Misma base, se suman los exponentes

Simplifica $3^2 \cdot 3^5$ y comprueba el resultado.

Comprueba las bases: Las dos potencias tienen base $3$ = Misma base, así que se aplica la regla

Suma los exponentes: $3^2 \cdot 3^5 = 3^{2+5}$ = $3^7$

Comprueba contando factores: $(3 \cdot 3) \cdot (3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3)$ tiene $2 + 5 = 7$ factores $3$ = $3^7$ ✓

Comprueba con números: $3^2 = 9$, $3^5 = 243$, $9 \cdot 243 = 2187$ = $3^7 = 2187$ ✓

Answer: $3^2 \cdot 3^5 = 3^7 = 2187$

Potencias de una letra

Simplifica $x^2 \cdot x^5$.

Escribe todos los factores: $x^2 = x \cdot x$ y $x^5 = x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x$ = 2 factores y 5 factores

Cuenta todos los factores $x$: $2 + 5 = 7$ = 7 factores $x$

Escribe el resultado como una sola potencia: $x^2 \cdot x^5 = x^{2+5}$ = $x^7$

Answer: $x^2 \cdot x^5 = x^7$

El exponente 1 escondido

Simplifica $5 \cdot 5^3 \cdot 5^2$.

Pon un exponente a cada factor: $5 = 5^1$ = $5^1 \cdot 5^3 \cdot 5^2$

Suma los tres exponentes: $1 + 3 + 2 = 6$ = $5^6$

Calcula el valor: $5^6 = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5$ = $15\,625$

Answer: $5 \cdot 5^3 \cdot 5^2 = 5^6 = 15\,625$

Coeficientes y potencias

Simplifica $3x^2 \cdot 4x^3$.

Reordena los factores (puedes multiplicar en cualquier orden): $3x^2 \cdot 4x^3 = (3 \cdot 4) \cdot (x^2 \cdot x^3)$ = Los números juntos, las potencias juntas

Multiplica los coeficientes: $3 \cdot 4 = 12$ = $12$

Suma los exponentes de $x$: $x^2 \cdot x^3 = x^{2+3}$ = $x^5$

Junta las partes: $12 \cdot x^5$ = $12x^5$

Answer: $3x^2 \cdot 4x^3 = 12x^5$

Dos letras distintas

Simplifica $2a^3b \cdot 5a^4b^2$.

Agrupa los números y cada letra: $(2 \cdot 5) \cdot (a^3 \cdot a^4) \cdot (b \cdot b^2)$ = Tres grupos

Multiplica los coeficientes: $2 \cdot 5 = 10$ = $10$

Base $a$: suma los exponentes: $a^3 \cdot a^4 = a^{3+4}$ = $a^7$

Base $b$: recuerda que $b = b^1$: $b^1 \cdot b^2 = b^{1+2}$ = $b^3$

Escribe el resultado: $a$ y $b$ son bases distintas, así que quedan separadas = $10a^7b^3$

Answer: $2a^3b \cdot 5a^4b^2 = 10a^7b^3$

Mistake: Multiplicar los exponentes: $2^3 \cdot 2^4 = 2^{12}$

Why: Los exponentes cuentan factores. Tres factores y cuatro factores son $3 + 4 = 7$ factores, no $3 \cdot 4 = 12$. Comprobación: $8 \cdot 16 = 128$, pero $2^{12} = 4096$. Los exponentes se multiplican en la potencia de una potencia, como $(2^3)^4$.

Correct: $2^3 \cdot 2^4 = 2^{3+4} = 2^7 = 128$

Mistake: Multiplicar las bases: $2^3 \cdot 2^4 = 4^7$

Why: Cada factor de la fila sigue siendo un $2$. Nada se convierte en $4$. Y $4^7 = 16\,384$, mucho más que el producto real, $128$.

Correct: Deja la base: $2^3 \cdot 2^4 = 2^7$

Mistake: Sumar exponentes de bases distintas: $2^3 \cdot 3^2 = 6^5$ o $5^5$

Why: La regla necesita la misma base, porque solo así todos los factores son iguales. $2^3 \cdot 3^2 = 8 \cdot 9 = 72$, mientras que $6^5 = 7776$.

Correct: Déjalo como $2^3 \cdot 3^2$ o calcúlalo: $8 \cdot 9 = 72$

Mistake: Sumar los coeficientes: $3x^2 \cdot 4x^3 = 7x^5$

Why: Los coeficientes $3$ y $4$ son factores normales, así que se multiplican. Solo se suman los exponentes de una misma base.

Correct: $3x^2 \cdot 4x^3 = (3 \cdot 4)\,x^{2+3} = 12x^5$

Memoria del ordenador

Los ordenadores cuentan la memoria en potencias de 2, así que los tamaños de memoria se multiplican con esta regla.

Un kilobyte son $2^{10}$ bytes y un megabyte son $2^{10}$ kilobytes, así que un megabyte son $2^{10} \cdot 2^{10} = 2^{20}$ bytes.

Contar con potencias de diez

Las cantidades grandes en tiendas y almacenes se manejan con facilidad como potencias de 10.

$10^2$ cajas con $10^3$ tornillos cada una contienen $10^2 \cdot 10^3 = 10^5 = 100\,000$ tornillos.

Doblar papel

Cada doblez duplica las capas de una hoja de papel, así que el número de capas crece en potencias de 2.

Con 2 dobleces hay $2^2 = 4$ capas, con 3 dobleces hay $2^3 = 8$ capas.

Q: ¿Por qué se suman los exponentes y no se multiplican?

A: Cada exponente cuenta factores. $2^3$ son 3 factores 2 y $2^4$ son 4 factores 2 más, así que en total hay $3 + 4 = 7$ factores: $2^7$. Los exponentes se multiplican en otra situación, la potencia de una potencia como $(2^3)^4$, que tiene su propia lección.

Q: ¿La regla funciona con más de dos potencias?

A: Sí. Suma todos los exponentes: $2 \cdot 2^2 \cdot 2^3 = 2^{1+2+3} = 2^6 = 64$.

Q: ¿Puedo usar la regla con $2^3 \cdot 3^3$?

A: No, las bases son distintas, así que no puedes sumar los exponentes. Aquí los exponentes son iguales, y entonces ayuda otra regla: $2^3 \cdot 3^3 = (2 \cdot 3)^3 = 6^3 = 216$. Comprobación: $8 \cdot 27 = 216$. Con bases y exponentes distintos, como $2^3 \cdot 3^2$, simplemente calcula: $8 \cdot 9 = 72$.

Q: ¿$2^3 + 2^4$ es igual a $2^7$?

A: No. Esta regla es solo para la multiplicación. $2^3 + 2^4 = 8 + 16 = 24$, mientras que $2^7 = 128$.