Sinusverhältnis (SOH)

Schreibe bei jeder Aufgabe deinen Lösungsweg auf.

1.
In einem rechtwinkligen Dreieck ist der Sinus eines Winkels gleich:
1. a)Hypotenuse / Gegenkathete
2. b)Gegenkathete / Hypotenuse
3. c)Gegenkathete / Ankathete
4. d)Ankathete / Hypotenuse
Lösung: Gegenkathete / Hypotenuse
SOH steht für Sinus = Gegenkathete / Hypotenuse. Der Sinus eines Winkels ist immer das Verhältnis der Gegenkathete zur Hypotenuse.
2.
Was ist ?
1. a)
2. b)
3. c)
4. d)
Lösung:
. Dies ist ein spezieller Winkelwert aus einem 30-60-90-Dreieck, wo die Gegenkathete halb so lang wie die Hypotenuse ist.
3.
Was ist ?
Lösung: 1
. Dies ist der Maximalwert des Sinus, weil bei 90 Grad die Gegenkathete gleich der Hypotenuse ist, was uns gibt.
4.
In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Gegenkathete und die Hypotenuse ist . Was ist ?
Lösung: 0.5
. Dies entspricht einem 30°-Winkel.
5.
Was ist ?
1. a)
2. b)
3. c)
4. d)
Lösung:
. In einem 30-60-90-Dreieck ist die dem 60°-Winkel gegenüberliegende Seite mal die kurze Kathete.
6.
Eine Leiter ist Meter lang und bildet einen -Winkel mit dem Boden. Wie hoch reicht sie an der Wand? (Runde auf 2 Dezimalstellen)
Lösung: 5.66
Höhe = Hypotenuse × sin(45°) = 8 × 0,707 ≈ 5,66 Meter. Da sin(45°) = , ist die Gegenkathete Meter.
7.
Ein Seil, das an der Spitze eines Meter hohen Mastes befestigt ist, bildet einen -Winkel mit dem Boden. Wie lang ist das Seil? (Benutze sin(50°) ≈ 0,766)
Lösung: 19.58
1. Was ist die Gegenkathete in diesem Problem? 15
2. Was ist die gesuchte Unbekannte? Hypotenuse
3. Schreibe die Formel: Hypotenuse = Gegenkathete ÷ sin(θ). Was ist 15 ÷ 0,766? 19,58
8.
Ein Flugzeug steigt in einem -Winkel. Nachdem es Meter entlang seiner Flugbahn zurückgelegt hat, wie viel Höhe hat es gewonnen? (Benutze sin(20°) ≈ 0,342)
Lösung: 171
1. Was ist die Hypotenuse (Flugbahnentfernung)? 500
2. Was suchen wir? (die gewonnene Höhe) Gegenkathete
3. Berechne: Gegenkathete = 500 × 0,342 = ? 171
9.
Welche Formel würdest du verwenden, um die Hypotenuse zu finden, wenn du die Gegenkathete und den Winkel kennst?
1. a)Hypotenuse = Gegenkathete + sin(θ)
2. b)Hypotenuse = sin(θ) ÷ Gegenkathete
3. c)Hypotenuse = Gegenkathete × sin(θ)
4. d)Hypotenuse = Gegenkathete ÷ sin(θ)
Lösung: Hypotenuse = Gegenkathete ÷ sin(θ)
Ausgehend von sin(θ) = Gegenkathete/Hypotenuse, multipliziere beide Seiten mit Hypotenuse um Hypotenuse × sin(θ) = Gegenkathete zu erhalten, dann teile beide Seiten durch sin(θ) um Hypotenuse = Gegenkathete ÷ sin(θ) zu erhalten.
10.
Eine Rampe hat eine Höhe von Metern und eine Länge (Hypotenuse) von Metern. Welchen Winkel bildet die Rampe mit dem Boden? (Runde auf den nächsten Grad)
Lösung: 14
1. Berechne sin(θ) = Gegenkathete/Hypotenuse = 2/8 = ? 0,25
2. Um den Winkel zu finden, verwende den Arkussinus: θ = sin⁻¹(0,25). Was ist das Ergebnis in Grad? 14
11.
Eine Drachenschnur ist Meter lang und bildet einen -Winkel mit dem Boden. Wie hoch fliegt der Drachen? (Benutze sin(35°) ≈ 0,574, runde auf 1 Dezimalstelle)
Lösung: 28.7
Höhe = 50 × sin(35°) = 50 × 0,574 = 28,7 Meter. Der Drachen fliegt ungefähr 28,7 Meter über dem Boden.
12.
Ein Vermesser misst einen Höhenwinkel von zur Spitze eines Gebäudes. Der Vermesser steht Meter von der Basis entfernt. Finde mit Sinus und dem Satz des Pythagoras die Höhe des Gebäudes. (Benutze sin(28°) ≈ 0,469, cos(28°) ≈ 0,883)
Lösung: 21.2
1. Die 40 Meter sind die Ankathete. Was ist die Hypotenuse? Benutze Hyp = Ankathete / cos(28°) = 40 / 0,883 45,3
2. Finde jetzt die Höhe mit sin(28°): Höhe = Hypotenuse × sin(28°) = 45,3 × 0,469 21,2
13.
In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Gegenkathete cm und die Hypotenuse ist cm. Finde den Winkel θ. (Runde auf den nächsten Grad)
Lösung: 37
1. Berechne sin(θ) = Gegenkathete/Hypotenuse = 6/10 = ? 0,6
2. Finde θ = sin⁻¹(0,6). Was ist der Winkel in Grad? 37
14.
Was ist der Wert von ? (Gib deine Antwort als Dezimalzahl mit 3 Nachkommastellen an)
Lösung: 0.707
. Dieser Wert kommt von einem gleichschenklig-rechtwinkligen 45-45-90-Dreieck.
15.
Wenn , welcher der folgenden Werte könnte θ sein?
1. a)Ungefähr 60°
2. b)Ungefähr 53°
3. c)Ungefähr 37°
4. d)Ungefähr 45°
Lösung: Ungefähr 53°
. Da sin(45°) ≈ 0,707 und sin(60°) ≈ 0,866, liegt ein Sinus von 0,8 dazwischen, näher an 60°, was ungefähr 53° ist.