Escribir ecuaciones lineales

Aprende a escribir ecuaciones lineales a partir de información dada como pendiente, puntos o situaciones reales.

Intermedio25 minLección
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Definición

Escribir ecuaciones lineales significa crear una ecuación de la forma y=mx+by = mx + b (o equivalente) a partir de información dada.
Para escribir una ecuación lineal, necesitas:
  • La pendiente (mm) - cuánto se inclina la recta
  • Un punto en la recta - o la ordenada en el origen (bb)
Dado: pendiente y ordenada en el origen→y=mx+b\text{Dado: pendiente y ordenada en el origen} \rightarrow y = mx + b
Dado: pendiente y un punto→y−y1=m(x−x1)\text{Dado: pendiente y un punto} \rightarrow y - y_1 = m(x - x_1)
¡Una vez que identifiques la pendiente y un punto, puedes escribir la ecuación!

Pruébalo ahora

¿Cuál es la ecuación de una recta con pendiente m=2m = 2 y ordenada en el origen b=5b = 5?

Ejemplos resueltos

Escribe la ecuación de una recta con pendiente m=3m = 3 y ordenada en el origen b=−2b = -2.
1

Identificar la pendiente

m=3m = 3 → La pendiente es 3
2

Identificar la ordenada en el origen

b=−2b = -2 → La ordenada en el origen es −2-2
3

Sustituir en la forma pendiente-intersección

y=mx+by = mx + b y=3x+(−2)y = 3x + (-2) → y=3x−2y = 3x - 2

Errores comunes

Confundir las posiciones de pendiente y ordenada en el origen

Por qué está mal: En y=mx+by = mx + b, el coeficiente de xx es SIEMPRE la pendiente, y la constante es SIEMPRE la ordenada en el origen.

Correcto: Recuerda: mm multiplica a xx (pendiente), bb está solo (ordenada en el origen). En y=5+3xy = 5 + 3x, ¡la pendiente es 3, no 5!

Calcular la pendiente como x2−x1y2−y1\frac{x_2 - x_1}{y_2 - y_1}

Por qué está mal: ¡Esto da el recíproco de la pendiente correcta!

Correcto: La pendiente siempre es cambio verticalcambio horizontal=y2−y1x2−x1\frac{\text{cambio vertical}}{\text{cambio horizontal}} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} (las y en el numerador, las x en el denominador)

Equivocarse de signo al multiplicar por una pendiente negativa

Por qué está mal: Cuando m=−2m = -2 y el punto es (3,5)(3, 5): y−5=−2(x−3)y - 5 = -2(x - 3) se convierte en y−5=−2x+6y - 5 = -2x + 6, no −2x−6-2x - 6

Correcto: Negativo por negativo es positivo: −2×(−3)=+6-2 \times (-3) = +6

Mezclar el orden de los puntos en la fórmula de la pendiente

Por qué está mal: Cambiar el orden de los puntos a mitad del cálculo da respuestas incorrectas.

Correcto: Si empiezas con (x1,y1)=(2,5)(x_1, y_1) = (2, 5), mantén ese orden en todo el cálculo: m=y2−5x2−2m = \frac{y_2 - 5}{x_2 - 2}

Visual interactivo

Explorador de funciones lineales

y = 3x - 2
Pendiente (m)3
Interseccion con Y (b)-2
b
avance
subida
xy
-2-8
-1-5
0-2
11
24

Gráfica de la función

-2-101234560510xy(1; 2)(4; 11)y = 3x - 1
  • Recta que pasa por (1; 2) y (4; 11): y = 3x - 1

Sandbox interactivo

Graficador interactivo

-10-50510-10-50510xy

Toca la gráfica o pasa el ratón por encima para leer los valores.

Prueba estos ejemplos:

y = 2x + 1

m=2, b=1

Calculadora de expresiones

Prueba estos:

Historial

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Problemas de práctica

16 problemas
Problema 1 de 16
Fácil
¿Cuál es la ecuación de una recta con pendiente m=2m = 2 y ordenada en el origen b=5b = 5?

Por qué es importante

Escribir ecuaciones lineales es una habilidad fundamental que conecta el álgebra con el mundo real:
  • Negocios: Una empresa cobra 50 dólares por hora más 100 dólares de tarifa de servicio: y=50x+100y = 50x + 100
  • Ciencias: La temperatura baja 2 grados cada hora desde 20 grados iniciales: T=−2h+20T = -2h + 20
  • Finanzas: Ahorras 25 dólares por semana comenzando con 150 dólares: A=25s+150A = 25s + 150
  • Deportes: Un corredor recorre 8 metros por segundo: d=8td = 8t
¡Dominar esta habilidad te permite modelar y predecir relaciones del mundo real matemáticamente!

Aplicaciones del mundo real

Planes de telefonía móvil

Las compañías telefónicas usan ecuaciones lineales para calcular facturas mensuales con tarifas base y cargos por unidad.

Ejemplo:

Un plan cuesta 30 dólares al mes más 0,10 dólares por SMS. La ecuación es C=0,10t+30C = 0{,}10t + 30.

1Inténtalo tú mismo

Un servicio de streaming cobra 12 dólares al mes más 3 dólares por cada alquiler de película premium.

Escribe una ecuación para el coste mensual basado en alquileres premium.

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Sea aa el número de alquileres. Escribe la ecuación del coste:

Experimentos científicos

Los científicos usan ecuaciones lineales para modelar relaciones como cambios de temperatura o distancia recorrida.

Ejemplo:

El agua se enfría 5 grados por minuto desde 80 grados iniciales: T=−5t+80T = -5t + 80

2Inténtalo tú mismo

Una vela pierde 2 centímetros de altura por hora. Empieza con 20 cm de altura.

Escribe una ecuación para la altura de la vela después de hh horas.

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Ecuación de la altura:

Metas de ahorro

Las ecuaciones lineales ayudan a seguir el progreso del ahorro hacia metas financieras.

Ejemplo:

Empezando con 200 dólares y ahorrando 50 dólares semanalmente: A=50s+200A = 50s + 200

3Inténtalo tú mismo

Tienes 75 dólares ahorrados y añades 15 dólares cada semana de tu paga.

Escribe una ecuación para tus ahorros totales después de ss semanas.

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Ecuación de ahorros:

Puntos clave

  • 1Usa y=mx+by = mx + b cuando conoces directamente la pendiente y la ordenada en el origen
  • 2Usa la forma punto-pendiente y−y1=m(x−x1)y - y_1 = m(x - x_1) cuando conoces un punto y la pendiente
  • 3Calcula la pendiente a partir de dos puntos: m=y2−y1x2−x1m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}
  • 4De tablas: la pendiente es el cambio constante en yy dividido por el cambio en xx
  • 5En problemas: la tasa es la pendiente, el valor inicial es la ordenada en el origen

Preguntas frecuentes

Si conoces la ordenada en el origen, usa la forma pendiente-intersección (y=mx+by = mx + b). Si solo conoces un punto que no está en el eje y, la forma punto-pendiente (y−y1=m(x−x1)y - y_1 = m(x - x_1)) es más fácil. ¡Ambas dan la misma recta!
Si conoces la ordenada en el origen, usa la forma pendiente-intersección (y=mx+by = mx + b). Si solo conoces un punto que no está en el eje y, la forma punto-pendiente (y−y1=m(x−x1)y - y_1 = m(x - x_1)) es más fácil. ¡Ambas dan la misma recta!
Diferentes puntos dan ecuaciones que se ven diferentes pero representan la misma recta. Por ejemplo, usando los puntos (1,5)(1, 5) y (2,8)(2, 8) con pendiente 3: y−5=3(x−1)y - 5 = 3(x - 1) y y−8=3(x−2)y - 8 = 3(x - 2) ambos se simplifican a y=3x+2y = 3x + 2.
Sustituye un punto conocido en tu ecuación. Si ambos lados son iguales, ¡es correcto! Por ejemplo, si tu recta pasa por (2,7)(2, 7) y tu ecuación es y=2x+3y = 2x + 3, comprueba: 7=2(2)+3=77 = 2(2) + 3 = 7 ✓

Glosario

Forma pendiente-intersección
La ecuación y=mx+by = mx + b donde mm es la pendiente y bb es la ordenada en el origen
Forma punto-pendiente
La ecuación y−y1=m(x−x1)y - y_1 = m(x - x_1) usando la pendiente mm y el punto (x1,y1)(x_1, y_1)
Ordenada en el origen
El punto donde la recta cruza el eje y; el valor de yy cuando x=0x = 0
Tasa de cambio
Otro nombre para la pendiente; cuánto cambia yy por cada unidad de cambio en xx

Tarjeta de fórmulas

Forma pendiente-intersección

y=mx+by = mx + b

Cuando conoces la pendiente y la ordenada en el origen

Forma punto-pendiente

y−y1=m(x−x1)y - y_1 = m(x - x_1)

Cuando conoces un punto y la pendiente

Fórmula de la pendiente

m=y2−y1x2−x1m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

Calcular la pendiente a partir de dos puntos

Reto de hoyUn problema, tres intentos

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