Una potencia de una potencia

Simplifica $(5^2)^4$.

Identifica la base y los dos exponentes: Base $5$, exponente de dentro $2$, exponente de fuera $4$ = Una potencia elevada a otra potencia

Escríbela como un producto: $(5^2)^4 = 5^2 \cdot 5^2 \cdot 5^2 \cdot 5^2 = 5^{2+2+2+2}$ = $5^8$

Usa el atajo: multiplica los exponentes: $2 \cdot 4 = 8$ = $(5^2)^4 = 5^8$

Answer: $(5^2)^4 = 5^8 = 390\,625$

Potencia de un producto

Simplifica $(2x)^4$.

Da el exponente a cada factor del paréntesis: $(2x)^4 = 2^4 \cdot x^4$ = Tanto $2$ como $x$ reciben el exponente $4$

Calcula el número: $2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$ = $16$

Escribe el resultado: $16 \cdot x^4$ = $16x^4$

Answer: $(2x)^4 = 16x^4$

No olvides el coeficiente

Simplifica $(3x^2)^3$.

Da el exponente a cada factor: $(3x^2)^3 = 3^3 \cdot (x^2)^3$ = Dos factores: $3$ y $x^2$

Eleva el coeficiente: $3^3 = 27$ = $27$

Potencia de una potencia para la variable: $(x^2)^3 = x^{2 \cdot 3} = x^6$ = $x^6$

Junta las partes: $27 \cdot x^6$ = $27x^6$

Answer: $(3x^2)^3 = 27x^6$

Potencia de un cociente

Simplifica $\left(\frac{x^3}{2}\right)^4$.

Eleva el numerador y el denominador: $\left(\frac{x^3}{2}\right)^4 = \frac{(x^3)^4}{2^4}$ = Dos potencias separadas

Numerador: multiplica los exponentes: $(x^3)^4 = x^{3 \cdot 4} = x^{12}$ = $x^{12}$

Denominador: calcula la potencia: $2^4 = 16$ = $16$

Escribe la fracción: $\frac{x^{12}}{16}$ = $\frac{x^{12}}{16}$

Answer: $\left(\frac{x^3}{2}\right)^4 = \frac{x^{12}}{16}$

Las tres reglas juntas

Simplifica $\frac{(2a^3)^2 \cdot a^4}{(a^2)^3}$.

Potencia de un producto en el numerador: $(2a^3)^2 = 2^2 \cdot a^{3 \cdot 2} = 4a^6$ = $4a^6$

Producto de potencias de igual base: suma los exponentes: $4a^6 \cdot a^4 = 4a^{6+4}$ = $4a^{10}$

Potencia de una potencia en el denominador: $(a^2)^3 = a^{2 \cdot 3}$ = $a^6$

Cociente de potencias de igual base: resta los exponentes: $\frac{4a^{10}}{a^6} = 4a^{10-6}$ = $4a^4$

Answer: $\frac{(2a^3)^2 \cdot a^4}{(a^2)^3} = 4a^4$

Mistake: Sumar los exponentes: $(x^3)^4 = x^7$

Why: Sumar corresponde al producto de potencias, como $x^3 \cdot x^4$. Aquí el $4$ de fuera significa cuatro copias de $x^3$, así que el exponente es $3 + 3 + 3 + 3 = 12$.

Correct: Multiplica los exponentes: $(x^3)^4 = x^{3 \cdot 4} = x^{12}$

Mistake: Pensar que $(a + b)^2 = a^2 + b^2$

Why: La regla $(ab)^n = a^n b^n$ es para un producto, no para una suma. Compruébalo con números: $(3 + 4)^2 = 7^2 = 49$, pero $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$.

Correct: $(a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + 2ab + b^2$, así que $(3 + 4)^2 = 9 + 24 + 16 = 49$

Mistake: Tratar $(2^3)^2$ y $2^{3^2}$ como si fueran iguales

Why: Los paréntesis cambian el orden. $(2^3)^2$ eleva $2^3$ al cuadrado, mientras que en $2^{3^2}$ primero se calcula el exponente de arriba, $3^2 = 9$.

Correct: $(2^3)^2 = 2^6 = 64$, pero $2^{3^2} = 2^9 = 512$

Mistake: Olvidar el coeficiente: $(3x^2)^3 = 3x^6$

Why: El exponente se aplica a cada factor del paréntesis, y el número $3$ también es un factor.

Correct: $(3x^2)^3 = 3^3 \cdot x^6 = 27x^6$

Almacenamiento en el ordenador

Los ordenadores cuentan la memoria en potencias de 2. Cada unidad mayor es $2^{10} = 1024$ veces la anterior.

Un kilobyte son $2^{10}$ bytes y un megabyte son $2^{10}$ kilobytes, así que un megabyte son $(2^{10})^2 = 2^{20}$ bytes.

Ampliar una foto

Cuando se amplía una imagen, su ancho y su alto se multiplican por el mismo factor, así que su área (el número de píxeles) crece según el cuadrado de ese factor.

Si duplicas el ancho y el alto de una foto, el número de píxeles se multiplica por $2^2 = 4$.

La energía y la velocidad de la luz

La fórmula de Einstein $E = mc^2$ eleva al cuadrado la velocidad de la luz $c$, que es de unos $3 \cdot 10^8$ metros por segundo.

Para elevar $3 \cdot 10^8$ al cuadrado, eleva por separado el $3$ y la potencia de diez, porque los dos son factores.

Q: ¿Por qué multiplicamos los exponentes en lugar de sumarlos?

A: Porque $(a^m)^n$ significa $n$ copias de $a^m$ multiplicadas entre sí. Por el producto de potencias de igual base, sus exponentes se suman: $m + m + \dots + m$ ($n$ veces), que es $m \cdot n$.

Q: ¿Es $(a^2)^3$ lo mismo que $(a^3)^2$?

A: Sí. Las dos dan $a^6$, porque $2 \cdot 3 = 3 \cdot 2$. Compruébalo con números: $(2^2)^3 = 4^3 = 64$ y $(2^3)^2 = 8^2 = 64$.

Q: ¿Qué significa $2^{3^2}$ sin paréntesis?

A: Una torre de exponentes se calcula de arriba abajo: primero $3^2 = 9$ y después $2^9 = 512$. Si quieres decir $(2^3)^2 = 64$, tienes que escribir los paréntesis.

Q: ¿La regla funciona también con una suma, como $(x + 2)^2$?

A: No. El exponente solo se puede repartir entre factores. Una suma hay que desarrollarla: $(x + 2)^2 = (x + 2)(x + 2) = x^2 + 4x + 4$.