¿La regla funciona con más de dos potencias?

Sí. Suma todos los exponentes: $2 \cdot 2^2 \cdot 2^3 = 2^{1+2+3} = 2^6 = 64$.

¿Puedo usar la regla con $2^3 \cdot 3^3$?

No, las bases son distintas, así que no puedes sumar los exponentes. Aquí los exponentes son iguales, y entonces ayuda otra regla: $2^3 \cdot 3^3 = (2 \cdot 3)^3 = 6^3 = 216$. Comprobación: $8 \cdot 27 = 216$. Con bases y exponentes distintos, como $2^3 \cdot 3^2$, simplemente calcula: $8 \cdot 9 = 72$.

¿$2^3 + 2^4$ es igual a $2^7$?

No. Esta regla es solo para la multiplicación. $2^3 + 2^4 = 8 + 16 = 24$, mientras que $2^7 = 128$.

Recursos para profesores

Producto de potencias de igual base

Q: ¿Por qué se suman los exponentes y no se multiplican?

Cada exponente cuenta factores. $2^3$ son 3 factores 2 y $2^4$ son 4 factores 2 más, así que en total hay $3 + 4 = 7$ factores: $2^7$. Los exponentes se multiplican en otra situación, la potencia de una potencia como $(2^3)^4$, que tiene su propia lección.

Aprende por qué al multiplicar potencias de igual base se suman los exponentes, con números, letras y coeficientes.

Intermedio20 minLección

Ficha imprimible

Definición

La regla del producto de potencias de igual base dice: cuando multiplicas dos potencias con la misma base, dejas la base y sumas los exponentes.

a^m \cdot a^n = a^{m+n}

Por qué funciona: cuenta los factores.

2^3

significa tres factores

2

, y

2^4

significa cuatro factores

2

. Al multiplicar las dos potencias, todos los factores quedan en una sola fila:

2^3 \cdot 2^4 = \underbrace{(2 \cdot 2 \cdot 2)}_{3 \text{ factores}} \cdot \underbrace{(2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2)}_{4 \text{ factores}} = 2^{7}

Tres factores y cuatro factores son siete factores, así que los exponentes se suman:

3 + 4 = 7

. Comprobación con números:

8 \cdot 16 = 128 = 2^7

Recuerda:

La base no cambia: $2^3 \cdot 2^4 = 2^7$ , nunca $4^7$ .
Los exponentes se suman, no se multiplican: $2^7$ , no $2^{12}$ .
Las bases tienen que ser iguales: $2^3 \cdot 5^2$ no se puede escribir como una sola potencia.
Una base sin exponente escrito tiene exponente $1$ : $x = x^1$ .

Pruébalo ahora

¿Qué expresión es igual a

5^2 \cdot 5^6

Ejemplos resueltos

Simplifica $3^2 \cdot 3^5$ y comprueba el resultado.

Comprueba las bases

Las dos potencias tienen base $3$ → Misma base, así que se aplica la regla

Suma los exponentes

$3^2 \cdot 3^5 = 3^{2+5}$ → $3^7$

Comprueba contando factores

$(3 \cdot 3) \cdot (3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3)$ tiene $2 + 5 = 7$ factores $3$ → $3^7$ ✓

Comprueba con números

$3^2 = 9$ , $3^5 = 243$ , $9 \cdot 243 = 2187$ → $3^7 = 2187$ ✓

Respuesta: $3^2 \cdot 3^5 = 3^7 = 2187$

Errores comunes

Multiplicar los exponentes: $2^3 \cdot 2^4 = 2^{12}$

Por qué está mal: Los exponentes cuentan factores. Tres factores y cuatro factores son $3 + 4 = 7$ factores, no $3 \cdot 4 = 12$ . Comprobación: $8 \cdot 16 = 128$ , pero $2^{12} = 4096$ . Los exponentes se multiplican en la potencia de una potencia, como $(2^3)^4$ .

Correcto: $2^3 \cdot 2^4 = 2^{3+4} = 2^7 = 128$

Multiplicar las bases: $2^3 \cdot 2^4 = 4^7$

Por qué está mal: Cada factor de la fila sigue siendo un $2$ . Nada se convierte en $4$ . Y $4^7 = 16\,384$ , mucho más que el producto real, $128$ .

Correcto: Deja la base: $2^3 \cdot 2^4 = 2^7$

Sumar exponentes de bases distintas: $2^3 \cdot 3^2 = 6^5$ o $5^5$

Por qué está mal: La regla necesita la misma base, porque solo así todos los factores son iguales. $2^3 \cdot 3^2 = 8 \cdot 9 = 72$ , mientras que $6^5 = 7776$ .

Correcto: Déjalo como $2^3 \cdot 3^2$ o calcúlalo: $8 \cdot 9 = 72$

Sumar los coeficientes: $3x^2 \cdot 4x^3 = 7x^5$

Por qué está mal: Los coeficientes $3$ y $4$ son factores normales, así que se multiplican. Solo se suman los exponentes de una misma base.

Correcto: $3x^2 \cdot 4x^3 = (3 \cdot 4)\,x^{2+3} = 12x^5$

Visual interactivo

Potencias como factores repetidos

Producto de potencias

Misma base, se multiplica: se suman los exponentes.

2^{3} \cdot 2^{4}

Escribir cada potencia como factores repetidos

2

2

2

2^{3}

3 factores

2

2

2

2

2^{4}

4 factores

3 + 4 = 7 factores en total

Resultado

\displaystyle 2^{3} \cdot 2^{4}

=

\displaystyle 2^{3 + 4}

=

\displaystyle 2^{7}

Valor: $2^{7} = 128$

Exponente m3Exponente n4

Jerarquía de operaciones

1. Paréntesis
2. Potencias
3. × y ÷
4. + y −

\colorbox{#fde68a}{$\color{#1f2937}2^{3}$} \times 2^{4}

Después las potencias: $2^{3} = 8$

Paso 1 de 3

Sandbox interactivo

Calculadora de expresiones

Prueba estos:

Historial

Aún no hay cálculos

Problemas de práctica

18 problemas

Problema 1 de 18

Fácil

¿Qué expresión es igual a $5^2 \cdot 5^6$ ?

Por qué es importante

Esta regla te ahorra escribir largas filas de factores, y aparece por todas partes en matemáticas y ciencias:

Notación científica: $10^3 \cdot 10^4 = 10^7$ , así que mil por diez mil son diez millones.
Memoria del ordenador: $2^{10}$ bytes forman un kilobyte y $2^{10}$ kilobytes forman un megabyte, así que un megabyte tiene $2^{10} \cdot 2^{10} = 2^{20}$ bytes.
Duplicar una y otra vez: algo que se duplica 3 veces y luego 4 veces más ha crecido $2^3 \cdot 2^4 = 2^7 = 128$ veces.
Álgebra: áreas y volúmenes como $x^2 \cdot x$ o $3x^2 \cdot 4x^3$ hay que simplificarlos antes de resolver ecuaciones o trabajar con polinomios.

Además, es la regla sobre la que se construyen las demás: el cociente de potencias de igual base y la potencia de una potencia salen exactamente igual, contando factores.

Aplicaciones del mundo real

Memoria del ordenador

Los ordenadores cuentan la memoria en potencias de 2, así que los tamaños de memoria se multiplican con esta regla.

Ejemplo:

Un kilobyte son $2^{10}$ bytes y un megabyte son $2^{10}$ kilobytes, así que un megabyte son $2^{10} \cdot 2^{10} = 2^{20}$ bytes.

1Inténtalo tú mismo

Un archivo se guarda en $2^6$ bloques, y cada bloque contiene $2^{10}$ bytes.

¿Cuántos bytes ocupa el archivo?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Multiplica el número de bloques por los bytes de cada bloque, $2^6 \cdot 2^{10}$ , y da el resultado:

Contar con potencias de diez

Las cantidades grandes en tiendas y almacenes se manejan con facilidad como potencias de 10.

Ejemplo:

$10^2$ cajas con $10^3$ tornillos cada una contienen $10^2 \cdot 10^3 = 10^5 = 100\,000$ tornillos.

2Inténtalo tú mismo

Un almacén tiene $10^2$ estanterías. Cada estantería tiene $10^3$ cajas, y en cada caja hay $10$ bolígrafos.

¿Cuántos bolígrafos hay en el almacén?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Multiplica los tres números, $10^2 \cdot 10^3 \cdot 10$ , y da el resultado:

Doblar papel

Cada doblez duplica las capas de una hoja de papel, así que el número de capas crece en potencias de 2.

Ejemplo:

Con 2 dobleces hay $2^2 = 4$ capas, con 3 dobleces hay $2^3 = 8$ capas.

3Inténtalo tú mismo

Doblas una hoja de papel por la mitad 3 veces. Después doblas el montón por la mitad 4 veces más.

¿Cuántas capas de papel hay al final?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Los primeros dobleces dan $2^3$ capas, y los siguientes multiplican eso por $2^4$ :

Puntos clave

1Producto de potencias de igual base: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ . Misma base, se suman los exponentes.
2Funciona porque cuentas factores: $2^3 \cdot 2^4$ tiene $3 + 4 = 7$ factores $2$ .
3La base no cambia: $2^3 \cdot 2^4 = 2^7$ , no $4^7$ .
4Los exponentes se suman, no se multiplican: $2^3 \cdot 2^4 = 2^7$ , no $2^{12}$ .
5Una base sin exponente escrito tiene exponente 1: $x \cdot x^4 = x^5$ .
6Con coeficientes, multiplica los números y suma los exponentes de cada base: $3x^2 \cdot 4x^3 = 12x^5$ . Las bases distintas quedan separadas.

Preguntas frecuentes

Cada exponente cuenta factores.

2^3

son 3 factores 2 y

2^4

son 4 factores 2 más, así que en total hay

3 + 4 = 7

factores:

2^7

. Los exponentes se multiplican en otra situación, la potencia de una potencia como

(2^3)^4

, que tiene su propia lección.

Glosario

Base: El número o la letra que se multiplica por sí mismo. En $x^5$ la base es $x$ .
Exponente: El número pequeño de arriba que dice cuántos factores de la base hay. En $x^5$ el exponente es $5$ .
Potencia: Una base con un exponente, como $2^7$ , o su valor, $128$ .
Factor: Cada número o letra que se multiplica en un producto. $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2$ tiene tres factores $2$ .
Coeficiente: El número que va delante de una letra. En $12x^5$ el coeficiente es $12$ .
Producto de potencias de igual base: Para multiplicar potencias de igual base, se deja la base y se suman los exponentes: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ .

Tarjeta de fórmulas

Producto de potencias

a^m \cdot a^n = a^{m+n}

Misma base: se deja la base y se suman los exponentes.

Tres o más potencias

a^m \cdot a^n \cdot a^p = a^{m+n+p}

Suma todos los exponentes de la misma base.

Exponente escondido

a = a^1

Una base sin exponente escrito tiene exponente 1.

Con coeficientes

c\,a^m \cdot d\,a^n = (c \cdot d)\,a^{m+n}

Se multiplican los coeficientes y se suman los exponentes.

Más sobre este tema

Definición

Ejemplos resueltos

Errores comunes

Visual interactivo

Potencias como factores repetidos

Jerarquía de operaciones

Sandbox interactivo

Calculadora de expresiones

Historial

Problemas de práctica

Por qué es importante

Aplicaciones del mundo real

Memoria del ordenador

Contar con potencias de diez

Doblar papel

Puntos clave

Preguntas frecuentes

Glosario

Tarjeta de fórmulas

Producto de potencias

Tres o más potencias

Exponente escondido

Con coeficientes

Más sobre este tema

Introducción a los Exponentes

Leyes de los exponentes

Raíces cuadradas y raíces cúbicas

Cociente de potencias de igual base