Factorización de trinomios (a=1)

Aprende a factorizar trinomios cuadráticos donde el coeficiente principal es 1.

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Definición

Un trinomio es un polinomio con tres términos. Al factorizar trinomios de la forma x2+bx+cx^2 + bx + c, encontramos dos binomios que multiplicados dan la expresión original.
x2+bx+c=(x+m)(x+n)x^2 + bx + c = (x + m)(x + n)
donde mm y nn son números que satisfacen:
  • Suma: m+n=bm + n = b (el coeficiente de xx)
  • Producto: m×n=cm \times n = c (el término constante)
Este método funciona porque al expandir (x+m)(x+n)(x + m)(x + n) usando FOIL:
x2+nx+mx+mn=x2+(m+n)x+mnx^2 + nx + mx + mn = x^2 + (m+n)x + mn

Pruébalo ahora

¿Qué dos números suman 7 y multiplican 12?

Ejemplos resueltos

Factoriza: x2+7x+12x^2 + 7x + 12
1

Identifica qué necesitamos

Encuentra dos números que SUMEN 7 y MULTIPLIQUEN 12 → Suma = 7, Producto = 12
2

Lista los pares de factores de 12

1×121 \times 12, 2×62 \times 6, 3×43 \times 4 → Tres posibilidades
3

Verifica qué par suma 7

1+12=131 + 12 = 13 (no), 2+6=82 + 6 = 8 (no), 3+4=73 + 4 = 7 (¡sí!) → m=3m = 3, n=4n = 4
4

Escribe la forma factorizada

(x+3)(x+4)(x + 3)(x + 4)
5

Verifica expandiendo

x2+4x+3x+12=x2+7x+12x^2 + 4x + 3x + 12 = x^2 + 7x + 12 \checkmark → ¡Correcto!

Errores comunes

Confundir los requisitos de suma y producto

Por qué está mal: Los estudiantes a veces buscan números que multipliquen a bb y sumen a cc, cuando debería ser al revés.

Correcto: Recuerda: los números SUMAN al coeficiente medio (bb) y MULTIPLICAN a la constante (cc).

Olvidar considerar factores negativos

Por qué está mal: Cuando cc es positivo pero bb es negativo, ambos factores deben ser negativos.

Correcto: Usa las reglas de signos: producto positivo significa mismos signos, producto negativo significa signos diferentes.

Escribir (x+3)(x+4)(x + 3)(x + 4) como x2+34x^2 + 34

Por qué está mal: Este error viene de sumar las constantes en lugar de expandir correctamente.

Correcto: Siempre verifica expandiendo: (x+3)(x+4)=x2+4x+3x+12=x2+7x+12(x+3)(x+4) = x^2 + 4x + 3x + 12 = x^2 + 7x + 12

Asumir que todos los trinomios pueden factorizarse con enteros

Por qué está mal: Algunos trinomios son primos (no pueden factorizarse con enteros).

Correcto: Si ningún par de enteros funciona, el trinomio es primo. Ejemplo: x2+5x+3x^2 + 5x + 3 no tiene factores enteros.

Visual interactivo

Modelo de área: factorizar un trinomio

Ordena x², las tiras x y los cuadrados unidad en un rectángulo: sus lados son los factores.

x2x^2
3x3x
4x4x
1212
xx
33
xx
44

Largo × ancho = área

x2+7x+12=(x+3)(x+4)x^2 + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4)

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Problemas de práctica

16 problemas
Problema 1 de 16
Fácil
¿Qué dos números suman 7 y multiplican 12?

Por qué es importante

La factorización de trinomios es esencial para:
  • Resolver ecuaciones cuadráticas: Igualar cada factor a cero da las soluciones
  • Graficar parábolas: La forma factorizada revela las intersecciones con el eje x
  • Simplificar expresiones: Las formas factorizadas son más fáciles de trabajar en fracciones
  • Física e ingeniería: Movimiento de proyectiles, problemas de optimización
¡Dominar esta habilidad abre la puerta al álgebra avanzada y al cálculo!

Aplicaciones del mundo real

Movimiento de proyectiles

Cuando un objeto es lanzado hacia arriba, su altura sigue un patrón cuadrático. La factorización ayuda a encontrar cuándo toca el suelo.

Ejemplo:

La altura de una pelota está dada por h=−t2+5t+6h = -t^2 + 5t + 6. Factorizar −1(t2−5t−6)=−(t−6)(t+1)-1(t^2 - 5t - 6) = -(t-6)(t+1) muestra que aterriza en t=6t = 6 segundos.

1Inténtalo tú mismo

La altura de un cohete sobre el suelo está modelada por h=−t2+8t−12h = -t^2 + 8t - 12 (en metros, después de tt segundos).

¿En qué momentos está el cohete a nivel del suelo?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Factoriza: t2−8t+12t^2 - 8t + 12

Diseño de jardines

Los arquitectos paisajistas usan la factorización para determinar dimensiones con restricciones de área.

Ejemplo:

El área de un jardín es x2+11x+24x^2 + 11x + 24 metros cuadrados. Factorizar da (x+3)(x+8)(x + 3)(x + 8), revelando posibles dimensiones.

2Inténtalo tú mismo

Una piscina rectangular tiene un área de x2+10x+21x^2 + 10x + 21 metros cuadrados.

¿Cuáles son las dimensiones de la piscina en términos de xx?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Factoriza: x2+10x+21x^2 + 10x + 21

Puntos clave

  • 1Para x2+bx+cx^2 + bx + c, encuentra dos números que SUMEN a bb y MULTIPLIQUEN a cc
  • 2Si c>0c > 0 y b>0b > 0: ambos factores son positivos
  • 3Si c>0c > 0 y b<0b < 0: ambos factores son negativos
  • 4Si c<0c < 0: un factor es positivo, uno es negativo (el mayor tiene el signo de bb)
  • 5Siempre verifica tu respuesta expandiendo con FOIL

Preguntas frecuentes

El trinomio puede ser primo (no puede factorizarse con enteros). Por ejemplo, x2+5x+3x^2 + 5x + 3 no tiene pares de factores enteros que sumen 5 y multipliquen 3.
El trinomio puede ser primo (no puede factorizarse con enteros). Por ejemplo, x2+5x+3x^2 + 5x + 3 no tiene pares de factores enteros que sumen 5 y multipliquen 3.
¡No! (x+3)(x+4)(x + 3)(x + 4) es lo mismo que (x+4)(x+3)(x + 4)(x + 3) debido a la propiedad conmutativa de la multiplicación.
Eso requiere un método diferente (método AC o prueba y error). Esta lección se enfoca solo en trinomios donde a=1a = 1.

Glosario

Trinomio
Un polinomio con exactamente tres términos (ej. x2+5x+6x^2 + 5x + 6)
Factorizar
Escribir una expresión como producto de expresiones más simples
Coeficiente principal
El coeficiente del término de mayor grado (el número delante de x2x^2)
Polinomio primo
Un polinomio que no puede factorizarse usando enteros

Tarjeta de fórmulas

Patrón de factorización

x2+bx+c=(x+m)(x+n)x^2 + bx + c = (x + m)(x + n)

donde $m + n = b$ y $m \times n = c$

Reglas de signos

c>0⇒mismos signosc<0⇒signos diferentesc > 0 \Rightarrow \text{mismos signos} \quad c < 0 \Rightarrow \text{signos diferentes}

El signo de $b$ determina qué factor es mayor cuando los signos difieren

Reto de hoyUn problema, tres intentos

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