Desigualdad de un paso (Suma)

Resuelve $x + 5 > 12$ y grafica la solución.

Identifica la operación: Se suma 5 a $x$ = Hay que restar 5

Resta 5 de ambos lados: $x + 5 - 5 > 12 - 5$ = $x > 7$

Grafica en la recta numérica: Círculo abierto en 7, sombrear hacia la derecha = Todos los números mayores que 7

Answer: $x > 7$ (círculo abierto en 7, flecha hacia la derecha)

Desigualdad de un paso (Multiplicación)

Resuelve $3x \leq 18$ y grafica la solución.

Identifica la operación: $x$ está multiplicado por 3 = Hay que dividir entre 3

Divide ambos lados entre 3: $\frac{3x}{3} \leq \frac{18}{3}$ = $x \leq 6$

Verificar: ¿Hay que invertir el signo?: División entre 3 positivo, no se invierte = El signo permanece $\leq$

Grafica en la recta numérica: Círculo cerrado en 6, sombrear hacia la izquierda = Todos los números menores o iguales a 6

Answer: $x \leq 6$ (círculo cerrado en 6, flecha hacia la izquierda)

Desigualdad con coeficiente negativo

Resuelve $-4x > 20$ y grafica la solución.

Identifica la operación: $x$ está multiplicado por $-4$ = Hay que dividir entre $-4$

Divide ambos lados entre $-4$: $\frac{-4x}{-4} > \frac{20}{-4}$ = $x \text{ ? } -5$

¡INVIERTE el sentido de la desigualdad!: La división por un número negativo invierte el sentido = $x < -5$

Grafica en la recta numérica: Círculo abierto en $-5$, sombrear hacia la izquierda = Todos los números menores que $-5$

Answer: $x < -5$ (círculo abierto en $-5$, flecha hacia la izquierda)

Desigualdad de dos pasos

Resuelve $2x + 7 \geq 15$ y grafica la solución.

Resta 7 de ambos lados: $2x + 7 - 7 \geq 15 - 7$ = $2x \geq 8$

Divide ambos lados entre 2: $\frac{2x}{2} \geq \frac{8}{2}$ = $x \geq 4$

Verificar: ¿Hay que invertir el signo?: División entre 2 positivo, no se invierte = El signo permanece $\geq$

Grafica en la recta numérica: Círculo cerrado en 4, sombrear hacia la derecha = Todos los números mayores o iguales a 4

Answer: $x \geq 4$ (círculo cerrado en 4, flecha hacia la derecha)

Dos pasos con coeficiente negativo

Resuelve $5 - 3x < 14$ y grafica la solución.

Resta 5 de ambos lados: $5 - 3x - 5 < 14 - 5$ = $-3x < 9$

Divide ambos lados entre $-3$: $\frac{-3x}{-3} < \frac{9}{-3}$ = $x \text{ ? } -3$

¡INVIERTE el sentido de la desigualdad!: La división entre $-3$ (negativo) invierte el sentido = $x > -3$

Grafica en la recta numérica: Círculo abierto en $-3$, sombrear hacia la derecha = Todos los números mayores que $-3$

Answer: $x > -3$ (círculo abierto en $-3$, flecha hacia la derecha)

Mistake: Olvidar invertir el signo al dividir por un número negativo

Why: ¡El error más común! Al dividir (o multiplicar) por un número negativo, la dirección de la desigualdad se invierte.

Correct: $-2x > 8$ se convierte en $x < -4$ (no $x > -4$). El signo DEBE invertirse.

Mistake: Usar círculo cerrado para desigualdades estrictas ($<$ o $>$)

Why: Las desigualdades estrictas ($<$, $>$) NO incluyen el valor límite.

Correct: $x > 5$: Círculo abierto en 5 (5 no está incluido). $x \geq 5$: Círculo cerrado en 5 (5 está incluido).

Mistake: Sombrear en la dirección incorrecta

Why: Los estudiantes a veces sombrean según el signo sin verificar la posición de la variable.

Correct: Siempre prueba un valor: Para $x > 3$, prueba $x = 5$. Como $5 > 3$ es verdadero, sombrea la región que contiene 5.

Mistake: Invertir el signo al restar números negativos

Why: La regla de inversión SOLO se aplica a la multiplicación y división por números negativos, no a la suma/resta.

Correct: $x - (-5) > 2$ se convierte en $x + 5 > 2$, luego $x > -3$. No se necesita invertir para la resta.

Planificación de presupuesto

Determina cuántos artículos puedes comprar manteniéndote dentro del presupuesto.

Las entradas de concierto cuestan 25 dólares cada una, más 15 dólares de cargo por servicio. Si tienes 90 dólares, ¿cuántas entradas puedes comprar? $25t + 15 \leq 90$

Velocidad y distancia

Calcula velocidades de conducción seguras para llegar a tiempo.

Necesitas recorrer al menos 200 km en 4 horas. ¿Qué velocidad promedio se requiere? $4s \geq 200$, entonces $s \geq 50$ km/h.

Q: ¿Cuándo debo invertir el sentido de la desigualdad?

A: Solo al multiplicar o dividir ambos lados por un número **negativo**. Sumar o restar (incluso números negativos) no requiere inversión.

Q: ¿Cuál es la diferencia entre < y \leq?

A: $<$ significa estrictamente menor que (no igual), representado con un círculo abierto. $\leq$ significa menor que O igual a, representado con un círculo cerrado.

Q: ¿Cómo verifico mi respuesta?

A: Elige un valor de tu conjunto solución y sustitúyelo en la desigualdad original. Si hace que la desigualdad sea verdadera, tu respuesta probablemente es correcta.