Calcular una potencia con exponente negativo

Calcula $2^{-3}$.

Aplica la regla del exponente negativo: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ = $2^{-3} = \frac{1}{2^3}$

Calcula la potencia del denominador: $2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$ = $\frac{1}{8}$

Comprueba el signo: La base $2$ es positiva, así que el resultado es positivo = $\frac{1}{8} = 0{,}125$

Answer: $2^{-3} = \frac{1}{8}$, un número positivo pequeño, no $-8$.

Potencias de 10 pequeñas

Escribe $10^{-3}$ como fracción y como número decimal.

Aplica la regla del exponente negativo: $10^{-3} = \frac{1}{10^3}$ = $\frac{1}{10^3}$

Calcula $10^3$: $10^3 = 1000$ = $\frac{1}{1000}$

Escríbelo como decimal: Una milésima: el 1 está en la tercera cifra decimal = $0{,}001$

Answer: $10^{-3} = \frac{1}{1000} = 0{,}001$. El exponente $-3$ te dice que el 1 está en la tercera posición después de la coma.

Una fracción elevada a una potencia negativa

Calcula $\left(\frac{2}{3}\right)^{-2}$.

Invierte la fracción y haz positivo el exponente: $\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n$ = $\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$

Eleva al cuadrado el numerador y el denominador: $\frac{3^2}{2^2} = \frac{9}{4}$ = $\frac{9}{4}$

Comprueba con la definición: $\left(\frac{2}{3}\right)^{-2} = \frac{1}{\frac{4}{9}} = \frac{9}{4}$ = Mismo resultado

Answer: $\left(\frac{2}{3}\right)^{-2} = \frac{9}{4} = 2{,}25$

Pasar factores al otro lado de la raya de fracción

Escribe $\frac{x^{-3}}{y^{-2}}$ con exponentes positivos.

Pasa $x^{-3}$ del numerador al denominador: $x^{-3} = \frac{1}{x^3}$, así que se convierte en $x^3$ debajo de la raya = $\frac{1}{x^3 \, y^{-2}}$

Pasa $y^{-2}$ del denominador al numerador: $\frac{1}{y^{-2}} = y^2$, así que se convierte en $y^2$ encima de la raya = $\frac{y^2}{x^3}$

Comprueba que todos los exponentes son positivos: $y^2$ y $x^3$ = Listo

Answer: $\frac{x^{-3}}{y^{-2}} = \frac{y^2}{x^3}$. Un factor cambia el signo de su exponente cuando cruza la raya de fracción.

Combinar todas las reglas de las potencias

Simplifica $\frac{6a^{-2}b^{3}}{3a^{4}b^{-1}}$ y escribe el resultado con exponentes positivos.

Divide los coeficientes: $6 \div 3 = 2$ = $2$

Cociente de potencias para $a$: $a^{-2-4} = a^{-6}$ = $a^{-6}$

Cociente de potencias para $b$ (restar un número negativo): $b^{3-(-1)} = b^{3+1} = b^{4}$ = $b^{4}$

Escribe con exponentes positivos: $2a^{-6}b^{4} = \frac{2b^{4}}{a^{6}}$ = $\frac{2b^{4}}{a^{6}}$

Answer: $\frac{6a^{-2}b^{3}}{3a^{4}b^{-1}} = \frac{2b^{4}}{a^{6}}$. Solo $a^{-6}$ baja; el coeficiente $2$ se queda arriba.

Mistake: Creer que un exponente negativo hace negativo el número: $2^{-3} = -8$

Why: El signo menos está en el exponente, no delante del número. Significa "inverso", no "negativo".

Correct: $2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$, un número positivo.

Mistake: Mover también el coeficiente: $2x^{-3} = \frac{1}{2x^3}$

Why: El exponente $-3$ pertenece solo a $x$. El $2$ tiene exponente $1$ y se queda donde está.

Correct: $2x^{-3} = \frac{2}{x^3}$. Solo escribe $\frac{1}{(2x)^3}$ cuando el enunciado dice $(2x)^{-3}$ con paréntesis.

Mistake: Invertir la fracción pero olvidar la potencia, o hacerla negativa: $\left(\frac{2}{3}\right)^{-2} = \frac{3}{2}$ o $-\frac{4}{9}$

Why: El signo menos invierte la fracción, y el $2$ la sigue elevando al cuadrado. Las dos partes del exponente tienen una tarea.

Correct: $\left(\frac{2}{3}\right)^{-2} = \left(\frac{3}{2}\right)^{2} = \frac{9}{4}$

Mistake: Restar mal un exponente negativo: $\frac{x^5}{x^{-2}} = x^{3}$

Why: El cociente de potencias resta el exponente entero, con su signo: $5 - (-2)$, no $5 - 2$.

Correct: $\frac{x^5}{x^{-2}} = x^{5-(-2)} = x^{7}$

Medidas diminutas en ciencias

Los científicos escriben longitudes muy pequeñas con potencias de 10 negativas. Los prefijos mili, micro y nano equivalen a $10^{-3}$, $10^{-6}$ y $10^{-9}$.

Un milímetro es $10^{-3}$ m $= 0{,}001$ m, y una bacteria típica mide unos $2 \times 10^{-6}$ m de largo.

Pasos de exposición en la cámara

Los fotógrafos miden la luz en pasos (stops). Cada paso más oscuro reduce la luz a la mitad, así que $n$ pasos dejan pasar $2^{-n}$ de la luz original.

Un filtro de 3 pasos deja pasar $2^{-3} = \frac{1}{8}$ de la luz.

Diluir muestras en el laboratorio

En el laboratorio, una muestra se diluye a menudo 1 a 10 varias veces seguidas. Tras $n$ diluciones, la concentración es $10^{-n}$ veces la original.

Tras 3 diluciones, una muestra tiene solo $10^{-3} = 0{,}001$ de su concentración original.

Q: ¿Por qué $a^{-1}$ es el inverso de $a$?

A: Por el producto de potencias, $a^{1} \times a^{-1} = a^{0} = 1$. El número por el que multiplicas $a$ para obtener $1$ es $\frac{1}{a}$, así que $a^{-1} = \frac{1}{a}$.

Q: ¿Puede ser negativa una potencia con exponente negativo?

A: Solo si la base misma es negativa. Por ejemplo, $(-2)^{-3} = \frac{1}{(-2)^3} = -\frac{1}{8}$. El exponente negativo por sí solo nunca añade un signo menos.

Q: ¿Por qué la base no puede ser cero?

A: $0^{-2}$ significaría $\frac{1}{0^2} = \frac{1}{0}$, y la división entre cero no está definida. Por eso la regla dice $a \neq 0$.

Q: ¿Está mal dejar exponentes negativos en una respuesta?

A: $x^{-3}$ y $\frac{1}{x^3}$ son iguales, así que ninguno está mal. Muchos profesores y libros piden exponentes positivos en el resultado final, así que reescríbelo al final salvo que el enunciado diga otra cosa.