Método de eliminación

Aprende a resolver sistemas de ecuaciones eliminando una variable mediante suma o resta.

Intermedio25 minLección
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Definición

El método de eliminación (también llamado método de reducción) resuelve sistemas de ecuaciones sumando o restando las ecuaciones para eliminar una variable.
Idea clave: Cuando sumamos dos ecuaciones, podemos hacer desaparecer una variable si sus coeficientes son opuestos.
{2x+3y=122x−3y=0\begin{cases} 2x + 3y = 12 \\ 2x - 3y = 0 \end{cases}
Sumando estas ecuaciones:
4x+0y=124x + 0y = 12
x=3x = 3
¡Los términos en yy (+3y+3y y −3y-3y) son opuestos, así que se cancelan cuando sumamos!

Pruébalo ahora

¿Qué sistema está listo para eliminación por suma (sin multiplicación necesaria)?

Ejemplos resueltos

Resuelve el sistema:
{x+2y=7x−2y=1\begin{cases} x + 2y = 7 \\ x - 2y = 1 \end{cases}
1

Identifica coeficientes opuestos

Los coeficientes de yy son +2+2 y −2-2 - ¡son opuestos! → Listo para sumar
2

Suma las ecuaciones

(x+2y)+(x−2y)=7+1(x + 2y) + (x - 2y) = 7 + 1 2x+0y=82x + 0y = 8 → 2x=82x = 8
3

Resuelve para xx

2x=82x = 8 x=4x = 4
4

Sustituye para encontrar yy

4+2y=74 + 2y = 7 2y=32y = 3 y=1,5y = 1,5
5

Verifica la solución

Ecuación 1: 4+2(1,5)=4+3=74 + 2(1,5) = 4 + 3 = 7 ✓ Ecuación 2: 4−2(1,5)=4−3=14 - 2(1,5) = 4 - 3 = 1 ✓ → Ambas ecuaciones satisfechas

Errores comunes

Olvidar multiplicar toda la ecuación

Por qué está mal: Al multiplicar para crear coeficientes opuestos, cada término debe multiplicarse, incluyendo la constante del lado derecho.

Correcto: Si multiplicas x+2y=5x + 2y = 5 por 33, obtienes 3x+6y=153x + 6y = 15, no 3x+6y=53x + 6y = 5.

Sumar cuando debes restar (o viceversa)

Por qué está mal: Para que la eliminación funcione, los coeficientes deben ser verdaderamente opuestos (como +3+3 y −3-3). Si son iguales, necesitas restar.

Correcto: Mismos signos: resta las ecuaciones. Signos opuestos: suma las ecuaciones.

No verificar la solución en ambas ecuaciones

Por qué está mal: Una solución debe satisfacer ambas ecuaciones originales. Verificar solo una ecuación puede pasar por alto errores.

Correcto: Siempre sustituye tu respuesta en AMBAS ecuaciones originales para verificar.

Visual interactivo

Gráfica de la función

-2024680510xy(4; 2)

Toca la gráfica o pasa el ratón por encima para leer los valores.

3x + 2y = 16x + y = 6
  • Punto de intersección: (4; 2)

Resolvedor de ecuaciones

Resolver para x,yx, y:

(1)x+2y=7(2)x−2y=1\begin{aligned} (1)\quad x + 2y &= 7 \\ (2)\quad x - 2y &= 1 \end{aligned}
1
(1)x+2y=7(2)x−2y=1\begin{aligned} (1)\quad x + 2y &= 7 \\ (2)\quad x - 2y &= 1 \end{aligned}
Restar la ecuación (2) de la ecuación (1)Los términos en xx se anulan

Consejos:

  • • Lo que hagas de un lado, hazlo del otro
  • • Deshaz las operaciones en orden inverso
  • • Comprueba tu respuesta sustituyendo

Sigue mientras resolvemos la ecuación paso a paso.

Sandbox interactivo

Graficador interactivo

-10-50510-10-50510xy

Toca la gráfica o pasa el ratón por encima para leer los valores.

Prueba estos ejemplos:

y = (16 - 3x)/2

m=-1,5, b=8

y = 6 - x

m=-1, b=6

Calculadora de expresiones

Prueba estos:

Historial

Aún no hay cálculos

Problemas de práctica

16 problemas
Problema 1 de 16
Fácil
¿Qué sistema está listo para eliminación por suma (sin multiplicación necesaria)?

Por qué es importante

El método de eliminación es poderoso porque:
  • Eficiente para ciertos sistemas: Cuando los coeficientes ya son opuestos o iguales, la eliminación es más rápida que la sustitución
  • Sin fracciones necesarias: A menudo evita fracciones complicadas que crea la sustitución
  • Base para matemáticas avanzadas: Las operaciones con matrices en álgebra lineal usan el mismo concepto
  • Aplicaciones reales: Los ingenieros usan sistemas de ecuaciones para analizar circuitos, balancear ecuaciones químicas y optimizar recursos
Elegir entre sustitución y eliminación es como elegir la herramienta correcta para un trabajo - ambas funcionan, pero una puede ser más fácil para un problema particular.

Aplicaciones del mundo real

Venta de entradas de concierto

Los organizadores de eventos usan sistemas de ecuaciones para analizar ventas de entradas cuando diferentes tipos tienen diferentes precios.

Ejemplo:

Un concierto vendió 500 entradas en total. Las entradas VIP cuestan 80 euros y las entradas normales 40 euros. Los ingresos totales fueron 28.000 euros. ¿Cuántas de cada tipo se vendieron?

1Inténtalo tú mismo

Sea vv = entradas VIP y rr = entradas normales. Sistema: v+r=500v + r = 500 (total de entradas) 80v+40r=2800080v + 40r = 28000 (ingresos totales)

¿Cuántas entradas VIP se vendieron?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Multiplica la primera ecuación por −40-40 y suma para eliminar rr:

Química: equilibrar mezclas

Los químicos usan la eliminación para determinar cuánto de cada solución mezclar para lograr una concentración deseada.

Ejemplo:

Una química necesita 100 mL de una solución ácida al 30%. Tiene disponibles soluciones ácidas al 20% y al 50%. ¿Cuánto de cada una debe mezclar?

2Inténtalo tú mismo

Sea xx = mL de solución al 20% y yy = mL de solución al 50%. Sistema: x+y=100x + y = 100 (volumen total) 0,20x+0,50y=300,20x + 0,50y = 30 (cantidad de ácido: 100×0,30=30100 \times 0,30 = 30 mL)

¿Cuántos mL de la solución al 50% se necesitan?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Multiplica la primera ecuación por −0,20-0,20 y suma:

Puntos clave

  • 1El método de eliminación elimina una variable sumando o restando ecuaciones
  • 2Si los coeficientes ya son opuestos, suma las ecuaciones directamente
  • 3Si los coeficientes son iguales, resta las ecuaciones
  • 4Si no es ninguno de los casos, multiplica una o ambas ecuaciones para crear coeficientes opuestos
  • 5Siempre verifica tu solución sustituyéndola en ambas ecuaciones originales

Preguntas frecuentes

Usa eliminación cuando: (1) los coeficientes ya son opuestos o iguales, (2) ninguna ecuación está ya resuelta para una variable, o (3) la sustitución crearía fracciones complicadas. Usa sustitución cuando una ecuación ya está resuelta para una variable (como y=3x+2y = 3x + 2).
Usa eliminación cuando: (1) los coeficientes ya son opuestos o iguales, (2) ninguna ecuación está ya resuelta para una variable, o (3) la sustitución crearía fracciones complicadas. Usa sustitución cuando una ecuación ya está resuelta para una variable (como y=3x+2y = 3x + 2).
Si obtienes una afirmación verdadera como 0=00 = 0, el sistema tiene infinitas soluciones (las rectas son la misma). Si obtienes una afirmación falsa como 0=50 = 5, el sistema no tiene solución (las rectas son paralelas).
¡No! Obtendrás la misma respuesta de cualquier manera. Elige la variable que requiera la multiplicación más simple para crear coeficientes opuestos.

Glosario

Método de eliminación
Una técnica para resolver sistemas de ecuaciones sumando o restando ecuaciones para eliminar una variable
Coeficientes opuestos
Coeficientes que suman cero, como +3+3 y −3-3
mcm (Mínimo Común Múltiplo)
El número más pequeño que es múltiplo de ambos coeficientes; usado para encontrar los multiplicadores necesarios para crear coeficientes opuestos
Verificar
Comprobar que una solución satisface ambas ecuaciones originales

Tarjeta de fórmulas

Estrategia de eliminación

Opuestos: +a y −a→SUMAR\text{Opuestos: } +a \text{ y } -a \rightarrow \text{SUMAR}
Iguales: +a y +a→RESTAR\text{Iguales: } +a \text{ y } +a \rightarrow \text{RESTAR}

Decide si sumar o restar según los coeficientes

Crear opuestos

Multiplicar ecuaciones para obtener ±mcm de los coeficientes\text{Multiplicar ecuaciones para obtener } \pm\text{mcm de los coeficientes}

Usa el mcm para encontrar los multiplicadores

Reto de hoyUn problema, tres intentos

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