Monomio por binomio

Multiplica: $3x(2x + 5)$

Distribuye el monomio a cada término: $3x \times 2x + 3x \times 5$ = Aplicar propiedad distributiva

Calcula el primer producto: $3x \times 2x = 6x^2$ = $6x^2$

Calcula el segundo producto: $3x \times 5 = 15x$ = $15x$

Combina los términos: $6x^2 + 15x$ = Respuesta final

Answer: $3x(2x + 5) = 6x^2 + 15x$

Método FOIL con binomios

Multiplica: $(x + 3)(x + 4)$

Aplica FOIL - Primeros términos: $x \times x = x^2$ = $x^2$

Términos externos: $x \times 4 = 4x$ = $4x$

Términos internos: $3 \times x = 3x$ = $3x$

Últimos términos: $3 \times 4 = 12$ = $12$

Combina todos los términos: $x^2 + 4x + 3x + 12$ = $x^2 + 7x + 12$

Answer: $(x + 3)(x + 4) = x^2 + 7x + 12$

Binomios con resta

Multiplica: $(2x - 3)(x + 5)$

Primeros términos: $2x \times x = 2x^2$ = $2x^2$

Términos externos: $2x \times 5 = 10x$ = $10x$

Términos internos: $-3 \times x = -3x$ = $-3x$

Últimos términos: $-3 \times 5 = -15$ = $-15$

Combina términos semejantes: $2x^2 + 10x - 3x - 15$ = $2x^2 + 7x - 15$

Answer: $(2x - 3)(x + 5) = 2x^2 + 7x - 15$

Elevar un binomio al cuadrado

Desarrolla: $(x + 4)^2$

Reescribe como multiplicación: $(x + 4)^2 = (x + 4)(x + 4)$ = Dos binomios idénticos

Primeros términos: $x \times x = x^2$ = $x^2$

Términos externos + internos: $x \times 4 + 4 \times x = 4x + 4x = 8x$ = $8x$

Últimos términos: $4 \times 4 = 16$ = $16$

Combina todos los términos: $x^2 + 8x + 16$ = Trinomio cuadrado perfecto

Answer: $(x + 4)^2 = x^2 + 8x + 16$

Binomio por trinomio

Multiplica: $(x + 2)(x^2 - 3x + 1)$

Distribuye x a cada término: $x(x^2 - 3x + 1) = x^3 - 3x^2 + x$ = $x^3 - 3x^2 + x$

Distribuye 2 a cada término: $2(x^2 - 3x + 1) = 2x^2 - 6x + 2$ = $2x^2 - 6x + 2$

Combina ambos resultados: $x^3 - 3x^2 + x + 2x^2 - 6x + 2$ = Todos los términos escritos

Agrupa términos semejantes: $x^3 + (-3x^2 + 2x^2) + (x - 6x) + 2$ = Organizar por grado

Simplifica: $x^3 - x^2 - 5x + 2$ = Respuesta final

Answer: $(x + 2)(x^2 - 3x + 1) = x^3 - x^2 - 5x + 2$

Mistake: Solo multiplicar los primeros y últimos términos: $(x + 3)(x + 4) = x^2 + 12$

Why: Cada término del primer polinomio debe multiplicarse por cada término del segundo polinomio.

Correct: Usa FOIL: $x^2 + 4x + 3x + 12 = x^2 + 7x + 12$

Mistake: Olvidar el término medio al elevar al cuadrado: $(x + 5)^2 = x^2 + 25$

Why: Elevar un binomio al cuadrado crea tres términos, no dos. El término medio es $2ab$.

Correct: $(x + 5)^2 = x^2 + 10x + 25$

Mistake: Errores de signo con términos negativos: $(-3)(5) = 15$

Why: Un negativo por un positivo es negativo.

Correct: $(-3)(5) = -15$

Mistake: Sumar exponentes incorrectamente: $x \times x = 2x$

Why: Al multiplicar variables, sumamos los exponentes: $x^1 \times x^1 = x^2$

Correct: $x \times x = x^2$

Área de un jardín

Calcular áreas con dimensiones variables requiere multiplicar polinomios.

Un jardín rectangular tiene largo $(x + 5)$ metros y ancho $(x + 3)$ metros. El área es $(x + 5)(x + 3) = x^2 + 8x + 15$ metros cuadrados.

Ingresos de un negocio

Los cálculos de ingresos a menudo implican multiplicar expresiones de precio y cantidad.

Si el precio es $(20 - x)$ euros y la cantidad vendida es $(100 + 5x)$ artículos, el ingreso es $(20 - x)(100 + 5x) = 2000 + 100x - 100x - 5x^2 = 2000 - 5x^2$ euros.

Q: ¿Funciona FOIL para todas las multiplicaciones de polinomios?

A: FOIL solo funciona para multiplicar dos binomios. Para otros casos, usa la propiedad distributiva general.

Q: ¿Por qué $(x + 3)^2$ no es igual a $x^2 + 9$?

A: Elevar al cuadrado significa multiplicar por sí mismo: $(x + 3)(x + 3)$. Usando FOIL obtenemos $x^2 + 3x + 3x + 9 = x^2 + 6x + 9$.

Q: ¿Cómo sé cuándo dejar de combinar términos?

A: Combina términos con la misma variable y exponente. Para cuando no queden más términos semejantes.