La fórmula cuadrática

Aprende a resolver cualquier ecuación cuadrática usando la fórmula cuadrática.

Intermedio25 minLección
Ficha imprimible

Definición

La fórmula cuadrática resuelve cualquier ecuación de la forma ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0:
x=−b±b2−4ac2ax = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
Donde:
  • aa, bb y cc son los coeficientes de la ecuación
  • a≠0a \neq 0 (de lo contrario no es una ecuación cuadrática)
  • El símbolo ±\pm significa que generalmente hay dos soluciones
La expresión bajo la raíz, b2−4acb^2 - 4ac, se llama discriminante.

Pruébalo ahora

En la ecuación x2+5x+6=0x^2 + 5x + 6 = 0, ¿cuáles son los valores de aa, bb y cc?

Ejemplos resueltos

Resuelve x2+6x+5=0x^2 + 6x + 5 = 0 usando la fórmula cuadrática.
1

Identifica a, b y c

Comparando con ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0: a=1a = 1, b=6b = 6, c=5c = 5
2

Calcula el discriminante

b2−4ac=62−4(1)(5)=36−20=16b^2 - 4ac = 6^2 - 4(1)(5) = 36 - 20 = 16 → D=16D = 16
3

Aplica la fórmula

x=−6±162(1)=−6±42x = \frac{-6 \pm \sqrt{16}}{2(1)} = \frac{-6 \pm 4}{2} → x=−6±42x = \frac{-6 \pm 4}{2}
4

Encuentra ambas soluciones

x1=−6+42=−22=−1x_1 = \frac{-6 + 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1 x2=−6−42=−102=−5x_2 = \frac{-6 - 4}{2} = \frac{-10}{2} = -5 → x=−1x = -1 o x=−5x = -5

Errores comunes

Olvidar hacer b negativo cuando ya es negativo

Por qué está mal: Si b=−7b = -7, entonces −b=−(−7)=7-b = -(-7) = 7, no −7-7. La fórmula dice −b-b, así que niegas lo que sea b.

Correcto: Siempre escribe −b-b primero, luego sustituye: si b=−7b = -7, escribe −(−7)=7-(-7) = 7

Calcular incorrectamente b2b^2 cuando b es negativo

Por qué está mal: Los estudiantes a veces escriben −72=−49-7^2 = -49 en lugar de (−7)2=49(-7)^2 = 49

Correcto: El coeficiente completo se eleva al cuadrado: (−7)2=(−7)×(−7)=49(-7)^2 = (-7) \times (-7) = 49

Dividir solo parte del numerador entre 2a

Por qué está mal: Escribir −b2a±b2−4ac\frac{-b}{2a} \pm \sqrt{b^2-4ac} en lugar de −b±b2−4ac2a\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}

Correcto: El numerador completo (−b±...)(-b \pm \sqrt{...}) se divide entre 2a2a

Detenerse en una sola solución

Por qué está mal: El ±\pm significa más O menos, dando dos soluciones potenciales

Correcto: Siempre calcula ambas: x1=−b+D2ax_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} y x2=−b−D2ax_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}

Visual interactivo

Explorador cuadrático

y = x² + 6x + 5

Controla ancho y dirección

Desplaza la parábola

Intersección con eje Y

xy

Vértice

(-3, -4)

Eje de simetría

x = -3

Raíces (intersecciones con eje X)

x = -1, x = -5

Intersección con eje Y

(0, 5)

Dirección

Abre hacia arriba

Discriminante

b² - 4ac = 16

Tabla de valores

x-3-2-10123
y-4-305122132
VérticeRaícesIntersección con eje YEje de simetría

Resolvedor de ecuaciones

Resolver para xx:

x2+6x+5=0x^{2} + 6x + 5 = 0
1
x2+6x+5=0x^{2} + 6x + 5 = 0
Identificar a, b y cUna ecuación de segundo grado se resuelve en su forma general

Consejos:

  • • Lo que hagas de un lado, hazlo del otro
  • • Deshaz las operaciones en orden inverso
  • • Comprueba tu respuesta sustituyendo

Sigue mientras resolvemos la ecuación paso a paso.

Sandbox interactivo

Graficador interactivo

-10-50510-10-50510xy

Toca la gráfica o pasa el ratón por encima para leer los valores.

Prueba estos ejemplos:

y = x^2 + 6x + 5

Calculadora de expresiones

Prueba estos:

Historial

Aún no hay cálculos

Problemas de práctica

15 problemas
Problema 1 de 15
Fácil
En la ecuación x2+5x+6=0x^2 + 5x + 6 = 0, ¿cuáles son los valores de aa, bb y cc?

Por qué es importante

La fórmula cuadrática es una de las herramientas más poderosas del álgebra porque:
  • Universal: Funciona para CUALQUIER ecuación cuadrática, incluso cuando la factorización no funciona
  • Predecible: Sigue los mismos pasos cada vez
  • Aplicaciones reales: Física (movimiento de proyectiles), ingeniería (estructuras parabólicas), finanzas (optimización de ganancias)
Aunque la factorización es más rápida cuando funciona, muchos problemas reales tienen números "difíciles" que no se factorizan fácilmente. ¡La fórmula cuadrática los resuelve todos!

Aplicaciones del mundo real

Movimiento de proyectiles

Cuando lanzas una pelota, su altura sigue una ecuación cuadrática. La fórmula ayuda a encontrar cuándo aterriza.

Ejemplo:

Una pelota lanzada hacia arriba tiene altura h=−5t2+20t+1h = -5t^2 + 20t + 1 metros después de tt segundos. Para encontrar cuándo toca el suelo (h=0h = 0), resuelve −5t2+20t+1=0-5t^2 + 20t + 1 = 0 usando la fórmula.

1Inténtalo tú mismo

La altura de un cohete está modelada por h=−4t2+32th = -4t^2 + 32t metros.

¿Cuándo regresa el cohete al suelo?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Establece h=0h = 0 e identifica los coeficientes:

Optimización de ganancias comerciales

Las empresas usan ecuaciones cuadráticas para modelar ganancias y encontrar puntos de equilibrio.

Ejemplo:

La ganancia de una empresa es G=−2x2+100x−800G = -2x^2 + 100x - 800 euros, donde xx son las unidades vendidas. Para encontrar los puntos de equilibrio (donde G=0G = 0), usa la fórmula cuadrática.

2Inténtalo tú mismo

La ganancia semanal de una tienda es G=−x2+50x−400G = -x^2 + 50x - 400 euros por xx artículos vendidos.

¿En qué niveles de ventas alcanza la tienda el equilibrio?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Resuelve −x2+50x−400=0-x^2 + 50x - 400 = 0:

Puntos clave

  • 1La fórmula cuadrática es x=−b±b2−4ac2ax = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
  • 2Funciona para cualquier ecuación de la forma ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0
  • 3El discriminante D=b2−4acD = b^2 - 4ac indica cuántas soluciones existen
  • 4Si D>0D > 0: dos soluciones reales distintas; si D=0D = 0: una solución repetida; si D<0D < 0: sin soluciones reales
  • 5Siempre verifica tus respuestas sustituyendo en la ecuación original

Preguntas frecuentes

Usa la fórmula cuadrática cuando: (1) la ecuación no se factoriza fácilmente, (2) los coeficientes son grandes o decimales, o (3) quieres un método confiable que siempre funcione. La factorización es más rápida cuando funciona, pero la fórmula es más universal.
Usa la fórmula cuadrática cuando: (1) la ecuación no se factoriza fácilmente, (2) los coeficientes son grandes o decimales, o (3) quieres un método confiable que siempre funcione. La factorización es más rápida cuando funciona, pero la fórmula es más universal.
Cuando b2−4ac=0b^2 - 4ac = 0, la ecuación tiene exactamente una solución (llamada raíz doble o repetida). Gráficamente, la parábola solo toca el eje x en un punto.
El ±\pm viene de extraer la raíz cuadrada. Como 52=255^2 = 25 y (−5)2=25(-5)^2 = 25, la raíz cuadrada de 25 podría ser +5 o -5. Esto nos da dos valores posibles para x.

Glosario

Ecuación cuadrática
Una ecuación de la forma ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0 donde a≠0a \neq 0
Discriminante
La expresión b2−4acb^2 - 4ac que determina el número y tipo de soluciones
Coeficiente
El factor numérico de un término (ej: en 3x23x^2, el coeficiente es 3)
Raíz/Solución
Un valor de xx que hace verdadera la ecuación (donde la parábola cruza el eje x)

Tarjeta de fórmulas

Fórmula cuadrática

x=−b±b2−4ac2ax = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Resuelve cualquier ecuación $ax^2 + bx + c = 0$

Discriminante

D=b2−4acD = b^2 - 4ac

Determina el número y tipo de soluciones

Dos soluciones

D>0D > 0

Discriminante positivo: dos raíces reales distintas

Una solución

D=0D = 0

Discriminante cero: una raíz doble

Sin soluciones reales

D<0D < 0

Discriminante negativo: sin raíces reales

Reto de hoyUn problema, tres intentos

Más sobre este tema

Resolver ecuaciones cuadráticas con raíces cuadradas

Intermedio25 min

Introducción a las ecuaciones cuadráticas

Avanzado25 min

Forma del vértice

Intermedio25 min

Completar el cuadrado

Avanzado30 min