Resolver una inecuación menor que

Resuelve $|x - 2| < 5$

Reconocer el tipo: $|x - 2| < 5$ es una inecuación "menor que" = La expresión está a menos de 5 unidades de cero

Escribir como inecuación compuesta: Para $|A| < a$, escribir $-a < A < a$ = $-5 < x - 2 < 5$

Resolver sumando 2 a todas las partes: $-5 + 2 < x - 2 + 2 < 5 + 2$ = $-3 < x < 7$

Escribir el conjunto solución: Todos los números entre $-3$ y $7$ = $x \in (-3, 7)$

Answer: $-3 < x < 7$ o en notación de intervalo: $(-3, 7)$

Resolver una inecuación mayor que

Resuelve $|2x + 1| > 7$

Reconocer el tipo: $|2x + 1| > 7$ es una inecuación "mayor que" = La expresión está a más de 7 unidades de cero

Escribir como dos inecuaciones separadas: Para $|A| > a$, escribir $A < -a$ O $A > a$ = $2x + 1 < -7$ O $2x + 1 > 7$

Resolver la primera inecuación: $2x + 1 < -7 \Rightarrow 2x < -8 \Rightarrow x < -4$ = $x < -4$

Resolver la segunda inecuación: $2x + 1 > 7 \Rightarrow 2x > 6 \Rightarrow x > 3$ = $x > 3$

Combinar con O: La solución incluye ambas regiones = $x < -4$ o $x > 3$

Answer: $x < -4$ o $x > 3$, que es $(-\infty, -4) \cup (3, \infty)$

Inecuación con coeficiente

Resuelve $|3x - 6| \leq 9$

Identificar tipo y método: Tipo "menor o igual": escribir como inecuación compuesta = $-9 \leq 3x - 6 \leq 9$

Sumar 6 a todas las partes: $-9 + 6 \leq 3x - 6 + 6 \leq 9 + 6$ = $-3 \leq 3x \leq 15$

Dividir todas las partes por 3: $\frac{-3}{3} \leq \frac{3x}{3} \leq \frac{15}{3}$ = $-1 \leq x \leq 5$

Escribir en notación de intervalo: Incluir extremos (corchetes cerrados) = $x \in [-1, 5]$

Answer: $-1 \leq x \leq 5$ o $[-1, 5]$

Caso especial: Sin solución

Resuelve $|x + 4| < -2$

Considerar qué significa el valor absoluto: El valor absoluto siempre es $\geq 0$ = $|x + 4| \geq 0$ para todo $x$

Comparar con la inecuación: Necesitamos $|x + 4| < -2$, pero el valor absoluto no puede ser negativo = Ningún valor puede satisfacer esto

Establecer la conclusión: Es imposible que un número no negativo sea menor que $-2$ = Sin solución

Answer: Sin solución (el conjunto solución está vacío: $\emptyset$)

Caso especial: Todos los números reales

Resuelve $|x - 1| > -5$

Considerar qué significa el valor absoluto: El valor absoluto siempre es $\geq 0$ = $|x - 1| \geq 0$ para todo $x$

Comparar con la inecuación: Cualquier número no negativo es mayor que $-5$ = Cualquier $x$ sirve

Establecer la conclusión: Como $|x - 1| \geq 0 > -5$ siempre = Todos los números reales

Answer: Todos los números reales: $x \in (-\infty, \infty)$ o $\mathbb{R}$

Mistake: Escribir $|x| < 3$ como $x < 3$ o $x < -3$

Why: Los estudiantes olvidan que "menor que" crea una inecuación Y (entre dos valores), no un O.

Correct: $|x| < 3$ significa $-3 < x < 3$ (valores entre $-3$ y $3$)

Mistake: Escribir $|x| > 3$ como $-3 < x < 3$

Why: Confusión entre los dos casos. "Mayor que" significa que el valor está LEJOS de cero, no cerca.

Correct: $|x| > 3$ significa $x < -3$ O $x > 3$ (valores fuera del intervalo)

Mistake: Olvidar invertir la inecuación al multiplicar por un número negativo

Why: Al resolver, si multiplicas o divides por un número negativo, la dirección de la inecuación se invierte.

Correct: Ejemplo: $|3 - 2x| < 5$ da $-5 < 3 - 2x < 5$, así que $-8 < -2x < 2$. Al dividir entre $-2$ se invierten los dos signos: $4 > x > -1$, es decir, $-1 < x < 4$

Mistake: No verificar si la inecuación no tiene solución o tiene todos los números reales

Why: El valor absoluto siempre es no negativo, entonces $|A| < \text{negativo}$ no tiene solución, y $|A| > \text{negativo}$ siempre es verdadero.

Correct: Siempre verifica: ¿Puede esta inecuación realmente satisfacerse?

Tolerancias de fabricación

Las máquinas de fábrica deben producir piezas dentro de tolerancias específicas. Un perno debe medir 10 mm con tolerancia de 0,05 mm.

La inecuación $|d - 10| \leq 0{,}05$ significa que el diámetro $d$ debe estar entre 9,95 mm y 10,05 mm.

Control de temperatura

Muchos productos requieren almacenamiento dentro de rangos de temperatura específicos.

Las vacunas deben almacenarse a 4 grados Celsius con variación de no más de 2 grados: $|T - 4| \leq 2$, entonces $2 \leq T \leq 6$ grados.

Límites de velocidad y radar

Los radares de policía tienen un margen de error. Un conductor podría impugnar una multa si la velocidad medida está dentro del margen de error.

Si la precisión del radar es de 3 km/h y el límite es 50 km/h, velocidades entre 47 y 53 podrían estar dentro del margen de error: $|v - 50| \leq 3$.

Q: ¿Cómo recuerdo cuándo usar Y vs O?

A: Piensa en distancia: "menor que" significa CERCA de cero (entre dos valores = Y). "Mayor que" significa LEJOS de cero (fuera = O). Truco: menor que da un solo tramo en el centro, mayor que da dos tramos hacia fuera.

Q: ¿Qué pasa si el valor absoluto es igual a un número, no menor o mayor?

A: Para $|A| = a$, obtienes exactamente dos soluciones: $A = a$ o $A = -a$. Esto es una ecuación, no una inecuación.

Q: ¿Puede el número del lado derecho ser negativo?

A: Sí, pero verifica cuidadosamente. Como el valor absoluto siempre es no negativo: $|A| < \text{negativo}$ no tiene solución, mientras que $|A| > \text{negativo}$ es verdadero para todos los valores.