Suma y resta de polinomios

Aprende a sumar y restar polinomios combinando términos semejantes.

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Definición

Sumar y restar polinomios significa combinar términos semejantes – términos que tienen la misma variable elevada a la misma potencia.
Los términos semejantes comparten la misma variable y exponente:
  • 3x23x^2 y 5x25x^2 son semejantes (ambos tienen x2x^2)
  • 2x2x y −7x-7x son semejantes (ambos tienen x1x^1)
  • 44 y −9-9 son semejantes (ambos son constantes)
Los términos no semejantes no pueden combinarse:
  • 3x23x^2 y 5x5x NO son semejantes (potencias diferentes)
  • 2x2x y 2y2y NO son semejantes (variables diferentes)
Para sumar polinomios: Combina los términos semejantes sumando sus coeficientes.
(3x2+2x+1)+(5x2−4x+3)=(3x2+5x2)+(2x−4x)+(1+3)=8x2−2x+4\begin{align}(3x^2 + 2x + 1) + (5x^2 - 4x + 3) &= (3x^2 + 5x^2) + (2x - 4x) + (1 + 3) \\ &= 8x^2 - 2x + 4\end{align}
Para restar polinomios: Distribuye el signo negativo, luego combina los términos semejantes.
(3x2+2x+1)−(5x2−4x+3)=3x2+2x+1−5x2+4x−3=−2x2+6x−2\begin{align}(3x^2 + 2x + 1) - (5x^2 - 4x + 3) &= 3x^2 + 2x + 1 - 5x^2 + 4x - 3 \\ &= -2x^2 + 6x - 2\end{align}

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¿Cuáles son términos semejantes?

Ejemplos resueltos

Suma: (4x2+3x−5)+(2x2−7x+8)(4x^2 + 3x - 5) + (2x^2 - 7x + 8)
1

Identifica los términos semejantes

Términos con x2x^2: 4x24x^2 y 2x22x^2 Términos con xx: 3x3x y −7x-7x Constantes: −5-5 y 88 → Tres grupos de términos semejantes
2

Suma los términos con x2x^2

4x2+2x2=6x24x^2 + 2x^2 = 6x^2
3

Suma los términos con xx

3x+(−7x)=3x−7x=−4x3x + (-7x) = 3x - 7x = -4x
4

Suma las constantes

−5+8=3-5 + 8 = 3
5

Escribe el polinomio final

Combina todos los resultados en forma estándar → 6x2−4x+36x^2 - 4x + 3

Errores comunes

Olvidar distribuir el signo negativo a TODOS los términos al restar

Por qué está mal: Al restar (3x2+2x−1)(3x^2 + 2x - 1), el menos se aplica a cada término dentro del paréntesis.

Correcto: (5x2)−(3x2+2x−1)=5x2−3x2−2x+1(5x^2) - (3x^2 + 2x - 1) = 5x^2 - 3x^2 - 2x + 1, NO 5x2−3x2+2x−15x^2 - 3x^2 + 2x - 1

Sumar términos no semejantes

Por qué está mal: 3x2+5x3x^2 + 5x no se puede simplificar porque x2x^2 y xx son potencias diferentes.

Correcto: Solo combina términos con la MISMA variable Y el MISMO exponente. 3x2+5x3x^2 + 5x ya está simplificado.

Confundir coeficientes con exponentes al combinar

Por qué está mal: Al sumar 3x2+5x23x^2 + 5x^2, se suman los coeficientes (3 y 5), no los exponentes.

Correcto: 3x2+5x2=8x23x^2 + 5x^2 = 8x^2 (NO 8x48x^4). ¡El exponente permanece igual!

Olvidar términos sin término semejante correspondiente

Por qué está mal: Si no hay término que coincida, el término queda solo en la respuesta.

Correcto: (x3+2x)+(5x2−x)=x3+5x2+x(x^3 + 2x) + (5x^2 - x) = x^3 + 5x^2 + x. El x3x^3 y 5x25x^2 no tienen pareja.

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Fichas algebraicas: agrupar términos semejantes

Cada ficha es un término: los cuadrados grandes son x², las tiras largas son x y los cuadrados pequeños son 1. Las fichas rojas son negativas.

4x24x^2
3x3x
−5-5
2x22x^2
−7x-7x
88

4x2+3x−5+2x2−7x+84x^2 + 3x - 5 + 2x^2 - 7x + 8

Cada término se convierte en fichas: el coeficiente dice cuántas.

=x2= x^2=x= x=1= 1negativa

Gráfica de la función

-3-2-10123-10010203040xy

Toca la gráfica o pasa el ratón por encima para leer los valores.

p(x)q(x)p(x) + q(x)

Tabla de valores

x-2-1012
p(x)5-4-5217
q(x)3017832
p(x) + q(x)35133519

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¿Cuáles son términos semejantes?

Por qué es importante

Las operaciones con polinomios son bloques fundamentales en álgebra y más allá:
  • Física: Combinar ecuaciones de movimiento como s=ut+12at2s = ut + \frac{1}{2}at^2 requiere aritmética de polinomios
  • Ingeniería: Los cálculos de áreas y volúmenes a menudo implican sumar expresiones polinómicas
  • Economía: Las funciones de ganancia combinan polinomios de ingresos y costos: G(x)=I(x)−C(x)G(x) = I(x) - C(x)
  • Informática: Los algoritmos polinómicos y el análisis de complejidad usan estas operaciones
¡Dominar la suma y resta de polinomios te prepara para factorización, resolución de ecuaciones y cálculo!

Aplicaciones del mundo real

Economía: Cálculos de ganancias

Las empresas calculan ganancias restando costos de ingresos, donde ambos son a menudo funciones polinómicas.

Ejemplo:

Si el ingreso es I(x)=50x−0,5x2I(x) = 50x - 0{,}5x^2 y el costo es C(x)=20x+100C(x) = 20x + 100, entonces la ganancia G(x)=I(x)−C(x)=50x−0,5x2−20x−100=−0,5x2+30x−100G(x) = I(x) - C(x) = 50x - 0{,}5x^2 - 20x - 100 = -0{,}5x^2 + 30x - 100

1Inténtalo tú mismo

Una empresa tiene ingresos I(x)=100x−2x2I(x) = 100x - 2x^2 y costos C(x)=30x+500C(x) = 30x + 500 por producir xx artículos.

¿Cuál es el polinomio de ganancia G(x)=I(x)−C(x)G(x) = I(x) - C(x)?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Resta: (100x−2x2)−(30x+500)(100x - 2x^2) - (30x + 500)

Física: Combinar ecuaciones de movimiento

Cuando los objetos se mueven en la misma dirección, sus ecuaciones de posición pueden sumarse.

Ejemplo:

Si dos fuerzas crean desplazamientos d1=3t2+2td_1 = 3t^2 + 2t y d2=t2−5t+10d_2 = t^2 - 5t + 10, el desplazamiento total es d=d1+d2=4t2−3t+10d = d_1 + d_2 = 4t^2 - 3t + 10

2Inténtalo tú mismo

Dos componentes de movimiento están descritas por s1=5t2+3ts_1 = 5t^2 + 3t y s2=2t2−8t+4s_2 = 2t^2 - 8t + 4.

Encuentra el movimiento total s=s1+s2s = s_1 + s_2.

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Suma: (5t2+3t)+(2t2−8t+4)(5t^2 + 3t) + (2t^2 - 8t + 4)

Arquitectura: Cálculos de área

Al combinar o eliminar secciones de planos, los arquitectos suman o restan expresiones polinómicas de área.

Ejemplo:

Una habitación con área A1=x2+6xA_1 = x^2 + 6x recibe una alcoba con área A2=2x+5A_2 = 2x + 5. Área total: A1+A2=x2+8x+5A_1 + A_2 = x^2 + 8x + 5

3Inténtalo tú mismo

Un terreno rectangular tiene área A=x2+10x+24A = x^2 + 10x + 24. Se construye un cobertizo con área S=2x+8S = 2x + 8.

¿Cuál es el área utilizable restante?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Resta: (x2+10x+24)−(2x+8)(x^2 + 10x + 24) - (2x + 8)

Puntos clave

  • 1Los términos semejantes tienen la misma variable elevada a la misma potencia
  • 2Para sumar polinomios, combina los coeficientes de los términos semejantes
  • 3Para restar polinomios, distribuye el signo negativo a cada término, luego combina los términos semejantes
  • 4Los términos sin un término semejante correspondiente permanecen sin cambios en el resultado
  • 5Siempre escribe tu respuesta final en forma estándar (grado más alto primero)

Preguntas frecuentes

¡No! Estos son términos no semejantes porque tienen exponentes diferentes. 3x2+5x3x^2 + 5x ya está completamente simplificado.
¡No! Estos son términos no semejantes porque tienen exponentes diferentes. 3x2+5x3x^2 + 5x ya está completamente simplificado.
¡Los exponentes permanecen iguales! Al sumar 3x2+5x23x^2 + 5x^2, solo sumas los coeficientes: 3+5=83 + 5 = 8, así que el resultado es 8x28x^2.
Restar un polinomio significa restar cada término que contiene. El signo negativo frente al paréntesis se aplica a todos los términos dentro, así que cada signo debe cambiar.

Glosario

Polinomio
Una expresión con uno o más términos, donde cada término tiene una variable elevada a una potencia entera no negativa
Términos semejantes
Términos que tienen exactamente la misma variable elevada a la misma potencia (ej., 3x23x^2 y −5x2-5x^2)
Coeficiente
El factor numérico delante de una variable (ej., en 7x27x^2, el coeficiente es 7)
Forma estándar
Un polinomio escrito con los términos ordenados del grado más alto al más bajo
Grado
El exponente más alto en un polinomio; para un término, es el exponente de la variable
Reto de hoyUn problema, tres intentos

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