Resolver y graficar desigualdades

Aprende a resolver desigualdades de uno y dos pasos y a representar soluciones en una recta numérica.

Intermedio25 minLección
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Definición

Una desigualdad es un enunciado matemático que compara dos expresiones usando símbolos de desigualdad:
SímboloSignificadoEjemplo
<<Menor quex<5x < 5
>>Mayor quex>3x > 3
≤\leqMenor o igual quex≤7x \leq 7
≥\geqMayor o igual quex≥−2x \geq -2
A diferencia de las ecuaciones (que tienen una sola solución), las desigualdades tienen infinitas soluciones.
Por ejemplo, x>3x > 3 significa que xx puede ser 4, 5, 10, 3,5 o cualquier número mayor que 3.
Regla clave: Cuando multiplicas o divides ambos lados de una desigualdad por un número negativo, debes invertir el sentido de la desigualdad.
−2x>6  ⟹  x<−3-2x > 6 \implies x < -3

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¿Qué símbolo significa 'mayor o igual que'?

Ejemplos resueltos

Resuelve x+5>12x + 5 > 12 y grafica la solución.
1

Identifica la operación

Se suma 5 a xx → Hay que restar 5
2

Resta 5 de ambos lados

x+5−5>12−5x + 5 - 5 > 12 - 5 → x>7x > 7
3

Grafica en la recta numérica

Círculo abierto en 7, sombrear hacia la derecha → Todos los números mayores que 7

Errores comunes

Olvidar invertir el signo al dividir por un número negativo

Por qué está mal: ¡El error más común! Al dividir (o multiplicar) por un número negativo, la dirección de la desigualdad se invierte.

Correcto: −2x>8-2x > 8 se convierte en x<−4x < -4 (no x>−4x > -4). El signo DEBE invertirse.

Usar círculo cerrado para desigualdades estrictas (<< o >>)

Por qué está mal: Las desigualdades estrictas (<<, >>) NO incluyen el valor límite.

Correcto: x>5x > 5: Círculo abierto en 5 (5 no está incluido). x≥5x \geq 5: Círculo cerrado en 5 (5 está incluido).

Sombrear en la dirección incorrecta

Por qué está mal: Los estudiantes a veces sombrean según el signo sin verificar la posición de la variable.

Correcto: Siempre prueba un valor: Para x>3x > 3, prueba x=5x = 5. Como 5>35 > 3 es verdadero, sombrea la región que contiene 5.

Invertir el signo al restar números negativos

Por qué está mal: La regla de inversión SOLO se aplica a la multiplicación y división por números negativos, no a la suma/resta.

Correcto: x−(−5)>2x - (-5) > 2 se convierte en x+5>2x + 5 > 2, luego x>−3x > -3. No se necesita invertir para la resta.

Visual interactivo

a

x ≥ 4·[4, ∞)

Haz clic en los números para seleccionarlos. Ajusta el rango para explorar diferentes valores.

a

x < -5·(−∞, -5)

Haz clic en los números para seleccionarlos. Ajusta el rango para explorar diferentes valores.

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Problemas de práctica

15 problemas
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¿Qué símbolo significa 'mayor o igual que'?

Por qué es importante

Las desigualdades describen situaciones reales con rangos y límites:
  • Requisitos de edad: Debes tener al menos 18 años para votar (edad≥18\text{edad} \geq 18)
  • Límites de velocidad: No conduzcas a más de 50 km/h (velocidad≤50\text{velocidad} \leq 50)
  • Restricciones de presupuesto: Gasta menos de 100 dólares (costo<100\text{costo} < 100)
  • Rangos de temperatura: El agua permanece líquida entre 0 y 100 grados Celsius
  • Calificaciones: Necesitas al menos 60 puntos para aprobar (puntuacioˊn≥60\text{puntuación} \geq 60)
¡Las desigualdades nos ayudan a expresar condiciones, restricciones y rangos que aparecen en todas partes de la vida diaria!

Aplicaciones del mundo real

Planificación de presupuesto

Determina cuántos artículos puedes comprar manteniéndote dentro del presupuesto.

Ejemplo:

Las entradas de concierto cuestan 25 dólares cada una, más 15 dólares de cargo por servicio. Si tienes 90 dólares, ¿cuántas entradas puedes comprar? 25t+15≤9025t + 15 \leq 90

1Inténtalo tú mismo

Un servicio de streaming cuesta 12 dólares al mes. Quieres gastar menos de 150 dólares al año en streaming.

¿Por cuántos meses puedes suscribirte?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Resuelve 12m<15012m < 150. ¿Cuál es el mayor número entero de meses?

Velocidad y distancia

Calcula velocidades de conducción seguras para llegar a tiempo.

Ejemplo:

Necesitas recorrer al menos 200 km en 4 horas. ¿Qué velocidad promedio se requiere? 4s≥2004s \geq 200, entonces s≥50s \geq 50 km/h.

2Inténtalo tú mismo

Un camión de reparto debe recorrer 300 km. Para evitar una multa, el conductor debe promediar como máximo 80 km/h.

¿Cuál es el tiempo mínimo para el viaje?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Si velocidad=distanciatiempo\text{velocidad} = \frac{\text{distancia}}{\text{tiempo}}, entonces 300t≤80\frac{300}{t} \leq 80. Halla el menor tt (en horas).

Puntos clave

  • 1Las desigualdades comparan expresiones con <<, >>, ≤\leq, ≥\geq
  • 2Resuelve desigualdades como ecuaciones: suma, resta, multiplica, divide en ambos lados
  • 3Regla crítica: Invierte el sentido de la desigualdad al multiplicar o dividir por un número negativo
  • 4Grafica soluciones: círculo abierto para << y >>, círculo cerrado para ≤\leq y ≥\geq
  • 5Sombrea la recta numérica en la dirección del conjunto solución

Preguntas frecuentes

Solo al multiplicar o dividir ambos lados por un número negativo. Sumar o restar (incluso números negativos) no requiere inversión.
Solo al multiplicar o dividir ambos lados por un número negativo. Sumar o restar (incluso números negativos) no requiere inversión.
<< significa estrictamente menor que (no igual), representado con un círculo abierto. ≤\leq significa menor que O igual a, representado con un círculo cerrado.
Elige un valor de tu conjunto solución y sustitúyelo en la desigualdad original. Si hace que la desigualdad sea verdadera, tu respuesta probablemente es correcta.

Glosario

Desigualdad
Un enunciado matemático que compara dos expresiones usando <<, >>, ≤\leq o ≥\geq
Conjunto solución
Todos los valores que hacen verdadera una desigualdad
Círculo abierto
Se usa en una recta numérica para mostrar que un valor NO está incluido (<< o >>)
Círculo cerrado
Se usa en una recta numérica para mostrar que un valor SÍ está incluido (≤\leq o ≥\geq)
Valor límite
El valor donde la desigualdad cambia de verdadera a falsa
Reto de hoyUn problema, tres intentos

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