Método de sustitución

Aprende a resolver sistemas de ecuaciones sustituyendo una ecuación en la otra.

Intermedio25 minLección
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Definición

El método de sustitución es una técnica para resolver sistemas de ecuaciones donde:
  1. 1.Despejas una ecuación para una variable
  2. 2.Sustituyes esa expresión en la otra ecuación
  3. 3.Resuelves la ecuación resultante
  4. 4.Reemplazas para encontrar la otra variable
Para un sistema como:
{y=2x+13x+y=11\begin{cases} y = 2x + 1 \\ 3x + y = 11 \end{cases}
Como yy ya está despejada, sustituye 2x+12x + 1 por yy en la segunda ecuación:
3x+(2x+1)=113x + (2x + 1) = 11
¡Esto te da una ecuación con una variable que puedes resolver!

Pruébalo ahora

En el sistema {y=2x+3x+y=9\begin{cases} y = 2x + 3 \\ x + y = 9 \end{cases}, ¿qué expresión debes sustituir por yy en la segunda ecuación?

Ejemplos resueltos

Resuelve el sistema:
{y=3x−22x+y=8\begin{cases} y = 3x - 2 \\ 2x + y = 8 \end{cases}
1

Identifica la variable despejada

La primera ecuación ya tiene yy despejada: y=3x−2y = 3x - 2
2

Sustituye en la otra ecuación

Reemplaza yy por (3x−2)(3x - 2) en la segunda ecuación: 2x+(3x−2)=82x + (3x - 2) = 8 → 2x+3x−2=82x + 3x - 2 = 8
3

Resuelve para xx

5x−2=85x - 2 = 8 5x=105x = 10 x=2x = 2
4

Reemplaza para encontrar yy

y=3(2)−2=6−2=4y = 3(2) - 2 = 6 - 2 = 4 → y=4y = 4
5

Verifica la solución

Comprueba en la segunda ecuación: 2(2)+4=4+4=82(2) + 4 = 4 + 4 = 8 ✓ → ¡Solución verificada!

Errores comunes

Olvidar distribuir al sustituir

Por qué está mal: Cuando sustituyes una expresión como (3x−2)(3x - 2) y hay un coeficiente delante, debes distribuir.

Correcto: Si tienes 2(3x−2)2(3x - 2), distribuye para obtener 6x−46x - 4, no 6x−26x - 2.

Sustituir en la misma ecuación

Por qué está mal: Si resuelves la ecuación 1 para yy y sustituyes en la ecuación 1, solo obtienes 0=00 = 0 (siempre verdadero) y no aprendes nada.

Correcto: Siempre sustituye en la OTRA ecuación para crear una nueva ecuación con una variable.

Errores de signo al distribuir negativos

Por qué está mal: Restar una expresión como −(2x+3)-(2x + 3) significa multiplicar cada término por −1-1.

Correcto: −(2x+3)=−2x−3-(2x + 3) = -2x - 3, no −2x+3-2x + 3.

No verificar la solución en AMBAS ecuaciones

Por qué está mal: Una solución debe satisfacer ambas ecuaciones. Verificar solo una ecuación no garantiza la corrección.

Correcto: Siempre sustituye tu respuesta en ambas ecuaciones originales para verificar.

Visual interactivo

Gráfica de la función

-2-101234560510xy(2; 4)

Toca la gráfica o pasa el ratón por encima para leer los valores.

y = 3x - 22x + y = 8
  • Punto de intersección: (2; 4)

Resolvedor de ecuaciones

Resolver para x,yx, y:

(1)y=3x−2(2)2x+y=8\begin{aligned} (1)\quad y &= 3x - 2 \\ (2)\quad 2x + y &= 8 \end{aligned}
1
(1)y=3x−2(2)2x+y=8\begin{aligned} (1)\quad y &= 3x - 2 \\ (2)\quad 2x + y &= 8 \end{aligned}
La ecuación (1) ya te da yyElige la variable más fácil de despejar

Consejos:

  • • Lo que hagas de un lado, hazlo del otro
  • • Deshaz las operaciones en orden inverso
  • • Comprueba tu respuesta sustituyendo

Sigue mientras resolvemos la ecuación paso a paso.

Sandbox interactivo

Graficador interactivo

-10-50510-10-50510xy

Toca la gráfica o pasa el ratón por encima para leer los valores.

Prueba estos ejemplos:

y = 3x - 2

m=3, b=-2

y = 8 - 2x

m=-2, b=8

Calculadora de expresiones

Prueba estos:

Historial

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Problemas de práctica

16 problemas
Problema 1 de 16
Fácil
En el sistema {y=2x+3x+y=9\begin{cases} y = 2x + 3 \\ x + y = 9 \end{cases}, ¿qué expresión debes sustituir por yy en la segunda ecuación?

Por qué es importante

El método de sustitución es una de las herramientas más poderosas para resolver sistemas de ecuaciones:
  • Respuestas exactas: A diferencia de graficar, la sustitución da soluciones precisas, no estimaciones
  • Funciona para todos los sistemas: Puede resolver sistemas difíciles de graficar con precisión
  • Base para matemáticas avanzadas: La misma técnica de sustitución se usa en cálculo, física e ingeniería
  • Aplicaciones reales: Comparar planes de telefonía, mezclar soluciones y planificar presupuestos usan este método
¡Dominar la sustitución abre la puerta a resolver problemas complejos del mundo real!

Aplicaciones del mundo real

Comparar planes de telefonía

Las compañías telefónicas ofrecen diferentes planes. El método de sustitución ayuda a encontrar cuándo dos planes cuestan lo mismo.

Ejemplo:

El Plan A cuesta 20 euros mensuales más 0,10 euros por minuto. El Plan B cuesta 30 euros mensuales más 0,05 euros por minuto. ¿Cuándo son iguales?

1Inténtalo tú mismo

Plan A: y=20+0,10xy = 20 + 0,10x (costo por xx minutos) Plan B: y=30+0,05xy = 30 + 0,05x

¿Después de cuántos minutos cuestan igual ambos planes?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Iguala los costos y resuelve:

Mezclar soluciones en química

Los científicos a menudo necesitan mezclar soluciones de diferentes concentraciones para obtener un resultado deseado.

Ejemplo:

Un químico necesita 100 mL de una solución ácida al 30%. Tiene soluciones al 20% y al 50% disponibles.

2Inténtalo tú mismo

Sea xx = mL de solución al 20%, yy = mL de solución al 50%. Volumen total: x+y=100x + y = 100 Contenido ácido: 0,20x+0,50y=300,20x + 0,50y = 30

¿Cuánto de cada solución se necesita?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

De la primera ecuación: x=100−yx = 100 - y. Sustituye:

Planificación de presupuesto

Las empresas usan sistemas de ecuaciones para equilibrar costos e ingresos.

Ejemplo:

Una empresa vende productos básicos y premium. Si venden 50 artículos y ganan 2000 euros, con básico a 30 euros y premium a 50 euros, ¿cuántos de cada vendieron?

3Inténtalo tú mismo

Sea xx = productos básicos, yy = productos premium. Total artículos: x+y=50x + y = 50 Ingreso total: 30x+50y=200030x + 50y = 2000

¿Cuántos de cada tipo de producto se vendieron?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

De la primera ecuación: x=50−yx = 50 - y. Sustituye:

Puntos clave

  • 1El método de sustitución resuelve sistemas reemplazando una variable con una expresión equivalente
  • 2Elige la variable con coeficiente 1 o que ya esté despejada para resolver más fácilmente
  • 3Siempre sustituye en la OTRA ecuación, no en la que resolviste
  • 4Después de encontrar una variable, reemplaza para encontrar la otra
  • 5Verifica tu solución comprobando ambas ecuaciones originales

Preguntas frecuentes

Usa sustitución cuando una variable ya está despejada o tiene coeficiente 1. Usa eliminación cuando ambas ecuaciones tienen coeficientes similares que pueden cancelarse fácilmente.
Usa sustitución cuando una variable ya está despejada o tiene coeficiente 1. Usa eliminación cuando ambas ecuaciones tienen coeficientes similares que pueden cancelarse fácilmente.
Si obtienes 0=00 = 0, el sistema tiene infinitas soluciones (las rectas son la misma). Si obtienes algo imposible como 0=50 = 5, no hay solución (rectas paralelas).
Matemáticamente, no - obtendrás la misma respuesta. Prácticamente, elige la variable más fácil de despejar (coeficiente más pequeño, ya parcialmente despejada).

Glosario

Método de sustitución
Una técnica para resolver sistemas donde reemplazas una variable con una expresión equivalente de otra ecuación
Sistema de ecuaciones
Dos o más ecuaciones con las mismas variables que deben resolverse simultáneamente
Sustitución inversa
Introducir un valor encontrado en una ecuación para hallar la variable restante
Solución de un sistema
El par ordenado (x,y)(x, y) que hace verdaderas ambas ecuaciones

Tarjeta de fórmulas

Pasos del método de sustitución

1. Despejar: Resuelve una ecuación para una variable 2. Sustituir: Reemplaza esa variable en la otra ecuación 3. Resolver: Encuentra el valor de la variable restante 4. Reemplazar: Encuentra la otra variable 5. Verificar: Comprueba en ambas ecuaciones originales

Sigue estos cinco pasos para resolver cualquier sistema por sustitución

Reto de hoyUn problema, tres intentos

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