Cuando una variable ya está despejada

Resuelve el sistema: $$\begin{cases} y = 3x - 2 \\ 2x + y = 8 \end{cases}$$

Identifica la variable despejada: La primera ecuación ya tiene $y$ despejada: $y = 3x - 2$ = $y = 3x - 2$

Sustituye en la otra ecuación: Reemplaza $y$ por $(3x - 2)$ en la segunda ecuación: $2x + (3x - 2) = 8$ = $2x + 3x - 2 = 8$

Resuelve para $x$: $5x - 2 = 8$ $5x = 10$ $x = 2$ = $x = 2$

Reemplaza para encontrar $y$: $y = 3(2) - 2 = 6 - 2 = 4$ = $y = 4$

Verifica la solución: Comprueba en la segunda ecuación: $2(2) + 4 = 4 + 4 = 8$ ✓ = ¡Solución verificada!

Answer: La solución es $(2, 4)$

Despejando una variable primero

Resuelve el sistema: $$\begin{cases} x + y = 7 \\ 2x - 3y = -6 \end{cases}$$

Elige qué variable despejar: De la primera ecuación, despeja $x$: $x = 7 - y$ = $x = 7 - y$

Sustituye en la otra ecuación: Reemplaza $x$ por $(7 - y)$ en la segunda ecuación: $2(7 - y) - 3y = -6$ = $2(7 - y) - 3y = -6$

Distribuye y simplifica: $14 - 2y - 3y = -6$ $14 - 5y = -6$ = $14 - 5y = -6$

Resuelve para $y$: $-5y = -6 - 14$ $-5y = -20$ $y = 4$ = $y = 4$

Reemplaza para encontrar $x$: $x = 7 - 4 = 3$ = $x = 3$

Verifica en ambas ecuaciones: Ecuación 1: $3 + 4 = 7$ ✓ Ecuación 2: $2(3) - 3(4) = 6 - 12 = -6$ ✓ = ¡Ambas ecuaciones satisfechas!

Answer: La solución es $(3, 4)$

Sistema con solución entera

Resuelve el sistema: $$\begin{cases} y = 2x + 1 \\ 4x - y = 5 \end{cases}$$

Identifica la variable despejada: $y$ ya está despejada en la primera ecuación = $y = 2x + 1$

Sustituye en la segunda ecuación: $4x - (2x + 1) = 5$ = $4x - 2x - 1 = 5$

Resuelve para $x$: $2x - 1 = 5$ $2x = 6$ $x = 3$ = $x = 3$

Encuentra $y$: $y = 2(3) + 1 = 7$ = $y = 7$

Verifica: Comprobación: $4(3) - 7 = 12 - 7 = 5$ ✓ = ¡Verificado!

Answer: La solución es $(3, 7)$

Eligiendo la mejor variable para despejar

Resuelve el sistema: $$\begin{cases} 3x + y = 10 \\ 5x - 2y = -4 \end{cases}$$

Elige la variable más fácil de despejar: En la primera ecuación, $y$ tiene coeficiente 1, así que despeja $y$: $y = 10 - 3x$ = $y = 10 - 3x$

Sustituye en la segunda ecuación: $5x - 2(10 - 3x) = -4$ = $5x - 2(10 - 3x) = -4$

Distribuye y combina: $5x - 20 + 6x = -4$ $11x - 20 = -4$ = $11x - 20 = -4$

Resuelve para $x$: $11x = 16$ $x = \frac{16}{11}$ = $x = \frac{16}{11}$

Encuentra $y$: $y = 10 - 3 \cdot \frac{16}{11} = 10 - \frac{48}{11} = \frac{110 - 48}{11} = \frac{62}{11}$ = $y = \frac{62}{11}$

Verifica: Comprueba la primera ecuación: $3 \cdot \frac{16}{11} + \frac{62}{11} = \frac{48 + 62}{11} = \frac{110}{11} = 10$ ✓ = ¡Solución verificada!

Answer: La solución es $\left(\frac{16}{11}, \frac{62}{11}\right)$

Mistake: Olvidar distribuir al sustituir

Why: Cuando sustituyes una expresión como $(3x - 2)$ y hay un coeficiente delante, debes distribuir.

Correct: Si tienes $2(3x - 2)$, distribuye para obtener $6x - 4$, no $6x - 2$.

Mistake: Sustituir en la misma ecuación

Why: Si resuelves la ecuación 1 para $y$ y sustituyes en la ecuación 1, solo obtienes $0 = 0$ (siempre verdadero) y no aprendes nada.

Correct: Siempre sustituye en la OTRA ecuación para crear una nueva ecuación con una variable.

Mistake: Errores de signo al distribuir negativos

Why: Restar una expresión como $-(2x + 3)$ significa multiplicar cada término por $-1$.

Correct: $-(2x + 3) = -2x - 3$, no $-2x + 3$.

Mistake: No verificar la solución en AMBAS ecuaciones

Why: Una solución debe satisfacer ambas ecuaciones. Verificar solo una ecuación no garantiza la corrección.

Correct: Siempre sustituye tu respuesta en ambas ecuaciones originales para verificar.

Comparar planes de telefonía

Las compañías telefónicas ofrecen diferentes planes. El método de sustitución ayuda a encontrar cuándo dos planes cuestan lo mismo.

El Plan A cuesta 20 euros mensuales más 0,10 euros por minuto. El Plan B cuesta 30 euros mensuales más 0,05 euros por minuto. ¿Cuándo son iguales?

Mezclar soluciones en química

Los científicos a menudo necesitan mezclar soluciones de diferentes concentraciones para obtener un resultado deseado.

Un químico necesita 100 mL de una solución ácida al 30%. Tiene soluciones al 20% y al 50% disponibles.

Planificación de presupuesto

Las empresas usan sistemas de ecuaciones para equilibrar costos e ingresos.

Una empresa vende productos básicos y premium. Si venden 50 artículos y ganan 2000 euros, con básico a 30 euros y premium a 50 euros, ¿cuántos de cada vendieron?

Q: ¿Cuándo debo usar sustitución en lugar de eliminación?

A: Usa sustitución cuando una variable ya está despejada o tiene coeficiente 1. Usa eliminación cuando ambas ecuaciones tienen coeficientes similares que pueden cancelarse fácilmente.

Q: ¿Qué significa obtener $0 = 0$ o una contradicción como $0 = 5$?

A: Si obtienes $0 = 0$, el sistema tiene infinitas soluciones (las rectas son la misma). Si obtienes algo imposible como $0 = 5$, no hay solución (rectas paralelas).

Q: ¿Importa qué variable despejo primero?

A: Matemáticamente, no - obtendrás la misma respuesta. Prácticamente, elige la variable más fácil de despejar (coeficiente más pequeño, ya parcialmente despejada).