Factorización con términos positivos

Factoriza: $x^2 + 7x + 12$

Identifica qué necesitamos: Encuentra dos números que SUMEN 7 y MULTIPLIQUEN 12 = Suma = 7, Producto = 12

Lista los pares de factores de 12: $1 \times 12$, $2 \times 6$, $3 \times 4$ = Tres posibilidades

Verifica qué par suma 7: $1 + 12 = 13$ (no), $2 + 6 = 8$ (no), $3 + 4 = 7$ (¡sí!) = $m = 3$, $n = 4$

Escribe la forma factorizada: $(x + 3)(x + 4)$ = $(x + 3)(x + 4)$

Verifica expandiendo: $x^2 + 4x + 3x + 12 = x^2 + 7x + 12$ \checkmark = ¡Correcto!

Answer: $(x + 3)(x + 4)$

Factorización con término medio negativo

Factoriza: $x^2 - 9x + 20$

Identifica suma y producto: Suma = $-9$, Producto = $20$ = Ambos factores deben ser negativos (suma negativa, producto positivo)

Lista pares de factores negativos de 20: $(-1)(-20)$, $(-2)(-10)$, $(-4)(-5)$ = Tres posibilidades

Verifica qué par suma -9: $-1 + (-20) = -21$, $-2 + (-10) = -12$, $-4 + (-5) = -9$ (¡sí!) = $m = -4$, $n = -5$

Escribe la forma factorizada: $(x - 4)(x - 5)$ = $(x - 4)(x - 5)$

Verifica expandiendo: $x^2 - 5x - 4x + 20 = x^2 - 9x + 20$ \checkmark = ¡Correcto!

Answer: $(x - 4)(x - 5)$

Factorización con constante negativa

Factoriza: $x^2 + 2x - 15$

Identifica suma y producto: Suma = $2$, Producto = $-15$ = Un factor positivo, uno negativo (producto negativo)

Lista pares de factores de 15: $1 \times 15$, $3 \times 5$ = Considera ambos signos

Encuentra la combinación que suma 2: $5 + (-3) = 2$ (¡sí!) o $-5 + 3 = -2$ (no) = $m = 5$, $n = -3$

Escribe la forma factorizada: $(x + 5)(x - 3)$ = $(x + 5)(x - 3)$

Verifica expandiendo: $x^2 - 3x + 5x - 15 = x^2 + 2x - 15$ \checkmark = ¡Correcto!

Answer: $(x + 5)(x - 3)$

Factorización con ambos términos negativos

Factoriza: $x^2 - 3x - 28$

Identifica suma y producto: Suma = $-3$, Producto = $-28$ = Signos diferentes (producto negativo), el mayor es negativo (suma negativa)

Lista pares de factores de 28: $1 \times 28$, $2 \times 14$, $4 \times 7$ = Considera ambos signos

Encuentra la combinación que suma -3: $4 + (-7) = -3$ (¡sí!) = $m = 4$, $n = -7$

Escribe la forma factorizada: $(x + 4)(x - 7)$ = $(x + 4)(x - 7)$

Verifica expandiendo: $x^2 - 7x + 4x - 28 = x^2 - 3x - 28$ \checkmark = ¡Correcto!

Answer: $(x + 4)(x - 7)$

Mistake: Confundir los requisitos de suma y producto

Why: Los estudiantes a veces buscan números que multipliquen a $b$ y sumen a $c$, cuando debería ser al revés.

Correct: Recuerda: los números SUMAN al coeficiente medio ($b$) y MULTIPLICAN a la constante ($c$).

Mistake: Olvidar considerar factores negativos

Why: Cuando $c$ es positivo pero $b$ es negativo, ambos factores deben ser negativos.

Correct: Usa las reglas de signos: producto positivo significa mismos signos, producto negativo significa signos diferentes.

Mistake: Escribir $(x + 3)(x + 4)$ como $x^2 + 34$

Why: Este error viene de sumar las constantes en lugar de expandir correctamente.

Correct: Siempre verifica expandiendo: $(x+3)(x+4) = x^2 + 4x + 3x + 12 = x^2 + 7x + 12$

Mistake: Asumir que todos los trinomios pueden factorizarse con enteros

Why: Algunos trinomios son primos (no pueden factorizarse con enteros).

Correct: Si ningún par de enteros funciona, el trinomio es primo. Ejemplo: $x^2 + 5x + 3$ no tiene factores enteros.

Movimiento de proyectiles

Cuando un objeto es lanzado hacia arriba, su altura sigue un patrón cuadrático. La factorización ayuda a encontrar cuándo toca el suelo.

La altura de una pelota está dada por $h = -t^2 + 5t + 6$. Factorizar $-1(t^2 - 5t - 6) = -(t-6)(t+1)$ muestra que aterriza en $t = 6$ segundos.

Diseño de jardines

Los arquitectos paisajistas usan la factorización para determinar dimensiones con restricciones de área.

El área de un jardín es $x^2 + 11x + 24$ metros cuadrados. Factorizar da $(x + 3)(x + 8)$, revelando posibles dimensiones.

Q: ¿Qué pasa si no puedo encontrar dos números que funcionen?

A: El trinomio puede ser primo (no puede factorizarse con enteros). Por ejemplo, $x^2 + 5x + 3$ no tiene pares de factores enteros que sumen 5 y multipliquen 3.

Q: ¿Importa el orden de los binomios?

A: ¡No! $(x + 3)(x + 4)$ es lo mismo que $(x + 4)(x + 3)$ debido a la propiedad conmutativa de la multiplicación.

Q: ¿Qué pasa si el coeficiente principal no es 1?

A: Eso requiere un método diferente (método AC o prueba y error). Esta lección se enfoca solo en trinomios donde $a = 1$.