Introducción a los sistemas de ecuaciones

Escribe el procedimiento de cada ejercicio.

1.
¿Qué es un sistema de ecuaciones?
1. a)Un gráfico con múltiples líneas
2. b)Dos o más ecuaciones con las mismas variables
3. c)Una ecuación con una variable
4. d)Una expresión con múltiples términos
Respuesta: Dos o más ecuaciones con las mismas variables
Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones que comparten las mismas variables y deben resolverse juntas.
2.
¿Qué representa gráficamente la solución de un sistema de ecuaciones?
1. a)El punto de intersección de las rectas
2. b)La ordenada al origen de ambas rectas
3. c)La pendiente de las rectas
4. d)La distancia entre las rectas
Respuesta: El punto de intersección de las rectas
La solución de un sistema de dos ecuaciones lineales es el punto donde ambas rectas se intersecan. Este punto satisface ambas ecuaciones simultáneamente.
3.
¿Es una solución del sistema: y ?
1. a)Sí, satisface ambas ecuaciones
2. b)No, no satisface ninguna ecuación
3. c)No, solo satisface la segunda ecuación
4. d)No, solo satisface la primera ecuación
Respuesta: Sí, satisface ambas ecuaciones
Verificación: (verdadero) y (verdadero). Como ambas ecuaciones se satisfacen, es la solución.
4.
Si y , ¿cuál es el valor de ?
Respuesta: 7
Sumando las ecuaciones: , entonces , lo que da .
5.
Si y , ¿cuál es el valor de ?
Respuesta: 3
Del problema anterior, . Sustituyendo en : , entonces .
6.
¿Qué sucede cuando dos rectas son paralelas?
1. a)El sistema no tiene solución
2. b)El sistema tiene infinitas soluciones
3. c)El sistema tiene exactamente una solución
4. d)El sistema no puede determinarse
Respuesta: El sistema no tiene solución
Las rectas paralelas tienen la misma pendiente pero diferentes ordenadas al origen. Como nunca se intersecan, no hay ningún punto que satisfaga ambas ecuaciones, por lo que el sistema no tiene solución.
7.
Verifica si es una solución de: y
Respuesta: Yes
1. Sustituye e en la primera ecuación . ¿Qué obtienes? 10
2. ¿Se satisface la primera ecuación? (sí/no) sí
3. Sustituye e en la segunda ecuación . ¿Qué obtienes? -1
4. ¿Se satisface la segunda ecuación? (sí/no) sí
8.
Las rectas e se intersecan en un punto. ¿Cuál es la coordenada de ese punto?
Respuesta: 2
Igualando: . Sumando a ambos lados: . Restando 1: . Dividiendo: .
9.
Las rectas e se intersecan en un punto. ¿Cuál es la coordenada de ese punto?
Respuesta: 5
Del problema anterior, . Sustituyendo en : .
10.
Encuentra la solución de: y
Respuesta: (3, 5)
1. Suma ambas ecuaciones. ¿Qué es ? 3x
2. ¿Cuánto es ? 9
3. Entonces . ¿Cuál es ? 3
4. Sustituye en . ¿Cuál es ? 5
11.
En una tienda, 3 lápices y 2 gomas cuestan 8 euros. 1 lápiz y 4 gomas cuestan 6 euros. Encuentra el precio de un lápiz.
Respuesta: 2
1. Sea = precio de un lápiz, = precio de una goma. Escribe la primera ecuación. 3l + 2g = 8
2. Escribe la segunda ecuación. l + 4g = 6
3. De la ecuación 2, expresa en términos de . l = 6 - 4g
4. Sustituye en la ecuación 1 y resuelve para . ¿Cuál es el valor de ? 1
5. Ahora encuentra usando . ¿Cuál es el valor de ? 2
12.
¿Cuál sistema tiene infinitas soluciones?
1. a) y
2. b) y
3. c) y
4. d) y
Respuesta: y
La segunda ecuación se simplifica a , que es idéntica a la primera ecuación. Como ambas ecuaciones representan la misma recta, cada punto en esa recta es una solución.
13.
La suma de dos números es 15 y su diferencia es 3. ¿Cuál es el número mayor?
Respuesta: 9
Sea = número mayor, = número menor. Sistema: y . Sumando: , entonces .
14.
Un estacionamiento tiene autos y motocicletas. Hay 50 vehículos en total y 160 ruedas. ¿Cuántos autos hay?
Respuesta: 30
1. Sea = autos, = motocicletas. Escribe la ecuación para el total de vehículos. a + m = 50
2. Los autos tienen 4 ruedas, las motocicletas tienen 2. Escribe la ecuación de las ruedas. 4a + 2m = 160
3. De la ecuación 1, expresa en términos de . m = 50 - a
4. Sustituye en la ecuación de las ruedas y simplifica. 4a + 2(50 - a) = 160
5. Resuelve para . ¿Cuántos autos hay? 30
15.
Encuentra dónde las rectas y se intersecan.
Respuesta: (2, 3)
1. De la segunda ecuación , expresa en términos de . x = y - 1
2. Sustituye en . ¿Qué ecuación obtienes? 3(y - 1) + 2y = 12
3. Simplifica y resuelve para . ¿Cuál es el valor de ? 3
4. Ahora encuentra usando . ¿Cuál es el valor de ? 2
16.
Las entradas de cine cuestan cantidades diferentes para adultos y niños. 2 entradas de adulto y 3 de niño cuestan 36 euros. 3 entradas de adulto y 2 de niño cuestan 39 euros. ¿Cuál es el precio de una entrada de adulto en euros?
Respuesta: 9
Sistema: y . Multiplicar la primera ecuación por 2: . Multiplicar la segunda por 3: . Restar: , entonces euros.