Volver a la lección

Guía del profesor: Introducción a las funciones lineales

Aprende qué son las funciones lineales, cómo identificarlas y cómo dan rectas en una gráfica.

Presentar lecciónCompartir en ClassroomVer página del estudiante

Usa esta lección con tu clase

Gratis, sin cuentas para los alumnos.

Compartir con los alumnos

Los alumnos abren la lección y practican con corrección inmediata.

Ficha imprimible

Todos los ejercicios en papel, con las soluciones aparte.

Ficha de ejercicios Soluciones

Cuestionario de clase

10 preguntas sobre Funciones Lineales. Los alumnos entran con su nombre y tú ves todas las puntuaciones.

Para profesores

Objetivos de aprendizaje
  • Definir una función lineal e identificar sus componentes clave (pendiente y ordenada en el origen)
  • Determinar si una función es lineal examinando su ecuación
  • Crear tablas de valores para funciones lineales y reconocer la tasa de cambio constante
  • Representar funciones lineales usando la pendiente y la ordenada en el origen
  • Aplicar funciones lineales a situaciones del mundo real
Requisitos previos
  • • Comprensión del plano cartesiano y los pares ordenados
  • • Capacidad para sustituir valores en expresiones algebraicas
  • • Comprensión básica de funciones como máquinas de entrada-salida
  • • Familiaridad con números positivos y negativos
Iniciadores de discusión
  • 1. ¿Por qué crees que estas funciones se llaman 'lineales'? ¿Qué sugiere esa palabra?
  • 2. ¿Puedes pensar en una situación de la vida real donde una relación NO sea lineal?
  • 3. ¿Qué pasa con la gráfica cuando la pendiente es negativa? ¿Cuando es cero?
  • 4. Si dos rectas tienen la misma pendiente pero diferentes ordenadas en el origen, ¿cómo son sus gráficas?
Conceptos erróneos comunes

Cualquier ecuación con x es lineal

Remediación: Muestra contraejemplos como y=x2y = x^2 o y=1xy = \frac{1}{x}. Represéntalos para mostrar que son curvas, no rectas.

La ordenada en el origen es el punto donde la recta corta el eje x

Remediación: Insiste en que la ordenada en el origen está en el eje y, donde x=0x = 0. Pide que sustituyan x=0x = 0 en y=2x+3y = 2x + 3: obtienen el punto (0,3)(0, 3) y lo marcan en el eje y. El punto donde y=0y = 0 es el corte con el eje x, otro punto distinto.

La pendiente siempre es un número entero

Remediación: Proporciona ejemplos con pendientes fraccionarias y decimales como y=0,5x+3y = 0{,}5x + 3 o y=23x−1y = \frac{2}{3}x - 1.

Ideas de diferenciación

Para estudiantes con dificultades:

  • • Comienza solo con pendientes enteras positivas
  • • Usa ejemplos concretos (coste por artículo, distancia por hora) antes de ecuaciones abstractas
  • • Proporciona cuadrículas para representar gráficas con escalas ya marcadas

Para estudiantes de nivel:

  • • Practica con pendientes negativas y valores fraccionarios
  • • Convierte entre diferentes representaciones (tabla, gráfica, ecuación)
  • • Resuelve problemas del mundo real que involucren funciones lineales

Para estudiantes avanzados:

  • • Explora sistemas de ecuaciones lineales (donde dos rectas se cortan)
  • • Investiga rectas paralelas y perpendiculares
  • • Analiza funciones lineales a trozos
Alineación con estándares
  • 8.F.A.3 (CCSS.MATH.CONTENT.8.F.A.3)

    Interpretar la ecuación y = mx + b como definiendo una función lineal cuya gráfica es una recta

  • 8.F.B.4 (CCSS.MATH.CONTENT.8.F.B.4)

    Construir una función para modelar una relación lineal entre dos cantidades

  • F-LE.A.1 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.LE.A.1)

    Distinguir entre situaciones que pueden modelarse con funciones lineales y con funciones exponenciales

Recursos de la lección
  • visualExplorador de rectas interactivo

    Ajusta la pendiente y la ordenada en el origen para ver cómo cambia la recta

  • activity¿Lineal o no? Clasificación de tarjetas

    Clasifica ecuaciones en categorías lineales y no lineales

  • worksheetFunciones lineales en la vida real

    Practica identificando y escribiendo funciones lineales a partir de escenarios

Contenido de la lección

Todo lo que ven los alumnos: definición, ejemplos, errores comunes, aplicaciones. Toca para abrir.

Definición

Una función lineal es una función cuya gráfica es una recta. Se puede escribir en la forma:
y=mx+by = mx + b
Donde:
  • mm es la pendiente (lo inclinada que está la recta)
  • bb es la ordenada en el origen (donde la recta cruza el eje y)
  • xx es la entrada (variable independiente)
  • yy es la salida (variable dependiente)
En los libros de ESO verás también el nombre función afín para y=mx+by = mx + b con b≠0b \neq 0; el caso b=0b = 0 (y=mxy = mx) es la función de proporcionalidad directa. Aquí llamamos lineales a todas las funciones cuya gráfica es una recta.
La característica clave de una función lineal es que tiene una tasa de cambio constante - por cada aumento de una unidad en xx, el valor de yy cambia en la misma cantidad (mm).

Ejemplos resueltos

¿Es y=3x−2y = 3x - 2 una función lineal?
1

Verificar la forma

Comparar con y=mx+by = mx + b → Coincide con el patrón
2

Identificar la pendiente

El coeficiente de xx es 33 → m=3m = 3
3

Identificar la ordenada en el origen

El término constante es −2-2 → b=−2b = -2
4

Verificar linealidad

Sin exponentes en xx, sin xx en el denominador → Es lineal

Errores comunes

Pensar que y=x2y = x^2 es lineal porque tiene una xx

Por qué está mal: ¡El exponente importa! x2x^2 significa xx multiplicado por sí mismo, lo que crea una curva, no una recta.

Correcto: Las funciones lineales tienen xx solo a la primera potencia. Verifica que no haya x2x^2, x3x^3, x\sqrt{x}, o 1x\frac{1}{x}.

Confundir la pendiente y la ordenada en el origen en y=mx+by = mx + b

Por qué está mal: Es fácil confundirlas. La pendiente (mm) es el coeficiente de xx, mientras que bb es el término constante.

Correcto: En y=3x+5y = 3x + 5, la pendiente es 33 (multiplica a xx) y la ordenada en el origen es 55 (está sola).

Pensar que y=5y = 5 no es una función lineal

Por qué está mal: Esto es en realidad y=0x+5y = 0x + 5, una recta horizontal con pendiente 00.

Correcto: y=5y = 5 es lineal - es un caso especial con pendiente cero. La gráfica es una recta horizontal en y=5y = 5.

Por qué es importante

Las funciones lineales aparecen en todas partes de la vida real:
  • Tarifas de móvil: Una tarifa que cuesta 20 dólares al mes más 5 centavos por SMS es lineal: y=0,05x+20y = 0{,}05x + 20
  • Distancia y tiempo: Conducir a una velocidad constante de 60 km/h crea una relación lineal: d=60td = 60t
  • Conversión de temperatura: Celsius a Fahrenheit es lineal: F=1,8C+32F = 1{,}8C + 32
  • Empresas: Los costes de una empresa a menudo incluyen costes fijos más costes variables por artículo
¡Entender las funciones lineales te ayuda a predecir resultados, comparar opciones y tomar mejores decisiones!

Aplicaciones del mundo real

Tarifas de móvil

Muchas tarifas de móvil tienen una cuota base más un cargo por uso, creando una función lineal.

Ejemplo:

Una tarifa cuesta 25 dólares al mes más 10 centavos por minuto sobre el límite. Si xx son los minutos extra, entonces y=0,10x+25y = 0{,}10x + 25.

1Inténtalo tú mismo

Una tarifa de móvil cobra 30 dólares al mes más 5 centavos por SMS.

¿Cuánto costarían 100 SMS en un mes?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Escribe la función como y=mx+by = mx + b y sustituye:

Distancia y velocidad

Al viajar a velocidad constante, la distancia es una función lineal del tiempo.

Ejemplo:

Conduciendo a 50 km/h: d=50td = 50t, donde dd es la distancia en km y tt es el tiempo en horas.

2Inténtalo tú mismo

Un ciclista viaja a una velocidad constante de 15 km/h.

¿Qué distancia recorrerá en 3 horas?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Usa d=15td = 15t:

Ganancias y horas trabajadas

Los salarios por hora crean una relación lineal entre las horas trabajadas y el dinero ganado.

Ejemplo:

Ganar 12 dólares por hora: y=12xy = 12x, donde xx son las horas e yy son las ganancias en dólares.

3Inténtalo tú mismo

Un estudiante gana 15 dólares por hora dando clases particulares, más un bono de 20 dólares por cada alumno nuevo.

Si dio 4 horas de clase a un alumno nuevo, ¿cuánto ganó?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Calcula las ganancias:

Puntos clave

  • 1Una función lineal tiene la forma y=mx+by = mx + b, donde mm es la pendiente y bb es la ordenada en el origen
  • 2La gráfica de una función lineal siempre es una recta
  • 3Las funciones lineales tienen una tasa de cambio constante - cuando xx aumenta en 1, yy siempre cambia en mm
  • 4Para identificar una función lineal, verifica que xx no tenga exponente distinto de 1 y no aparezca en un denominador o bajo un radical

Preguntas frecuentes

¿Qué hace que una función sea lineal o no lineal?

Una función es lineal si su gráfica es una recta. Matemáticamente, esto significa que la ecuación puede escribirse como y=mx+by = mx + b sin exponentes en las variables, sin variables en denominadores y sin variables bajo radicales.

¿La pendiente puede ser cero o negativa?

¡Sí! Una pendiente de 0 da una recta horizontal (y=by = b). Una pendiente negativa significa que la recta baja de izquierda a derecha (como una pista de esquí).

¿Cuál es la diferencia entre una función lineal y una ecuación lineal?

Una ecuación lineal con dos incógnitas, como 2x+y=72x + y = 7, tiene como gráfica una recta. Si despejas yy, obtienes una función lineal: aquí y=−2x+7y = -2x + 7. Una recta vertical como x=3x = 3 es una ecuación lineal pero no una función, porque al único valor x=3x = 3 le corresponden muchos valores de yy.

Glosario

Función lineal
Una función cuya gráfica es una recta, escrita como y=mx+by = mx + b
Pendiente
La tasa de cambio de una recta, representada por mm en y=mx+by = mx + b. Mide la inclinación.
Ordenada en el origen
El punto donde la recta cruza el eje y, representado por bb en y=mx+by = mx + b
Tasa de cambio
Cuánto cambia la salida (yy) por cada cambio unitario en la entrada (xx)
Tasa de cambio constante
Cuando la tasa de cambio es la misma entre dos puntos cualesquiera - la característica definitoria de las funciones lineales

Más sobre este tema

Forma pendiente-intersección (y = mx + b)

Avanzado20 min

Comprender la pendiente

Intermedio25 min

Forma punto-pendiente

Intermedio25 min

Forma general de ecuaciones lineales

Intermedio25 min