¿Es $(a^2)^3$ lo mismo que $(a^3)^2$?

Sí. Las dos dan $a^6$, porque $2 \cdot 3 = 3 \cdot 2$. Compruébalo con números: $(2^2)^3 = 4^3 = 64$ y $(2^3)^2 = 8^2 = 64$.

¿Qué significa $2^{3^2}$ sin paréntesis?

Una torre de exponentes se calcula de arriba abajo: primero $3^2 = 9$ y después $2^9 = 512$. Si quieres decir $(2^3)^2 = 64$, tienes que escribir los paréntesis.

¿La regla funciona también con una suma, como $(x + 2)^2$?

No. El exponente solo se puede repartir entre factores. Una suma hay que desarrollarla: $(x + 2)^2 = (x + 2)(x + 2) = x^2 + 4x + 4$.

Recursos para profesores

Potencia de una potencia

Q: ¿Por qué multiplicamos los exponentes en lugar de sumarlos?

Porque $(a^m)^n$ significa $n$ copias de $a^m$ multiplicadas entre sí. Por el producto de potencias de igual base, sus exponentes se suman: $m + m + \dots + m$ ($n$ veces), que es $m \cdot n$.

Aprende por qué elevar una potencia a otra potencia significa multiplicar los exponentes, y cómo elevar productos, cocientes y coeficientes a una potencia.

Intermedio25 minLección

Ficha imprimible

Definición

Cuando una potencia se eleva a otra potencia, mantienes la base y multiplicas los exponentes:

(a^m)^n = a^{m \cdot n}

Por qué funciona: el exponente de fuera,

n

, dice "usa

a^m

como factor

n

veces". El producto de potencias de igual base (se suman los exponentes) hace el resto:

(2^3)^2 = 2^3 \cdot 2^3 = 2^{3+3} = 2^6 = 64

Sumar el exponente

m

un total de

n

veces es lo mismo que

m \cdot n

Dos reglas relacionadas salen de la misma idea:

Potencia de un producto: $(ab)^n = a^n b^n$ . Cada factor dentro del paréntesis recibe el exponente, también el número de delante: $(3x^2)^3 = 3^3 \cdot (x^2)^3 = 27x^6$
Potencia de un cociente: $\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$ (con $b \neq 0$ )

Cuidado con los paréntesis:

(2^3)^2 = 2^6 = 64

, pero

2^{3^2} = 2^9 = 512

. Sin paréntesis, primero se calcula el exponente de arriba.

En esta lección todos los exponentes son números enteros positivos.

Pruébalo ahora

Simplifica

(x^3)^4

Ejemplos resueltos

Simplifica $(5^2)^4$ .

Identifica la base y los dos exponentes

Base $5$ , exponente de dentro $2$ , exponente de fuera $4$ → Una potencia elevada a otra potencia

Escríbela como un producto

$(5^2)^4 = 5^2 \cdot 5^2 \cdot 5^2 \cdot 5^2 = 5^{2+2+2+2}$ → $5^8$

Usa el atajo: multiplica los exponentes

$2 \cdot 4 = 8$ → $(5^2)^4 = 5^8$

Respuesta: $(5^2)^4 = 5^8 = 390\,625$

Errores comunes

Sumar los exponentes: $(x^3)^4 = x^7$

Por qué está mal: Sumar corresponde al producto de potencias, como $x^3 \cdot x^4$ . Aquí el $4$ de fuera significa cuatro copias de $x^3$ , así que el exponente es $3 + 3 + 3 + 3 = 12$ .

Correcto: Multiplica los exponentes: $(x^3)^4 = x^{3 \cdot 4} = x^{12}$

Pensar que $(a + b)^2 = a^2 + b^2$

Por qué está mal: La regla $(ab)^n = a^n b^n$ es para un producto, no para una suma. Compruébalo con números: $(3 + 4)^2 = 7^2 = 49$ , pero $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$ .

Correcto: $(a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + 2ab + b^2$ , así que $(3 + 4)^2 = 9 + 24 + 16 = 49$

Tratar $(2^3)^2$ y $2^{3^2}$ como si fueran iguales

Por qué está mal: Los paréntesis cambian el orden. $(2^3)^2$ eleva $2^3$ al cuadrado, mientras que en $2^{3^2}$ primero se calcula el exponente de arriba, $3^2 = 9$ .

Correcto: $(2^3)^2 = 2^6 = 64$ , pero $2^{3^2} = 2^9 = 512$

Olvidar el coeficiente: $(3x^2)^3 = 3x^6$

Por qué está mal: El exponente se aplica a cada factor del paréntesis, y el número $3$ también es un factor.

Correcto: $(3x^2)^3 = 3^3 \cdot x^6 = 27x^6$

Visual interactivo

Potencias como factores repetidos

Potencia de una potencia

Potencia de una potencia: se multiplican los exponentes.

\left(2^{3}\right)^{2}

Escribir cada potencia como factores repetidos

2

2

2

2^{3}

3 factores

2

2

2

2^{3}

3 factores

2 grupos de 3: 2 · 3 = 6 factores

Resultado

\displaystyle \left(2^{3}\right)^{2}

=

\displaystyle 2^{3 \cdot 2}

=

\displaystyle 2^{6}

Valor: $2^{6} = 64$

Exponente m3Exponente n2

Jerarquía de operaciones

1. Paréntesis
2. Potencias
3. × y ÷
4. + y −

2^{\colorbox{#fde68a}{$\color{#1f2937}3^{2}$}}

Después las potencias: $3^{2} = 9$

Paso 1 de 2

Modelo de área: cuadrado de un binomio

Un cuadrado de lado x + a: dos tiras iguales a·x y una esquina a², así que el término central es 2ax.

Largo × ancho = área

$(x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9$

Sandbox interactivo

Calculadora de expresiones

Prueba estos:

Historial

Aún no hay cálculos

Problemas de práctica

18 problemas

Problema 1 de 18

Fácil

Simplifica $(x^3)^4$ .

Por qué es importante

La regla de la potencia de una potencia convierte largas cadenas de multiplicaciones en un solo paso rápido:

Áreas y volúmenes: un cuadrado de lado $10^3$ m tiene un área de $(10^3)^2 = 10^6$ m², y un cubo de arista $2^2$ cm tiene un volumen de $(2^2)^3 = 2^6 = 64$ cm³
Almacenamiento informático: un kilobyte son $2^{10}$ bytes, y $(2^{10})^3 = 2^{30}$ bytes son algo más de mil millones de bytes
Ciencia: en $E = mc^2$ la velocidad de la luz, $3 \cdot 10^8$ m/s, se eleva al cuadrado: $(3 \cdot 10^8)^2 = 9 \cdot 10^{16}$
Álgebra: un cuadrado de lado $3x^2$ tiene un área de $(3x^2)^2 = 9x^4$

Junto con el producto y el cociente de potencias de igual base, te permite simplificar casi cualquier expresión con potencias de la misma base.

Aplicaciones del mundo real

Almacenamiento en el ordenador

Los ordenadores cuentan la memoria en potencias de 2. Cada unidad mayor es $2^{10} = 1024$ veces la anterior.

Ejemplo:

Un kilobyte son $2^{10}$ bytes y un megabyte son $2^{10}$ kilobytes, así que un megabyte son $(2^{10})^2 = 2^{20}$ bytes.

1Inténtalo tú mismo

Un gigabyte son $2^{10}$ megabytes, es decir, $2^{10} \cdot 2^{10} \cdot 2^{10}$ bytes, que es $(2^{10})^3$ bytes.

Escribe el número de bytes de un gigabyte como una sola potencia de 2.

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Simplifica $(2^{10})^3$ :

Ampliar una foto

Cuando se amplía una imagen, su ancho y su alto se multiplican por el mismo factor, así que su área (el número de píxeles) crece según el cuadrado de ese factor.

Ejemplo:

Si duplicas el ancho y el alto de una foto, el número de píxeles se multiplica por $2^2 = 4$ .

2Inténtalo tú mismo

Una foto se amplía de modo que su ancho y su alto se multiplican cada uno por $2^3$ .

¿Por qué factor se multiplica el número de píxeles?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

El factor del área es $(2^3)^2$ :

La energía y la velocidad de la luz

La fórmula de Einstein $E = mc^2$ eleva al cuadrado la velocidad de la luz $c$, que es de unos $3 \cdot 10^8$ metros por segundo.

Ejemplo:

Para elevar $3 \cdot 10^8$ al cuadrado, eleva por separado el $3$ y la potencia de diez, porque los dos son factores.

3Inténtalo tú mismo

La velocidad de la luz es de aproximadamente $c = 3 \cdot 10^8$ m/s.

¿Cuánto es $c^2 = (3 \cdot 10^8)^2$ en notación científica?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Usa la potencia de un producto y la potencia de una potencia:

Puntos clave

1Potencia de una potencia: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ , se mantiene la base y se multiplican los exponentes
2La regla sale del producto de potencias de igual base: $(2^3)^2 = 2^3 \cdot 2^3 = 2^{3+3} = 2^6$
3Potencia de un producto: $(ab)^n = a^n b^n$ , cada factor recibe el exponente, también el coeficiente: $(3x^2)^3 = 27x^6$
4Potencia de un cociente: $\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$ , se elevan el numerador y el denominador
5Los paréntesis importan: $(2^3)^2 = 64$ , pero $2^{3^2} = 512$
6Las reglas solo valen para productos y cocientes: $(a + b)^2 \neq a^2 + b^2$

Preguntas frecuentes

Porque

(a^m)^n

significa

n

copias de

a^m

multiplicadas entre sí. Por el producto de potencias de igual base, sus exponentes se suman:

m + m + \dots + m

(

n

veces), que es

m \cdot n

Glosario

Potencia de una potencia: Una potencia elevada a otra potencia, como $(a^m)^n$ . Es igual a $a^{m \cdot n}$ .
Potencia de un producto: Un producto elevado a una potencia: $(ab)^n = a^n b^n$ . Cada factor recibe el exponente.
Potencia de un cociente: Una fracción elevada a una potencia: $\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$ , con $b \neq 0$ .
Coeficiente: El número que va delante de una variable. En $3x^2$ el coeficiente es $3$ .
Base: El número o la variable que se multiplica. En $(x^2)^3$ la base es $x$ .
Exponente: El número pequeño de arriba que indica cuántas veces se usa la base como factor.

Tarjeta de fórmulas

Potencia de una potencia

(a^m)^n = a^{m \cdot n}

Se mantiene la base y se multiplican los exponentes

Potencia de un producto

(ab)^n = a^n b^n

Cada factor del paréntesis recibe el exponente

Potencia de un cociente

\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}

Se elevan el numerador y el denominador ($b \neq 0$)

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