwinkligen Dreieck ist . Finde und .
Lösung: cos = 12/13, tan = 5/12
1. Aus sin = 5/13, was ist die Gegenkathete? 5
2. Was ist die Hypotenuse? 13
3. Finde die Ankathete mit Pythagoras: sqrt(13^2 - 5^2) 12
4. Berechne cos (Ankathete/Hypotenuse) 12/13
14.
Wenn und die Hypotenuse 15 ist, wie lang ist die Ankathete?
Lösung: 9
Ankathete =
15.
Eine Rampe steigt 3 Meter über eine horizontale Entfernung von 4 Metern. Finde Sinus, Kosinus und Tangens des Winkels, den die Rampe mit dem Boden bildet.
Lösung: sin = 0.6, cos = 0.8, tan = 0.75
1. Was ist die Steigung (Gegenkathete)? 3
2. Was ist der Lauf (Ankathete)? 4
3. Finde Hypotenuse: sqrt(3^2 + 4^2) 5
4. Berechne tan (Steigung/Lauf) 0.75