Exponentes negativos

Aprende qué significa un exponente negativo, por qué da un inverso y no un número negativo, y cómo escribir cualquier expresión con exponentes positivos.

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Definición

Un exponente negativo te indica que tomes el inverso de la potencia con el mismo exponente positivo:
a−n=1an(a≠0)a^{-n} = \frac{1}{a^n} \qquad (a \neq 0)
Por ejemplo, 2−3=123=182^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}.
¿De dónde sale esto? Fíjate en las potencias de 2. Cada vez que el exponente baja 1, divides entre 2:
23=8,  22=4,  21=2,  20=1,  2−1=12,  2−2=14,  2−3=182^3 = 8,\; 2^2 = 4,\; 2^1 = 2,\; 2^0 = 1,\; 2^{-1} = \frac{1}{2},\; 2^{-2} = \frac{1}{4},\; 2^{-3} = \frac{1}{8}
El patrón simplemente continúa por debajo del exponente cero.
Lo esencial:
  • Un exponente negativo no hace negativo el número: 2−3=182^{-3} = \frac{1}{8} es positivo.
  • Funciona en los dos sentidos: 1a−n=an\frac{1}{a^{-n}} = a^n, así que un factor puede cruzar la raya de fracción si su exponente cambia de signo.
  • Una fracción elevada a una potencia negativa se invierte: (ab)−n=(ba)n\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n.
  • Las potencias de 10 con exponente negativo son decimales pequeños: 10−3=11000=0,00110^{-3} = \frac{1}{1000} = 0{,}001.

Pruébalo ahora

¿Cuál es el valor de 2−32^{-3}?

Ejemplos resueltos

Calcula 2−32^{-3}.

1

Aplica la regla del exponente negativo

a−n=1ana^{-n} = \frac{1}{a^n} → 2−3=1232^{-3} = \frac{1}{2^3}

2

Calcula la potencia del denominador

23=2×2×2=82^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8 → 18\frac{1}{8}

3

Comprueba el signo

La base 22 es positiva, así que el resultado es positivo → 18=0,125\frac{1}{8} = 0{,}125

Errores comunes

Creer que un exponente negativo hace negativo el número: 2−3=−82^{-3} = -8

Por qué está mal: El signo menos está en el exponente, no delante del número. Significa "inverso", no "negativo".

Correcto: 2−3=123=182^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}, un número positivo.

Mover también el coeficiente: 2x−3=12x32x^{-3} = \frac{1}{2x^3}

Por qué está mal: El exponente −3-3 pertenece solo a xx. El 22 tiene exponente 11 y se queda donde está.

Correcto: 2x−3=2x32x^{-3} = \frac{2}{x^3}. Solo escribe 1(2x)3\frac{1}{(2x)^3} cuando el enunciado dice (2x)−3(2x)^{-3} con paréntesis.

Invertir la fracción pero olvidar la potencia, o hacerla negativa: (23)−2=32\left(\frac{2}{3}\right)^{-2} = \frac{3}{2} o −49-\frac{4}{9}

Por qué está mal: El signo menos invierte la fracción, y el 22 la sigue elevando al cuadrado. Las dos partes del exponente tienen una tarea.

Correcto: (23)−2=(32)2=94\left(\frac{2}{3}\right)^{-2} = \left(\frac{3}{2}\right)^{2} = \frac{9}{4}

Restar mal un exponente negativo: x5x−2=x3\frac{x^5}{x^{-2}} = x^{3}

Por qué está mal: El cociente de potencias resta el exponente entero, con su signo: 5−(−2)5 - (-2), no 5−25 - 2.

Correcto: x5x−2=x5−(−2)=x7\frac{x^5}{x^{-2}} = x^{5-(-2)} = x^{7}

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Potencias como factores repetidos

Cociente de potencias

Misma base, se divide: se restan los exponentes.

x2x5\frac{x^{2}}{x^{5}}

Escribir cada potencia como factores repetidos

xx·xx
xx·xx·xx·xx·xx

Se simplifican 2 factores comunes arriba y abajo

Quedan 3 factores en el denominador: exponente negativo

1x3=x−3\displaystyle \frac{1}{x^{3}} = x^{-3}

Resultado

x2x5\displaystyle \frac{x^{2}}{x^{5}}==x2−5\displaystyle x^{2 - 5}==x−3\displaystyle x^{-3}==1x3\displaystyle \frac{1}{x^{3}}

Vale para cualquier base excepto 0

10³ = 1000
3

Observa cómo las potencias de un número crecen en la recta numérica. Cambia la base y el exponente.

2³ = 8
3

Observa cómo las potencias de un número crecen en la recta numérica. Cambia la base y el exponente.

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¿Cuál es el valor de 2−32^{-3}?

Por qué es importante

Los exponentes negativos nos permiten escribir números muy pequeños tan fácilmente como los muy grandes, y hacen que las reglas de las potencias funcionen siempre:
  • Ciencias: un glóbulo rojo mide unos 8×10−68 \times 10^{-6} metros de ancho, y un nanosegundo dura 10−910^{-9} segundos
  • Prefijos del sistema métrico: mili significa 10−310^{-3} y micro significa 10−610^{-6}, así que 1 mm =10−3= 10^{-3} m
  • Fotografía: cada paso (stop) de la cámara reduce la luz a la mitad, así que 3 pasos dejan pasar 2−3=182^{-3} = \frac{1}{8} de la luz
  • Álgebra: con el cociente de potencias de igual base, x2x5=x2−5=x−3\frac{x^2}{x^5} = x^{2-5} = x^{-3}. Sin exponentes negativos, este resultado no tendría sentido
Cuando pasas de x−3x^{-3} a 1x3\frac{1}{x^3} sin pensarlo, simplificar expresiones largas se vuelve rutina.

Aplicaciones del mundo real

Medidas diminutas en ciencias

Los científicos escriben longitudes muy pequeñas con potencias de 10 negativas. Los prefijos mili, micro y nano equivalen a $10^{-3}$, $10^{-6}$ y $10^{-9}$.

Ejemplo:

Un milímetro es 10−310^{-3} m =0,001= 0{,}001 m, y una bacteria típica mide unos 2×10−62 \times 10^{-6} m de largo.

1Inténtalo tú mismo

Un pelo humano tiene un grosor de unos 10−410^{-4} metros.

Escribe el grosor del pelo como número decimal en metros.

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Escribe 10−410^{-4} como 1104\frac{1}{10^4} y divide:

Pasos de exposición en la cámara

Los fotógrafos miden la luz en pasos (stops). Cada paso más oscuro reduce la luz a la mitad, así que $n$ pasos dejan pasar $2^{-n}$ de la luz original.

Ejemplo:

Un filtro de 3 pasos deja pasar 2−3=182^{-3} = \frac{1}{8} de la luz.

2Inténtalo tú mismo

Una fotógrafa pone un filtro de 5 pasos delante del objetivo.

¿Qué fracción de la luz llega a la cámara?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Cada paso reduce la luz a la mitad, así que la fracción es 2−52^{-5}:

Diluir muestras en el laboratorio

En el laboratorio, una muestra se diluye a menudo 1 a 10 varias veces seguidas. Tras $n$ diluciones, la concentración es $10^{-n}$ veces la original.

Ejemplo:

Tras 3 diluciones, una muestra tiene solo 10−3=0,00110^{-3} = 0{,}001 de su concentración original.

3Inténtalo tú mismo

Una muestra tiene 20000 bacterias por mililitro. Se diluye 1 a 10 cuatro veces seguidas.

¿Cuántas bacterias por mililitro quedan?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Multiplica la cantidad inicial por 10−410^{-4}:

Puntos clave

  • 1Un exponente negativo significa inverso: a−n=1ana^{-n} = \frac{1}{a^n} para a≠0a \neq 0
  • 2Un exponente negativo no hace negativo el número: 2−3=182^{-3} = \frac{1}{8}
  • 3La regla funciona en los dos sentidos: 1a−n=an\frac{1}{a^{-n}} = a^n, así que un factor cruza la raya de fracción cambiando el signo de su exponente
  • 4Una fracción elevada a una potencia negativa se invierte: (ab)−n=(ba)n\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n
  • 5Las potencias de 10 negativas son decimales pequeños: 10−3=0,00110^{-3} = 0{,}001
  • 6El producto, el cociente y la potencia de una potencia también funcionan con exponentes negativos; al final, escríbelo todo con exponentes positivos

Preguntas frecuentes

Por el producto de potencias, a1×a−1=a0=1a^{1} \times a^{-1} = a^{0} = 1. El número por el que multiplicas aa para obtener 11 es 1a\frac{1}{a}, así que a−1=1aa^{-1} = \frac{1}{a}.
Por el producto de potencias, a1×a−1=a0=1a^{1} \times a^{-1} = a^{0} = 1. El número por el que multiplicas aa para obtener 11 es 1a\frac{1}{a}, así que a−1=1aa^{-1} = \frac{1}{a}.
Solo si la base misma es negativa. Por ejemplo, (−2)−3=1(−2)3=−18(-2)^{-3} = \frac{1}{(-2)^3} = -\frac{1}{8}. El exponente negativo por sí solo nunca añade un signo menos.
0−20^{-2} significaría 102=10\frac{1}{0^2} = \frac{1}{0}, y la división entre cero no está definida. Por eso la regla dice a≠0a \neq 0.
x−3x^{-3} y 1x3\frac{1}{x^3} son iguales, así que ninguno está mal. Muchos profesores y libros piden exponentes positivos en el resultado final, así que reescríbelo al final salvo que el enunciado diga otra cosa.

Glosario

Exponente negativo
Un exponente menor que cero. a−na^{-n} significa 1an\frac{1}{a^n}.
Inverso (recíproco)
El número por el que multiplicas para obtener 1. El inverso de 55 es 15\frac{1}{5}, y el inverso de 23\frac{2}{3} es 32\frac{3}{2}.
Base
El número que se multiplica por sí mismo. En 10−310^{-3}, la base es 1010.
Forma con exponentes positivos
Una expresión reescrita para que todos los exponentes sean positivos, por ejemplo y2x3\frac{y^2}{x^3} en lugar de x−3y2x^{-3}y^{2}.
Coeficiente
El número delante de una variable. En 2x−32x^{-3}, el coeficiente es 22 y el exponente no le afecta.

Tarjeta de fórmulas

Exponente negativo

a−n=1ana^{-n} = \frac{1}{a^n}

Un exponente negativo significa inverso ($a \neq 0$)

Exponente negativo en el denominador

1a−n=an\frac{1}{a^{-n}} = a^n

Un factor cruza la raya de fracción y su exponente cambia de signo

Fracción elevada a una potencia negativa

(ab)−n=(ba)n\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n

Invierte la fracción y usa el exponente positivo

Potencias de 10 pequeñas

10−n=0,0…0⏟n−1110^{-n} = 0{,}\underbrace{0\ldots0}_{n-1}1

Por ejemplo $10^{-3} = 0{,}001$

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