Guía del profesor: Introducción a las funciones lineales
Aprende qué son las funciones lineales, cómo identificarlas y cómo crean líneas rectas en un gráfico.
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Todos los ejercicios en papel, con las soluciones aparte.
Cuestionario de clase
10 preguntas sobre Funciones Lineales. Los alumnos entran con su nombre y tú ves todas las puntuaciones.
Para profesores
- Definir una función lineal e identificar sus componentes clave (pendiente y ordenada al origen)
- Determinar si una función es lineal examinando su ecuación
- Crear tablas de valores para funciones lineales y reconocer la tasa de cambio constante
- Graficar funciones lineales usando la pendiente y la ordenada al origen
- Aplicar funciones lineales a situaciones del mundo real
- • Comprensión de planos de coordenadas y pares ordenados
- • Capacidad para sustituir valores en expresiones algebraicas
- • Comprensión básica de funciones como máquinas de entrada-salida
- • Familiaridad con números positivos y negativos
- 1. ¿Por qué crees que estas funciones se llaman 'lineales'? ¿Qué sugiere esa palabra?
- 2. ¿Puedes pensar en una situación de la vida real donde una relación NO sea lineal?
- 3. ¿Qué pasa con el gráfico cuando la pendiente es negativa? ¿Cuando es cero?
- 4. Si dos líneas tienen la misma pendiente pero diferentes ordenadas al origen, ¿cómo se ven sus gráficos?
Cualquier ecuación con x es lineal
La ordenada al origen es donde x = 0 en la línea
La pendiente siempre es un número entero
Para estudiantes con dificultades:
- • Comienza solo con pendientes enteras positivas
- • Usa ejemplos concretos (costo por artículo, distancia por hora) antes de ecuaciones abstractas
- • Proporciona cuadrículas para graficar con escalas ya marcadas
Para estudiantes de nivel:
- • Practica con pendientes negativas y valores fraccionarios
- • Convierte entre diferentes representaciones (tabla, gráfico, ecuación)
- • Resuelve problemas del mundo real que involucren funciones lineales
Para estudiantes avanzados:
- • Explora sistemas de ecuaciones lineales (donde dos líneas se intersectan)
- • Investiga líneas paralelas y perpendiculares
- • Analiza funciones lineales por partes
- 8.F.A.3 (CCSS.MATH.CONTENT.8.F.A.3)
Interpretar la ecuación y = mx + b como definiendo una función lineal cuyo gráfico es una línea recta
- 8.F.B.4 (CCSS.MATH.CONTENT.8.F.B.4)
Construir una función para modelar una relación lineal entre dos cantidades
- F-LE.A.1 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.LE.A.1)
Distinguir entre situaciones que pueden modelarse con funciones lineales y con funciones exponenciales
- visualExplorador de líneas interactivo
Ajusta la pendiente y la ordenada al origen para ver cómo cambia la línea
- activity¿Lineal o no? Clasificación de tarjetas
Clasifica ecuaciones en categorías lineales y no lineales
- worksheetFunciones lineales en la vida real
Practica identificando y escribiendo funciones lineales a partir de escenarios
Contenido de la lección
Todo lo que ven los alumnos: definición, ejemplos, errores comunes, aplicaciones. Toca para abrir.
Contenido de la lección
Todo lo que ven los alumnos: definición, ejemplos, errores comunes, aplicaciones. Toca para abrir.
Definición
- es la pendiente (qué tan inclinada está la línea)
- es la ordenada al origen (donde la línea cruza el eje y)
- es la entrada (variable independiente)
- es la salida (variable dependiente)
Ejemplos resueltos
¿Es una función lineal?
Verificar la forma
Comparar con → Coincide con el patrón
Identificar la pendiente
El coeficiente de es →
Identificar la ordenada al origen
El término constante es →
Verificar linealidad
Sin exponentes en , sin en el denominador → Es lineal
Respuesta: Sí, es una función lineal con pendiente y ordenada al origen .
Errores comunes
Pensar que es lineal porque tiene una
Por qué está mal: ¡El exponente importa! significa multiplicado por sí mismo, lo que crea una curva, no una línea recta.
Correcto: Las funciones lineales tienen solo a la primera potencia. Verifica que no haya , , , o .
Confundir la pendiente y la ordenada al origen en
Por qué está mal: Es fácil confundirlas. La pendiente () es el coeficiente de , mientras que es el término constante.
Correcto: En , la pendiente es (multiplica a ) y la ordenada al origen es (está sola).
Pensar que no es una función lineal
Por qué está mal: Esto es en realidad , una línea horizontal con pendiente .
Correcto: es lineal - es un caso especial con pendiente cero. El gráfico es una línea horizontal en .
Por qué es importante
- Planes de telefonía: Un plan que cuesta 20 euros al mes más 5 céntimos por SMS es lineal:
- Distancia y tiempo: Conducir a una velocidad constante de 90 km/h crea una relación lineal:
- Conversión de temperatura: Celsius a Fahrenheit es lineal:
- Negocios: Los costos de una empresa a menudo incluyen costos fijos más costos variables por artículo
Aplicaciones del mundo real
Planes de telefonía
Muchos planes de teléfono tienen una tarifa base más un cargo por uso, creando una función lineal.
Ejemplo:
Un plan cuesta 25€ mensuales más 10 céntimos por minuto sobre el límite. Si son los minutos extra, entonces .
Un plan de teléfono cobra 30€ al mes más 5 céntimos por mensaje de texto.
¿Cuánto costarían 100 mensajes de texto en un mes?
Paso 1: Escribe la expresión matemática
Escribe la función como y sustituye:
Distancia y velocidad
Al viajar a velocidad constante, la distancia es una función lineal del tiempo.
Ejemplo:
Conduciendo a 90 km/h: , donde es la distancia en km y es el tiempo en horas.
Un ciclista viaja a una velocidad constante de 15 km/h.
¿Qué distancia recorrerá en 3 horas?
Paso 1: Escribe la expresión matemática
Usa :
Ganancias y horas trabajadas
Los salarios por hora crean una relación lineal entre las horas trabajadas y el dinero ganado.
Ejemplo:
Ganar 12€ por hora: , donde son las horas e son las ganancias en euros.
Un estudiante gana 15€ por hora dando clases particulares, más un bono de 20€ por cada nuevo estudiante.
Si dio 4 horas de clase a un nuevo estudiante, ¿cuánto ganó?
Paso 1: Escribe la expresión matemática
Calcula las ganancias:
Puntos clave
- 1Una función lineal tiene la forma , donde es la pendiente y es la ordenada al origen
- 2El gráfico de una función lineal siempre es una línea recta
- 3Las funciones lineales tienen una tasa de cambio constante - cuando aumenta en 1, siempre cambia en
- 4Para identificar una función lineal, verifica que no tenga exponente distinto de 1 y no aparezca en un denominador o bajo un radical
Preguntas frecuentes
¿Qué hace que una función sea lineal o no lineal?
¿La pendiente puede ser cero o negativa?
¿Cuál es la diferencia entre una función lineal y una ecuación lineal?
Glosario
- Función lineal
- Una función cuyo gráfico es una línea recta, escrita como
- Pendiente
- La tasa de cambio de una línea, representada por en . Mide la inclinación.
- Ordenada al origen
- El punto donde la línea cruza el eje y, representado por en
- Tasa de cambio
- Cuánto cambia la salida () por cada cambio unitario en la entrada ()
- Tasa de cambio constante
- Cuando la tasa de cambio es la misma entre dos puntos cualesquiera - la característica definitoria de las funciones lineales