Escribir a partir de pendiente y ordenada en el origen

Escribe la ecuación de una recta con pendiente $m = 3$ y ordenada en el origen $b = -2$.

Identificar la pendiente: $m = 3$ = La pendiente es 3

Identificar la ordenada en el origen: $b = -2$ = La ordenada en el origen es $-2$

Sustituir en la forma pendiente-intersección: $y = mx + b$ $y = 3x + (-2)$ = $y = 3x - 2$

Answer: $y = 3x - 2$

Escribir a partir de un punto y pendiente

Escribe la ecuación de una recta con pendiente $m = 2$ que pasa por el punto $(3, 7)$.

Escribir la forma punto-pendiente: $y - y_1 = m(x - x_1)$ = Plantilla lista

Sustituir los valores: $y - 7 = 2(x - 3)$ = Forma punto-pendiente

Multiplicar la pendiente por el paréntesis: $y - 7 = 2x - 6$ = Lado derecho simplificado

Despejar y: $y = 2x - 6 + 7$ $y = 2x + 1$ = $y = 2x + 1$

Answer: $y = 2x + 1$

Escribir a partir de dos puntos

Escribe la ecuación de la recta que pasa por $(1, 2)$ y $(4, 11)$.

Calcular la pendiente: $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{11 - 2}{4 - 1} = \frac{9}{3}$ = $m = 3$

Usar forma punto-pendiente con $(1, 2)$: $y - 2 = 3(x - 1)$ = Ecuación punto-pendiente

Quitar el paréntesis: $y - 2 = 3x - 3$ = Paréntesis quitado

Despejar y: $y = 3x - 3 + 2$ $y = 3x - 1$ = $y = 3x - 1$

Answer: $y = 3x - 1$

Escribir a partir de una tabla

Escribe la ecuación para esta tabla: | $x$ | 0 | 1 | 2 | 3 | |-----|---|---|---|---| | $y$ | 4 | 7 | 10 | 13 |

Encontrar la tasa de cambio (pendiente): Cuando $x$ aumenta en 1, $y$ aumenta en 3 $m = \frac{7-4}{1-0} = 3$ = $m = 3$

Encontrar la ordenada en el origen: Cuando $x = 0$, $y = 4$ $b = 4$ = $b = 4$

Escribir la ecuación: $y = mx + b$ $y = 3x + 4$ = $y = 3x + 4$

Verificar con otro punto: Comprobar $(2, 10)$: $3(2) + 4 = 10$ ✓ = ¡Ecuación confirmada!

Answer: $y = 3x + 4$

Escribir a partir de un problema

Un taxi cobra 3 dólares de tarifa base más 2 dólares por kilómetro. Escribe una ecuación para el coste total $C$ en función de los kilómetros recorridos $k$.

Identificar la tasa de cambio: El coste aumenta 2 dólares por kilómetro = Pendiente $= 2$

Identificar el valor inicial: La tarifa base es 3 dólares (cuando $k = 0$) = Ordenada en el origen $= 3$

Escribir la ecuación: $C = 2k + 3$ = Ecuación del coste total

Interpretar: Para 5 km: $C = 2(5) + 3 = 13$ dólares = 13 dólares por 5 km

Answer: $C = 2k + 3$

Mistake: Confundir las posiciones de pendiente y ordenada en el origen

Why: En $y = mx + b$, el coeficiente de $x$ es SIEMPRE la pendiente, y la constante es SIEMPRE la ordenada en el origen.

Correct: Recuerda: $m$ multiplica a $x$ (pendiente), $b$ está solo (ordenada en el origen). En $y = 5 + 3x$, ¡la pendiente es 3, no 5!

Mistake: Calcular la pendiente como $\frac{x_2 - x_1}{y_2 - y_1}$

Why: ¡Esto da el recíproco de la pendiente correcta!

Correct: La pendiente siempre es $\frac{\text{cambio vertical}}{\text{cambio horizontal}} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ (las y en el numerador, las x en el denominador)

Mistake: Equivocarse de signo al multiplicar por una pendiente negativa

Why: Cuando $m = -2$ y el punto es $(3, 5)$: $y - 5 = -2(x - 3)$ se convierte en $y - 5 = -2x + 6$, no $-2x - 6$

Correct: Negativo por negativo es positivo: $-2 \times (-3) = +6$

Mistake: Mezclar el orden de los puntos en la fórmula de la pendiente

Why: Cambiar el orden de los puntos a mitad del cálculo da respuestas incorrectas.

Correct: Si empiezas con $(x_1, y_1) = (2, 5)$, mantén ese orden en todo el cálculo: $m = \frac{y_2 - 5}{x_2 - 2}$

Planes de telefonía móvil

Las compañías telefónicas usan ecuaciones lineales para calcular facturas mensuales con tarifas base y cargos por unidad.

Un plan cuesta 30 dólares al mes más 0,10 dólares por SMS. La ecuación es $C = 0{,}10t + 30$.

Experimentos científicos

Los científicos usan ecuaciones lineales para modelar relaciones como cambios de temperatura o distancia recorrida.

El agua se enfría 5 grados por minuto desde 80 grados iniciales: $T = -5t + 80$

Metas de ahorro

Las ecuaciones lineales ayudan a seguir el progreso del ahorro hacia metas financieras.

Empezando con 200 dólares y ahorrando 50 dólares semanalmente: $A = 50s + 200$

Q: ¿Qué forma debo usar - pendiente-intersección o punto-pendiente?

A: Si conoces la ordenada en el origen, usa la forma pendiente-intersección ($y = mx + b$). Si solo conoces un punto que no está en el eje y, la forma punto-pendiente ($y - y_1 = m(x - x_1)$) es más fácil. ¡Ambas dan la misma recta!

Q: ¿Qué pasa si obtengo una ecuación diferente usando un punto diferente?

A: Diferentes puntos dan ecuaciones que se ven diferentes pero representan la misma recta. Por ejemplo, usando los puntos $(1, 5)$ y $(2, 8)$ con pendiente 3: $y - 5 = 3(x - 1)$ y $y - 8 = 3(x - 2)$ ambos se simplifican a $y = 3x + 2$.

Q: ¿Cómo sé si mi ecuación es correcta?

A: Sustituye un punto conocido en tu ecuación. Si ambos lados son iguales, ¡es correcto! Por ejemplo, si tu recta pasa por $(2, 7)$ y tu ecuación es $y = 2x + 3$, comprueba: $7 = 2(2) + 3 = 7$ ✓