Ecuación cuadrática simple

Resuelve $x^2 + 6x + 5 = 0$ usando la fórmula cuadrática.

Identifica a, b y c: Comparando con $ax^2 + bx + c = 0$: $a = 1$, $b = 6$, $c = 5$ = $a=1, b=6, c=5$

Calcula el discriminante: $b^2 - 4ac = 6^2 - 4(1)(5) = 36 - 20 = 16$ = $D = 16$

Aplica la fórmula: $x = \frac{-6 \pm \sqrt{16}}{2(1)} = \frac{-6 \pm 4}{2}$ = $x = \frac{-6 \pm 4}{2}$

Encuentra ambas soluciones: $x_1 = \frac{-6 + 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1$ $x_2 = \frac{-6 - 4}{2} = \frac{-10}{2} = -5$ = $x = -1$ o $x = -5$

Answer: $x = -1$ o $x = -5$

Ecuación con coeficiente principal diferente de 1

Resuelve $2x^2 - 7x + 3 = 0$ usando la fórmula cuadrática.

Identifica a, b y c: $a = 2$, $b = -7$, $c = 3$ Nota: ¡$b$ es negativo! = $a=2, b=-7, c=3$

Calcula el discriminante: $b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4(2)(3) = 49 - 24 = 25$ = $D = 25$

Aplica la fórmula: $x = \frac{-(-7) \pm \sqrt{25}}{2(2)} = \frac{7 \pm 5}{4}$ = $x = \frac{7 \pm 5}{4}$

Encuentra ambas soluciones: $x_1 = \frac{7 + 5}{4} = \frac{12}{4} = 3$ $x_2 = \frac{7 - 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ = $x = 3$ o $x = \frac{1}{2}$

Answer: $x = 3$ o $x = \frac{1}{2}$

Ecuación con soluciones irracionales

Resuelve $x^2 - 4x - 1 = 0$ usando la fórmula cuadrática.

Identifica a, b y c: $a = 1$, $b = -4$, $c = -1$ = $a=1, b=-4, c=-1$

Calcula el discriminante: $b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4(1)(-1) = 16 + 4 = 20$ = $D = 20$

Aplica la fórmula: $x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{20}}{2(1)} = \frac{4 \pm \sqrt{20}}{2}$ = $x = \frac{4 \pm \sqrt{20}}{2}$

Simplifica el radical: $\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$ $x = \frac{4 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 2 \pm \sqrt{5}$ = $x = 2 + \sqrt{5}$ o $x = 2 - \sqrt{5}$

Answer: $x = 2 + \sqrt{5} \approx 4,24$ o $x = 2 - \sqrt{5} \approx -0,24$

Entendiendo el discriminante

¿Cuántas soluciones tiene $x^2 + 2x + 5 = 0$?

Identifica a, b y c: $a = 1$, $b = 2$, $c = 5$ = $a=1, b=2, c=5$

Calcula el discriminante: $b^2 - 4ac = 2^2 - 4(1)(5) = 4 - 20 = -16$ = $D = -16$

Interpreta el discriminante: Como $D < 0$, necesitaríamos $\sqrt{-16}$, que no es un número real = Sin soluciones reales

Conclusión: Cuando el discriminante es negativo, la parábola no cruza el eje x = Cero soluciones reales

Answer: Esta ecuación no tiene soluciones reales porque el discriminante es negativo ($D = -16$).

Mistake: Olvidar hacer b negativo cuando ya es negativo

Why: Si $b = -7$, entonces $-b = -(-7) = 7$, no $-7$. La fórmula dice $-b$, así que niegas lo que sea b.

Correct: Siempre escribe $-b$ primero, luego sustituye: si $b = -7$, escribe $-(-7) = 7$

Mistake: Calcular incorrectamente $b^2$ cuando b es negativo

Why: Los estudiantes a veces escriben $-7^2 = -49$ en lugar de $(-7)^2 = 49$

Correct: El coeficiente completo se eleva al cuadrado: $(-7)^2 = (-7) \times (-7) = 49$

Mistake: Dividir solo parte del numerador entre 2a

Why: Escribir $\frac{-b}{2a} \pm \sqrt{b^2-4ac}$ en lugar de $\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Correct: El numerador completo $(-b \pm \sqrt{...})$ se divide entre $2a$

Mistake: Detenerse en una sola solución

Why: El $\pm$ significa más O menos, dando dos soluciones potenciales

Correct: Siempre calcula ambas: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}$ y $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}$

Movimiento de proyectiles

Cuando lanzas una pelota, su altura sigue una ecuación cuadrática. La fórmula ayuda a encontrar cuándo aterriza.

Una pelota lanzada hacia arriba tiene altura $h = -5t^2 + 20t + 1$ metros después de $t$ segundos. Para encontrar cuándo toca el suelo ($h = 0$), resuelve $-5t^2 + 20t + 1 = 0$ usando la fórmula.

Optimización de ganancias comerciales

Las empresas usan ecuaciones cuadráticas para modelar ganancias y encontrar puntos de equilibrio.

La ganancia de una empresa es $G = -2x^2 + 100x - 800$ euros, donde $x$ son las unidades vendidas. Para encontrar los puntos de equilibrio (donde $G = 0$), usa la fórmula cuadrática.

Q: ¿Cuándo debo usar la fórmula cuadrática en lugar de factorizar?

A: Usa la fórmula cuadrática cuando: (1) la ecuación no se factoriza fácilmente, (2) los coeficientes son grandes o decimales, o (3) quieres un método confiable que siempre funcione. La factorización es más rápida cuando funciona, pero la fórmula es más universal.

Q: ¿Qué significa cuando el discriminante es cero?

A: Cuando $b^2 - 4ac = 0$, la ecuación tiene exactamente una solución (llamada raíz doble o repetida). Gráficamente, la parábola solo toca el eje x en un punto.

Q: ¿Por qué hay un signo más-menos en la fórmula?

A: El $\pm$ viene de extraer la raíz cuadrada. Como $5^2 = 25$ y $(-5)^2 = 25$, la raíz cuadrada de 25 podría ser +5 o -5. Esto nos da dos valores posibles para x.