Coeficientes ya opuestos

Resuelve el sistema: $$\begin{cases} x + 2y = 7 \\ x - 2y = 1 \end{cases}$$

Identifica coeficientes opuestos: Los coeficientes de $y$ son $+2$ y $-2$ - ¡son opuestos! = Listo para sumar

Suma las ecuaciones: $(x + 2y) + (x - 2y) = 7 + 1$ $2x + 0y = 8$ = $2x = 8$

Resuelve para $x$: $2x = 8$ $x = 4$ = $x = 4$

Sustituye para encontrar $y$: $4 + 2y = 7$ $2y = 3$ $y = 1,5$ = $y = 1,5$

Verifica la solución: Ecuación 1: $4 + 2(1,5) = 4 + 3 = 7$ ✓ Ecuación 2: $4 - 2(1,5) = 4 - 3 = 1$ ✓ = Ambas ecuaciones satisfechas

Answer: La solución es $(4; 1,5)$

Multiplicar para crear opuestos

Resuelve el sistema: $$\begin{cases} 3x + 2y = 16 \\ x + y = 6 \end{cases}$$

Elige una variable para eliminar: Eliminemos $y$. Los coeficientes de $y$ deben ser opuestos. = Objetivo: eliminar $y$

Multiplica la ecuación 2 por $-2$: $-2(x + y) = -2(6)$ $-2x - 2y = -12$ = Nueva ecuación 2: $-2x - 2y = -12$

Suma las ecuaciones: $(3x + 2y) + (-2x - 2y) = 16 + (-12)$ $x + 0y = 4$ = $x = 4$

Sustituye para encontrar $y$: $4 + y = 6$ $y = 2$ = $y = 2$

Verifica la solución: Ecuación 1: $3(4) + 2(2) = 12 + 4 = 16$ ✓ Ecuación 2: $4 + 2 = 6$ ✓ = Ambas ecuaciones satisfechas

Answer: La solución es $(4; 2)$

Multiplicar ambas ecuaciones

Resuelve el sistema: $$\begin{cases} 2x + 3y = 13 \\ 3x + 2y = 12 \end{cases}$$

Elige una variable para eliminar: Eliminemos $x$. Coeficientes actuales: $2$ y $3$. El mcm es $6$. = Necesito coeficientes $6$ y $-6$

Multiplica la ecuación 1 por $3$: $3(2x + 3y) = 3(13)$ $6x + 9y = 39$ = $6x + 9y = 39$

Multiplica la ecuación 2 por $-2$: $-2(3x + 2y) = -2(12)$ $-6x - 4y = -24$ = $-6x - 4y = -24$

Suma las ecuaciones: $(6x + 9y) + (-6x - 4y) = 39 + (-24)$ $5y = 15$ = $y = 3$

Sustituye para encontrar $x$: $2x + 3(3) = 13$ $2x + 9 = 13$ $2x = 4$ $x = 2$ = $x = 2$

Verifica la solución: Ecuación 1: $2(2) + 3(3) = 4 + 9 = 13$ ✓ Ecuación 2: $3(2) + 2(3) = 6 + 6 = 12$ ✓ = Ambas ecuaciones satisfechas

Answer: La solución es $(2; 3)$

Mistake: Olvidar multiplicar toda la ecuación

Why: Al multiplicar para crear coeficientes opuestos, cada término debe multiplicarse, incluyendo la constante del lado derecho.

Correct: Si multiplicas $x + 2y = 5$ por $3$, obtienes $3x + 6y = 15$, no $3x + 6y = 5$.

Mistake: Sumar cuando debes restar (o viceversa)

Why: Para que la eliminación funcione, los coeficientes deben ser verdaderamente opuestos (como $+3$ y $-3$). Si son iguales, necesitas restar.

Correct: Mismos signos: resta las ecuaciones. Signos opuestos: suma las ecuaciones.

Mistake: No verificar la solución en ambas ecuaciones

Why: Una solución debe satisfacer ambas ecuaciones originales. Verificar solo una ecuación puede pasar por alto errores.

Correct: Siempre sustituye tu respuesta en AMBAS ecuaciones originales para verificar.

Venta de entradas de concierto

Los organizadores de eventos usan sistemas de ecuaciones para analizar ventas de entradas cuando diferentes tipos tienen diferentes precios.

Un concierto vendió 500 entradas en total. Las entradas VIP cuestan 80 euros y las entradas normales 40 euros. Los ingresos totales fueron 28.000 euros. ¿Cuántas de cada tipo se vendieron?

Química: equilibrar mezclas

Los químicos usan la eliminación para determinar cuánto de cada solución mezclar para lograr una concentración deseada.

Una química necesita 100 mL de una solución ácida al 30%. Tiene disponibles soluciones ácidas al 20% y al 50%. ¿Cuánto de cada una debe mezclar?

Q: ¿Cuándo debo usar eliminación en lugar de sustitución?

A: Usa eliminación cuando: (1) los coeficientes ya son opuestos o iguales, (2) ninguna ecuación está ya resuelta para una variable, o (3) la sustitución crearía fracciones complicadas. Usa sustitución cuando una ecuación ya está resuelta para una variable (como $y = 3x + 2$).

Q: ¿Qué pasa si ambas variables se eliminan?

A: Si obtienes una afirmación verdadera como $0 = 0$, el sistema tiene infinitas soluciones (las rectas son la misma). Si obtienes una afirmación falsa como $0 = 5$, el sistema no tiene solución (las rectas son paralelas).

Q: ¿Importa qué variable elimino primero?

A: ¡No! Obtendrás la misma respuesta de cualquier manera. Elige la variable que requiera la multiplicación más simple para crear coeficientes opuestos.