Introducción a las funciones lineales

Aprende qué son las funciones lineales, cómo identificarlas y cómo dan rectas en una gráfica.

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Definición

Una función lineal es una función cuya gráfica es una recta. Se puede escribir en la forma:
y=mx+by = mx + b
Donde:
  • mm es la pendiente (lo inclinada que está la recta)
  • bb es la ordenada en el origen (donde la recta cruza el eje y)
  • xx es la entrada (variable independiente)
  • yy es la salida (variable dependiente)
En los libros de ESO verás también el nombre función afín para y=mx+by = mx + b con b≠0b \neq 0; el caso b=0b = 0 (y=mxy = mx) es la función de proporcionalidad directa. Aquí llamamos lineales a todas las funciones cuya gráfica es una recta.
La característica clave de una función lineal es que tiene una tasa de cambio constante - por cada aumento de una unidad en xx, el valor de yy cambia en la misma cantidad (mm).

Pruébalo ahora

¿Cuál de las siguientes es una función lineal?

Ejemplos resueltos

¿Es y=3x−2y = 3x - 2 una función lineal?
1

Verificar la forma

Comparar con y=mx+by = mx + b → Coincide con el patrón
2

Identificar la pendiente

El coeficiente de xx es 33 → m=3m = 3
3

Identificar la ordenada en el origen

El término constante es −2-2 → b=−2b = -2
4

Verificar linealidad

Sin exponentes en xx, sin xx en el denominador → Es lineal

Errores comunes

Pensar que y=x2y = x^2 es lineal porque tiene una xx

Por qué está mal: ¡El exponente importa! x2x^2 significa xx multiplicado por sí mismo, lo que crea una curva, no una recta.

Correcto: Las funciones lineales tienen xx solo a la primera potencia. Verifica que no haya x2x^2, x3x^3, x\sqrt{x}, o 1x\frac{1}{x}.

Confundir la pendiente y la ordenada en el origen en y=mx+by = mx + b

Por qué está mal: Es fácil confundirlas. La pendiente (mm) es el coeficiente de xx, mientras que bb es el término constante.

Correcto: En y=3x+5y = 3x + 5, la pendiente es 33 (multiplica a xx) y la ordenada en el origen es 55 (está sola).

Pensar que y=5y = 5 no es una función lineal

Por qué está mal: Esto es en realidad y=0x+5y = 0x + 5, una recta horizontal con pendiente 00.

Correcto: y=5y = 5 es lineal - es un caso especial con pendiente cero. La gráfica es una recta horizontal en y=5y = 5.

Visual interactivo

Explorador de funciones lineales

y = 2x + 1
Pendiente (m)2
Interseccion con Y (b)1
b
avance
subida
xy
-2-3
-1-1
01
13
25

Gráfica de la función

Representa estos puntos:

  • (-1; -1)
  • (0; 1)
  • (1; 3)
  • (2; 5)
-3-2-11234-3-2-112345670xy

Toca la cuadrícula para colocar un punto. Tócalo otra vez para quitarlo.Coloca al menos 2 puntos para ver la recta que pasa por ellos.

Sandbox interactivo

Graficador interactivo

-10-50510-10-50510xy

Toca la gráfica o pasa el ratón por encima para leer los valores.

Prueba estos ejemplos:

y = 2x + 1

m=2, b=1

Calculadora de expresiones

Prueba estos:

Historial

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Problemas de práctica

16 problemas
Problema 1 de 16
Fácil
¿Cuál de las siguientes es una función lineal?

Por qué es importante

Las funciones lineales aparecen en todas partes de la vida real:
  • Tarifas de móvil: Una tarifa que cuesta 20 dólares al mes más 5 centavos por SMS es lineal: y=0,05x+20y = 0{,}05x + 20
  • Distancia y tiempo: Conducir a una velocidad constante de 60 km/h crea una relación lineal: d=60td = 60t
  • Conversión de temperatura: Celsius a Fahrenheit es lineal: F=1,8C+32F = 1{,}8C + 32
  • Empresas: Los costes de una empresa a menudo incluyen costes fijos más costes variables por artículo
¡Entender las funciones lineales te ayuda a predecir resultados, comparar opciones y tomar mejores decisiones!

Aplicaciones del mundo real

Tarifas de móvil

Muchas tarifas de móvil tienen una cuota base más un cargo por uso, creando una función lineal.

Ejemplo:

Una tarifa cuesta 25 dólares al mes más 10 centavos por minuto sobre el límite. Si xx son los minutos extra, entonces y=0,10x+25y = 0{,}10x + 25.

1Inténtalo tú mismo

Una tarifa de móvil cobra 30 dólares al mes más 5 centavos por SMS.

¿Cuánto costarían 100 SMS en un mes?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Escribe la función como y=mx+by = mx + b y sustituye:

Distancia y velocidad

Al viajar a velocidad constante, la distancia es una función lineal del tiempo.

Ejemplo:

Conduciendo a 50 km/h: d=50td = 50t, donde dd es la distancia en km y tt es el tiempo en horas.

2Inténtalo tú mismo

Un ciclista viaja a una velocidad constante de 15 km/h.

¿Qué distancia recorrerá en 3 horas?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Usa d=15td = 15t:

Ganancias y horas trabajadas

Los salarios por hora crean una relación lineal entre las horas trabajadas y el dinero ganado.

Ejemplo:

Ganar 12 dólares por hora: y=12xy = 12x, donde xx son las horas e yy son las ganancias en dólares.

3Inténtalo tú mismo

Un estudiante gana 15 dólares por hora dando clases particulares, más un bono de 20 dólares por cada alumno nuevo.

Si dio 4 horas de clase a un alumno nuevo, ¿cuánto ganó?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Calcula las ganancias:

Puntos clave

  • 1Una función lineal tiene la forma y=mx+by = mx + b, donde mm es la pendiente y bb es la ordenada en el origen
  • 2La gráfica de una función lineal siempre es una recta
  • 3Las funciones lineales tienen una tasa de cambio constante - cuando xx aumenta en 1, yy siempre cambia en mm
  • 4Para identificar una función lineal, verifica que xx no tenga exponente distinto de 1 y no aparezca en un denominador o bajo un radical

Preguntas frecuentes

Una función es lineal si su gráfica es una recta. Matemáticamente, esto significa que la ecuación puede escribirse como y=mx+by = mx + b sin exponentes en las variables, sin variables en denominadores y sin variables bajo radicales.
Una función es lineal si su gráfica es una recta. Matemáticamente, esto significa que la ecuación puede escribirse como y=mx+by = mx + b sin exponentes en las variables, sin variables en denominadores y sin variables bajo radicales.
¡Sí! Una pendiente de 0 da una recta horizontal (y=by = b). Una pendiente negativa significa que la recta baja de izquierda a derecha (como una pista de esquí).
Una ecuación lineal con dos incógnitas, como 2x+y=72x + y = 7, tiene como gráfica una recta. Si despejas yy, obtienes una función lineal: aquí y=−2x+7y = -2x + 7. Una recta vertical como x=3x = 3 es una ecuación lineal pero no una función, porque al único valor x=3x = 3 le corresponden muchos valores de yy.

Glosario

Función lineal
Una función cuya gráfica es una recta, escrita como y=mx+by = mx + b
Pendiente
La tasa de cambio de una recta, representada por mm en y=mx+by = mx + b. Mide la inclinación.
Ordenada en el origen
El punto donde la recta cruza el eje y, representado por bb en y=mx+by = mx + b
Tasa de cambio
Cuánto cambia la salida (yy) por cada cambio unitario en la entrada (xx)
Tasa de cambio constante
Cuando la tasa de cambio es la misma entre dos puntos cualesquiera - la característica definitoria de las funciones lineales
Reto de hoyUn problema, tres intentos

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