Inecuaciones con valor absoluto

Aprende a resolver inecuaciones que contienen valor absoluto entendiendo la distancia desde cero.

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Definición

Una inecuación con valor absoluto compara el valor absoluto de una expresión con un número.
Recuerda que ∣x∣|x| representa la distancia de xx a cero en la recta numérica.

Dos tipos principales

Menor que (<< o ≤\leq): La expresión está dentro de cierta distancia de cero.
∣x∣<a⇒−a<x<a|x| < a \Rightarrow -a < x < a
Mayor que (>> o ≥\geq): La expresión está más allá de cierta distancia de cero.
∣x∣>a⇒x<−a o x>a|x| > a \Rightarrow x < -a \text{ o } x > a

Idea clave

  • ∣x∣<3|x| < 3 significa que xx está a menos de 3 unidades de cero: −3<x<3-3 < x < 3
  • ∣x∣>3|x| > 3 significa que xx está a más de 3 unidades de cero: x<−3x < -3 o x>3x > 3

Pruébalo ahora

¿Qué inecuación compuesta representa ∣x∣<5|x| < 5?

Ejemplos resueltos

Resuelve ∣x−2∣<5|x - 2| < 5
1

Reconocer el tipo

∣x−2∣<5|x - 2| < 5 es una inecuación "menor que" → La expresión está a menos de 5 unidades de cero
2

Escribir como inecuación compuesta

Para ∣A∣<a|A| < a, escribir −a<A<a-a < A < a → −5<x−2<5-5 < x - 2 < 5
3

Resolver sumando 2 a todas las partes

−5+2<x−2+2<5+2-5 + 2 < x - 2 + 2 < 5 + 2 → −3<x<7-3 < x < 7
4

Escribir el conjunto solución

Todos los números entre −3-3 y 77 → x∈(−3,7)x \in (-3, 7)

Errores comunes

Escribir ∣x∣<3|x| < 3 como x<3x < 3 o x<−3x < -3

Por qué está mal: Los estudiantes olvidan que "menor que" crea una inecuación Y (entre dos valores), no un O.

Correcto: ∣x∣<3|x| < 3 significa −3<x<3-3 < x < 3 (valores entre −3-3 y 33)

Escribir ∣x∣>3|x| > 3 como −3<x<3-3 < x < 3

Por qué está mal: Confusión entre los dos casos. "Mayor que" significa que el valor está LEJOS de cero, no cerca.

Correcto: ∣x∣>3|x| > 3 significa x<−3x < -3 O x>3x > 3 (valores fuera del intervalo)

Olvidar invertir la inecuación al multiplicar por un número negativo

Por qué está mal: Al resolver, si multiplicas o divides por un número negativo, la dirección de la inecuación se invierte.

Correcto: Ejemplo: ∣3−2x∣<5|3 - 2x| < 5 da −5<3−2x<5-5 < 3 - 2x < 5, así que −8<−2x<2-8 < -2x < 2. Al dividir entre −2-2 se invierten los dos signos: 4>x>−14 > x > -1, es decir, −1<x<4-1 < x < 4

No verificar si la inecuación no tiene solución o tiene todos los números reales

Por qué está mal: El valor absoluto siempre es no negativo, entonces ∣A∣<negativo|A| < \text{negativo} no tiene solución, y ∣A∣>negativo|A| > \text{negativo} siempre es verdadero.

Correcto: Siempre verifica: ¿Puede esta inecuación realmente satisfacerse?

Visual interactivo

a

-1 ≤ x ≤ 5·[-1, 5]

Haz clic en los números para seleccionarlos. Ajusta el rango para explorar diferentes valores.

a

x < -4 o x > 3·(−∞, -4) ∪ (3, ∞)

Haz clic en los números para seleccionarlos. Ajusta el rango para explorar diferentes valores.

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Problemas de práctica

17 problemas
Problema 1 de 17
Fácil
¿Qué inecuación compuesta representa ∣x∣<5|x| < 5?

Por qué es importante

Las inecuaciones con valor absoluto son esenciales en muchas aplicaciones del mundo real:
  • Control de calidad: Una pieza de máquina debe estar dentro de ±0,02\pm 0{,}02 mm del tamaño objetivo: ∣x−50∣≤0,02|x - 50| \leq 0{,}02
  • Rangos de temperatura: Mantener medicamentos dentro de 3 grados de 20 grados Celsius: ∣T−20∣≤3|T - 20| \leq 3
  • Estadística: Valores dentro de 2 desviaciones estándar de la media
  • Ingeniería: Rangos de tolerancia para mediciones y especificaciones
Entender estas inecuaciones te ayuda a expresar matemáticamente rangos aceptables y márgenes de error.

Aplicaciones del mundo real

Tolerancias de fabricación

Las máquinas de fábrica deben producir piezas dentro de tolerancias específicas. Un perno debe medir 10 mm con tolerancia de 0,05 mm.

Ejemplo:

La inecuación ∣d−10∣≤0,05|d - 10| \leq 0{,}05 significa que el diámetro dd debe estar entre 9,95 mm y 10,05 mm.

1Inténtalo tú mismo

Una fábrica produce varillas que deben medir 25 cm de largo, con un error aceptable de 0,2 cm.

Escribe y resuelve la inecuación para las longitudes de varilla aceptables.

Paso 1: Elige la respuesta correcta

¿Qué inecuación describe las longitudes aceptables LL?

Control de temperatura

Muchos productos requieren almacenamiento dentro de rangos de temperatura específicos.

Ejemplo:

Las vacunas deben almacenarse a 4 grados Celsius con variación de no más de 2 grados: ∣T−4∣≤2|T - 4| \leq 2, entonces 2≤T≤62 \leq T \leq 6 grados.

2Inténtalo tú mismo

Una bodega de vinos mantiene la temperatura a 13 grados Celsius. La temperatura no debe variar más de 1,5 grados.

¿Cuál es el rango de temperatura aceptable?

Paso 1: Elige la respuesta correcta

¿Qué inecuación describe las temperaturas permitidas TT?

Límites de velocidad y radar

Los radares de policía tienen un margen de error. Un conductor podría impugnar una multa si la velocidad medida está dentro del margen de error.

Ejemplo:

Si la precisión del radar es de 3 km/h y el límite es 50 km/h, velocidades entre 47 y 53 podrían estar dentro del margen de error: ∣v−50∣≤3|v - 50| \leq 3.

3Inténtalo tú mismo

Un radar de tráfico tiene un margen de error de 2 km/h. Registró a un conductor a 62 km/h en una zona limitada a 60 km/h.

¿Está la velocidad registrada dentro del margen de error del límite?

Paso 1: Elige la respuesta correcta

¿Qué afirmación es verdadera para este conductor?

Puntos clave

  • 1El valor absoluto mide la distancia desde cero, entonces ∣x∣|x| siempre es no negativo
  • 2Para ∣A∣<a|A| < a (menor que): escribir −a<A<a-a < A < a (inecuación Y)
  • 3Para ∣A∣>a|A| > a (mayor que): escribir A<−aA < -a O A>aA > a (inecuación O)
  • 4Si se compara con número negativo: ∣A∣<negativo|A| < \text{negativo} no tiene solución; ∣A∣>negativo|A| > \text{negativo} es verdadero para todos los números reales
  • 5Siempre aislar la expresión de valor absoluto antes de separar en casos

Preguntas frecuentes

Piensa en distancia: "menor que" significa CERCA de cero (entre dos valores = Y). "Mayor que" significa LEJOS de cero (fuera = O). Truco: menor que da un solo tramo en el centro, mayor que da dos tramos hacia fuera.
Piensa en distancia: "menor que" significa CERCA de cero (entre dos valores = Y). "Mayor que" significa LEJOS de cero (fuera = O). Truco: menor que da un solo tramo en el centro, mayor que da dos tramos hacia fuera.
Para ∣A∣=a|A| = a, obtienes exactamente dos soluciones: A=aA = a o A=−aA = -a. Esto es una ecuación, no una inecuación.
Sí, pero verifica cuidadosamente. Como el valor absoluto siempre es no negativo: ∣A∣<negativo|A| < \text{negativo} no tiene solución, mientras que ∣A∣>negativo|A| > \text{negativo} es verdadero para todos los valores.

Glosario

Valor absoluto
La distancia de un número desde cero en la recta numérica, siempre no negativo. Escrito como ∣x∣|x|
Inecuación compuesta
Dos inecuaciones unidas por Y u O
Notación de intervalo
Una forma de escribir conjuntos solución usando paréntesis (excluir extremo) y corchetes (incluir extremo)
Conjunto solución
El conjunto de todos los valores que hacen verdadera una inecuación

Tarjeta de fórmulas

Caso menor que (o igual)

∣A∣<a⇒−a<A<a|A| < a \Rightarrow -a < A < a

La expresión $A$ está a menos de $a$ unidades de cero

Caso mayor que (o igual)

∣A∣>a⇒A<−a o A>a|A| > a \Rightarrow A < -a \text{ o } A > a

La expresión $A$ está a más de $a$ unidades de cero

Reto de hoyUn problema, tres intentos

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