Forma general de ecuaciones lineales

Escribe el procedimiento de cada ejercicio.

1.
¿Qué ecuación está en forma general?
1. a) $3y = 6x + 9$
2. b) $y = 3x + 5$
3. c) $2x + 4y = 12$
4. d) $x = 2y - 1$
Respuesta: $2x + 4y = 12$
$2x + 4y = 12$ está en forma general $Ax + By = C$ con $A = 2$ , $B = 4$ , $C = 12$ . Todos los coeficientes son enteros y $A > 0$ .
2.
En la ecuación $5x - 3y = 15$ , ¿cuál es el valor de $B$ ?
1. a) $-3$
2. b) $5$
3. c) $15$
4. d) $3$
Respuesta: $-3$
En la forma general $Ax + By = C$ , el coeficiente de $y$ es $B$ . Aquí, $5x - 3y = 15$ significa $B = -3$ (incluyendo el signo negativo).
3.
Encuentra el punto de corte con el eje Y de $4x + 2y = 10$ . Escribe solo el número.
Respuesta: 5
Haz $x = 0$ : $4(0) + 2y = 10 \Rightarrow 2y = 10 \Rightarrow y = 5$ . El punto de corte con el eje Y es $(0, 5)$ .
4.
Encuentra el punto de corte con el eje X de $3x + 6y = 18$ . Escribe solo el número.
Respuesta: 6
Haz $y = 0$ : $3x + 6(0) = 18 \Rightarrow 3x = 18 \Rightarrow x = 6$ . El punto de corte con el eje X es $(6, 0)$ .
5.
Convierte $y = 4x - 3$ a forma general.
1. a) $-4x + y = -3$
2. b) $y - 4x = 3$
3. c) $4x - y = 3$
4. d) $4x + y = 3$
Respuesta: $4x - y = 3$
$y = 4x - 3 \Rightarrow -4x + y = -3$ . Multiplicar por $-1$ : $4x - y = 3$ . Esta es la forma general con $A = 4 > 0$ .
6.
Convierte $y = -2x + 8$ a forma general y encuentra el valor de C.
Respuesta: 8
$y = -2x + 8 \Rightarrow 2x + y = 8$ . En forma general $Ax + By = C$ , tenemos $C = 8$ .
7.
Convierte $6x + 3y = 24$ a forma pendiente-intersección.
Respuesta: y = -2x + 8
1. Aísla el término y restando 6x de ambos lados. ¿Qué obtienes? 3y = -6x + 24
2. Divide ambos lados por 3 para despejar y. ¿Cuál es la forma pendiente-intersección? y = -2x + 8
8.
Encuentra el punto de corte con el eje X y el punto de corte con el eje Y de $5x - 2y = 20$ .
Respuesta: (4, 0), (0, -10)
1. Para encontrar el punto de corte con el eje X, haz y = 0. ¿Cuánto es x? 4
2. Para encontrar el punto de corte con el eje Y, haz x = 0. ¿Cuánto es y? -10
9.
¿Qué ecuación NO está en forma general correcta?
1. a) $3x + 2y = 7$
2. b) $x - 4y = 8$
3. c) $7x + y = 14$
4. d) $-2x + 5y = 10$
Respuesta: $-2x + 5y = 10$
$-2x + 5y = 10$ tiene $A = -2 < 0$ . La forma general correcta requiere $A > 0$ . Debería ser $2x - 5y = -10$ .
10.
¿Cuál es la pendiente de la recta $8x + 4y = 16$ ? Escríbela como fracción o como número entero.
Respuesta: -2
$8x + 4y = 16 \Rightarrow 4y = -8x + 16 \Rightarrow y = -2x + 4$ . La pendiente es $m = -2$ .
11.
Escribe $\frac{1}{2}x + \frac{1}{3}y = 4$ en forma general con coeficientes enteros.
Respuesta: 3x + 2y = 24
1. ¿Cuál es el mcm de 2 y 3? 6
2. Multiplica toda la ecuación por 6. ¿Cuál es el resultado? 3x + 2y = 24
12.
Escribe una ecuación en forma general para la recta que pasa por $(3, 2)$ y $(6, 8)$ .
Respuesta: 2x - y = 4
1. Calcula la pendiente usando los dos puntos. 2
2. Escribe en forma punto-pendiente usando el punto (3, 2). y - 2 = 2(x - 3)
3. Desarrolla y pasa a forma general. 2x - y = 4
13.
Si la recta $3x + ky = 15$ pasa por el punto $(2, 3)$ , ¿cuál es el valor de $k$ ?
1. a) $4$
2. b) $2$
3. c) $5$
4. d) $3$
Respuesta: $3$
Sustituir $(2, 3)$ : $3(2) + k(3) = 15 \Rightarrow 6 + 3k = 15 \Rightarrow 3k = 9 \Rightarrow k = 3$ .
14.
Una recta en forma general $Ax + By = 20$ corta el eje X en $(5, 0)$ y el eje Y en $(0, 4)$ . ¿Cuál es el valor de $A + B$ ?
Respuesta: 9
Con $(5, 0)$ : $A(5) + B(0) = 20 \Rightarrow A = 4$ . Con $(0, 4)$ : $A(0) + B(4) = 20 \Rightarrow B = 5$ . Entonces $A + B = 9$ .
15.
Las entradas del concierto cuestan 20 dólares para adultos y 15 dólares para niños. Un grupo gastó 200 dólares en entradas. Escribe una ecuación en forma general y encuentra cuántas entradas de adulto se compraron si había 4 niños. Sea x el número de entradas de adulto e y el número de entradas infantiles.
Respuesta: 7
1. Escribe la ecuación de coste en forma general. 20x + 15y = 200
2. Sustituye y = 4 (niños) en la ecuación. 20x + 60 = 200
3. Despeja x (entradas de adulto). 7
16.
Escribe una ecuación en forma general para la recta con pendiente $\frac{3}{4}$ que pasa por $(8, 5)$ .
Respuesta: 3x - 4y = 4
1. Escribe en forma punto-pendiente. y - 5 = (3/4)(x - 8)
2. Multiplica ambos lados por 4 para eliminar la fracción. 4y - 20 = 3x - 24
3. Reorganiza a forma general con A positivo. 3x - 4y = 4
17.
¿Qué representa la ecuación $3x = 12$ ?
1. a)Un punto en $(4, 0)$
2. b)Una recta vertical en $x = 4$
3. c)Una recta con pendiente 3
4. d)Una recta horizontal en $y = 4$
Respuesta: Una recta vertical en $x = 4$
$3x = 12 \Rightarrow x = 4$ es una recta vertical donde x siempre es 4, independientemente de y. Está en forma general con $B = 0$ .
18.
Las rectas $2x + 3y = 12$ y $4x + 6y = k$ son la misma recta. ¿Cuál es el valor de $k$ ?
Respuesta: 24
La segunda ecuación es la primera multiplicada por 2: $2(2x + 3y) = 2(12) \Rightarrow 4x + 6y = 24$ . Entonces $k = 24$ .