Ecuaciones con fracciones

Aprende a resolver ecuaciones que contienen fracciones eliminando denominadores y usando operaciones inversas.

Intermedio25 minLección
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Definición

Una ecuación con fracciones contiene una o más fracciones con variables. Para resolver estas ecuaciones, eliminamos los denominadores multiplicando cada término por el mínimo común múltiplo (mcm).
Estrategia general:
  1. 1.Encuentra el mcm de todos los denominadores
  2. 2.Multiplica cada término por el mcm
  3. 3.Simplifica (¡las fracciones desaparecen!)
  4. 4.Resuelve la ecuación resultante
  5. 5.Verifica tu respuesta
Ejemplo:
x2+13=56\frac{x}{2} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6}
El mcm de 2, 3 y 6 es 6. Multiplica cada término por 6:
6⋅x2+6⋅13=6⋅566 \cdot \frac{x}{2} + 6 \cdot \frac{1}{3} = 6 \cdot \frac{5}{6}
3x+2=53x + 2 = 5
3x=33x = 3
x=1x = 1

Pruébalo ahora

¿Cuál es el primer paso para resolver x5=4\frac{x}{5} = 4?

Ejemplos resueltos

Resuelve: x4=3\frac{x}{4} = 3
1

Identifica la operación aplicada a x

xx está dividido entre 4 → División entre 4
2

Aplica la operación inversa

Multiplica ambos lados por 4 → 4⋅x4=4⋅34 \cdot \frac{x}{4} = 4 \cdot 3
3

Simplifica

x=12x = 12
4

Verifica

124=3\frac{12}{4} = 3 ✓ → Solución verificada

Errores comunes

Multiplicar solo algunos términos por el mcm

Por qué está mal: Al eliminar denominadores, debes multiplicar CADA término (incluyendo números enteros) por el mcm para mantener la ecuación balanceada.

Correcto: En x2+x3=5\frac{x}{2} + \frac{x}{3} = 5, multiplica TODOS los términos por 6, también el 5: 6⋅x2+6⋅x3=6⋅56 \cdot \frac{x}{2} + 6 \cdot \frac{x}{3} = 6 \cdot 5 da 3x+2x=303x + 2x = 30, no 3x+2x=53x + 2x = 5

Olvidar distribuir después de eliminar fracciones

Por qué está mal: Cuando multiplicas x+14\frac{x + 1}{4} por 12, obtienes 3(x+1)3(x + 1): el 3 multiplica todo el numerador, es decir, xx y 11.

Correcto: 12⋅x+14=3(x+1)=3x+312 \cdot \frac{x + 1}{4} = 3(x + 1) = 3x + 3, no 3x+13x + 1

Usar un mcm incorrecto

Por qué está mal: Un múltiplo común mayor (como 24 para 4 y 6) también funciona, pero da números más grandes; un número que no es múltiplo común deja fracciones en la ecuación.

Correcto: El mcm de 4 y 6 es 12, no 24. Encuentra el MÍNIMO común múltiplo, no cualquier múltiplo común.

No verificar la respuesta

Por qué está mal: Eliminar fracciones exige varias multiplicaciones y es fácil equivocarse. Si hay una variable en un denominador, un valor puede incluso hacer 0 un denominador (solución extraña).

Correcto: Siempre sustituye tu respuesta en la ecuación original para verificar que funciona.

Visual interactivo

Resolvedor de ecuaciones

Resolver para xx:

x4=3\frac{x}{4} = 3
1
x4=3\frac{x}{4} = 3
Multiplicar ambos lados por el mínimo común denominador 44Ya no quedan fracciones

Consejos:

  • • Lo que hagas de un lado, hazlo del otro
  • • Deshaz las operaciones en orden inverso
  • • Comprueba tu respuesta sustituyendo

Sigue mientras resolvemos la ecuación paso a paso.

Balanza

(1/4)x=3
(1/4)x
3
Aplicar a ambos lados:

Solución: x = 12

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Problemas de práctica

17 problemas
Problema 1 de 17
Fácil
¿Cuál es el primer paso para resolver x5=4\frac{x}{5} = 4?

Por qué es importante

Las ecuaciones con fracciones aparecen constantemente en la vida real:
  • Cocina: Pasar una receta de 6 personas a 4 significa usar 23\frac{2}{3} de cada cantidad. Si la versión pequeña lleva 2 tazas de harina, resolver 23x=2\frac{2}{3}x = 2 da la cantidad original: x=3x = 3 tazas
  • Finanzas: Calcular cuánto tiempo ahorrar cuando apartas 14\frac{1}{4} de tus ingresos mensuales
  • Ciencias: Problemas de velocidad como dt=r\frac{d}{t} = r (distancia, tiempo, rapidez)
  • Construcción: Escalas de planos donde 150\frac{1}{50} significa resolver x50=12\frac{x}{50} = 12
¡Dominar esta habilidad abre puertas para resolver proporciones, ecuaciones racionales y problemas de la vida real!

Aplicaciones del mundo real

Ajustar recetas

Los cocineros a menudo necesitan ajustar recetas cuando cocinan para diferentes cantidades de personas.

Ejemplo:

Una receta usa 34\frac{3}{4} taza de harina para 12 galletas. ¿Cuánta harina para 20 galletas? Resuelve 3/412=x20\frac{3/4}{12} = \frac{x}{20}.

1Inténtalo tú mismo

Una receta de batido requiere 23\frac{2}{3} taza de bayas para 2 porciones. Quieres hacer 5 porciones.

¿Cuántas tazas de bayas necesitas?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Establece la proporción: 2/32=x5\frac{2/3}{2} = \frac{x}{5}

Problemas de trabajo compartido

Cuando dos personas trabajan juntas, su ritmo de trabajo combinado determina lo rápido que terminan.

Ejemplo:

Si María puede pintar una habitación en 4 horas y Juan en 6 horas, juntos completan 14+16\frac{1}{4} + \frac{1}{6} de la habitación por hora.

2Inténtalo tú mismo

La tubería A llena un depósito en 3 horas. La tubería B lo llena en 6 horas. Con ambas tuberías abiertas, ¿qué fracción del depósito se llena en 1 hora?

¿Qué fracción del depósito se llena por hora?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Suma las tasas: 13+16\frac{1}{3} + \frac{1}{6}

Velocidad y distancia

La fórmula $d = rt$ (distancia = rapidez por tiempo) a menudo involucra fracciones cuando los tiempos no son números enteros.

Ejemplo:

Si viajas 34\frac{3}{4} de hora a 60 km/h, recorres 60×34=4560 \times \frac{3}{4} = 45 km.

3Inténtalo tú mismo

Un ciclista recorre 15 km en 23\frac{2}{3} de hora.

¿Cuál es la velocidad media del ciclista en km/h?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Usa r=dtr = \frac{d}{t}: r=152/3r = \frac{15}{2/3}

Puntos clave

  • 1Para resolver ecuaciones con fracciones, encuentra el mcm y multiplica cada término para eliminar denominadores
  • 2El método del recíproco funciona bien cuando una fracción multiplica la variable: multiplica ambos lados por el recíproco
  • 3Siempre distribuye cuidadosamente al eliminar fracciones con expresiones en el numerador
  • 4Verifica tu respuesta sustituyéndola en la ecuación original

Preguntas frecuentes

Multiplicar por el mcm elimina todos los denominadores de una vez, convirtiendo la ecuación fraccionaria en una ecuación más simple con números enteros. Esto hace que resolver sea mucho más fácil.
Multiplicar por el mcm elimina todos los denominadores de una vez, convirtiendo la ecuación fraccionaria en una ecuación más simple con números enteros. Esto hace que resolver sea mucho más fácil.
Los productos cruzados funcionan cuando tienes una proporción (una fracción igual a otra fracción). Para ecuaciones con más términos, usa el método del mcm.
¡Eso está perfectamente bien! Muchas ecuaciones con fracciones tienen soluciones fraccionarias. Solo verifica sustituyendo la fracción en la ecuación original.

Glosario

mcm (mínimo común múltiplo)
El número más pequeño que es múltiplo de todos los denominadores en una ecuación
Recíproco
El inverso de una fracción; el recíproco de ab\frac{a}{b} es ba\frac{b}{a}
Eliminar denominadores
Multiplicar cada término por el mcm para eliminar todas las fracciones
Solución extraña
Una solución que surge de resolver pero no satisface la ecuación original

Tarjeta de fórmulas

Método del mcm

Multiplica todos los términos por el mcm

Elimina todas las fracciones de una vez

Método del recíproco

Si abx=c\frac{a}{b}x = c, entonces x=c⋅bax = c \cdot \frac{b}{a}

Multiplica por el recíproco del coeficiente

Productos cruzados

Si ab=cd\frac{a}{b} = \frac{c}{d}, entonces ad=bcad = bc

Solo para proporciones

Reto de hoyUn problema, tres intentos

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