Multiplicar polinomios

Aprende a multiplicar polinomios usando la propiedad distributiva y el método FOIL.

Intermedio25 minLección
Ficha imprimible

Definición

Multiplicar polinomios significa distribuir cada término de un polinomio a cada término del otro polinomio, y luego combinar los términos semejantes.
La propiedad distributiva establece:
a(b+c)=ab+aca(b + c) = ab + ac
Para dos binomios, usamos el método FOIL:
(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
FOIL significa:
  • First (Primeros términos): a×ca \times c
  • Outer (Términos externos): a×da \times d
  • Inner (Términos internos): b×cb \times c
  • Last (Últimos términos): b×db \times d

Pruébalo ahora

¿Cuánto es 2x(x+3)2x(x + 3)?

Ejemplos resueltos

Multiplica: 3x(2x+5)3x(2x + 5)
1

Distribuye el monomio a cada término

3x×2x+3x×53x \times 2x + 3x \times 5 → Aplicar propiedad distributiva
2

Calcula el primer producto

3x×2x=6x23x \times 2x = 6x^2
3

Calcula el segundo producto

3x×5=15x3x \times 5 = 15x
4

Combina los términos

6x2+15x6x^2 + 15x → Respuesta final

Errores comunes

Solo multiplicar los primeros y últimos términos: (x+3)(x+4)=x2+12(x + 3)(x + 4) = x^2 + 12

Por qué está mal: Cada término del primer polinomio debe multiplicarse por cada término del segundo polinomio.

Correcto: Usa FOIL: x2+4x+3x+12=x2+7x+12x^2 + 4x + 3x + 12 = x^2 + 7x + 12

Olvidar el término medio al elevar al cuadrado: (x+5)2=x2+25(x + 5)^2 = x^2 + 25

Por qué está mal: Elevar un binomio al cuadrado crea tres términos, no dos. El término medio es 2ab2ab.

Correcto: (x+5)2=x2+10x+25(x + 5)^2 = x^2 + 10x + 25

Errores de signo con términos negativos: (−3)(5)=15(-3)(5) = 15

Por qué está mal: Un negativo por un positivo es negativo.

Correcto: (−3)(5)=−15(-3)(5) = -15

Sumar exponentes incorrectamente: x×x=2xx \times x = 2x

Por qué está mal: Al multiplicar variables, sumamos los exponentes: x1×x1=x2x^1 \times x^1 = x^2

Correcto: x×x=x2x \times x = x^2

Visual interactivo

Modelo de área: multiplicar binomios

El rectángulo mide (x + a) por (x + b). Sus cuatro piezas son los cuatro productos del método FOIL.

x2x^2
3x3x
4x4x
1212
xx
33
xx
44

Largo × ancho = área

(x+3)(x+4)=x2+7x+12(x + 3)(x + 4) = x^2 + 7x + 12

Sandbox interactivo

Calculadora de expresiones

Prueba estos:

Historial

Aún no hay cálculos

Problemas de práctica

16 problemas
Problema 1 de 16
Fácil
¿Cuánto es 2x(x+3)2x(x + 3)?

Por qué es importante

Multiplicar polinomios es esencial para:
  • Factorizar: Para factorizar, necesitas entender cómo se multiplican los factores
  • Resolver ecuaciones: Las ecuaciones cuadráticas a menudo surgen de la multiplicación de polinomios
  • Cálculos de área: Encontrar el área de rectángulos con dimensiones variables
  • Modelado real: La física, ingeniería y economía usan productos de polinomios
¡Dominar esta habilidad abre puertas a temas de álgebra más avanzados!

Aplicaciones del mundo real

Área de un jardín

Calcular áreas con dimensiones variables requiere multiplicar polinomios.

Ejemplo:

Un jardín rectangular tiene largo (x+5)(x + 5) metros y ancho (x+3)(x + 3) metros. El área es (x+5)(x+3)=x2+8x+15(x + 5)(x + 3) = x^2 + 8x + 15 metros cuadrados.

1Inténtalo tú mismo

Un marco alrededor de una imagen añade 2 cm a cada lado. La imagen mide xx cm por xx cm.

¿Cuál es el área total incluyendo el marco?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Multiplica (x+4)(x+4)(x + 4)(x + 4):

Ingresos de un negocio

Los cálculos de ingresos a menudo implican multiplicar expresiones de precio y cantidad.

Ejemplo:

Si el precio es (20−x)(20 - x) euros y la cantidad vendida es (100+5x)(100 + 5x) artículos, el ingreso es (20−x)(100+5x)=2000+100x−100x−5x2=2000−5x2(20 - x)(100 + 5x) = 2000 + 100x - 100x - 5x^2 = 2000 - 5x^2 euros.

2Inténtalo tú mismo

Una tienda vende (50+x)(50 + x) artículos a (10−x)(10 - x) euros cada uno.

Escribe el ingreso como un polinomio.

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Multiplica (50+x)(10−x)(50 + x)(10 - x):

Puntos clave

  • 1Usa la propiedad distributiva para multiplicar cada término de un polinomio por cada término del otro
  • 2Para dos binomios, usa FOIL: First, Outer, Inner, Last
  • 3Siempre combina términos semejantes después de multiplicar
  • 4Al elevar un binomio al cuadrado: (a+b)2=a2+2ab+b2(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
  • 5Cuidado con los errores de signo, especialmente con términos negativos

Preguntas frecuentes

FOIL solo funciona para multiplicar dos binomios. Para otros casos, usa la propiedad distributiva general.
FOIL solo funciona para multiplicar dos binomios. Para otros casos, usa la propiedad distributiva general.
Elevar al cuadrado significa multiplicar por sí mismo: (x+3)(x+3)(x + 3)(x + 3). Usando FOIL obtenemos x2+3x+3x+9=x2+6x+9x^2 + 3x + 3x + 9 = x^2 + 6x + 9.
Combina términos con la misma variable y exponente. Para cuando no queden más términos semejantes.

Glosario

Polinomio
Una expresión con uno o más términos que incluyen variables y coeficientes (ej.: 3x2+2x−53x^2 + 2x - 5)
Binomio
Un polinomio con exactamente dos términos (ej.: x+3x + 3)
Trinomio
Un polinomio con exactamente tres términos (ej.: x2+5x+6x^2 + 5x + 6)
FOIL
Un método para multiplicar dos binomios: First, Outer, Inner, Last
Términos semejantes
Términos con la misma variable elevada a la misma potencia (ej.: 3x23x^2 y 5x25x^2)

Tarjeta de fórmulas

Propiedad distributiva

a(b+c)=ab+aca(b + c) = ab + ac

Multiplica el término exterior por cada término interior

Método FOIL

(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd

First, Outer, Inner, Last para dos binomios

Cuadrado de una suma

(a+b)2=a2+2ab+b2(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

Patrón del trinomio cuadrado perfecto

Cuadrado de una diferencia

(a−b)2=a2−2ab+b2(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

Nota el signo menos en el término medio

Diferencia de cuadrados

(a+b)(a−b)=a2−b2(a + b)(a - b) = a^2 - b^2

Los términos medios se cancelan

Reto de hoyUn problema, tres intentos

Más sobre este tema

Introducción a los polinomios

Intermedio25 min

Método FOIL

Intermedio25 min

Suma y resta de polinomios

Avanzado25 min

Clasificar polinomios

Intermedio20 min