Dividir potencias del mismo número

Simplifica $\frac{5^6}{5^2}$ y calcula su valor.

Comprueba las bases: Las dos potencias tienen base $5$ = Igual base, se puede aplicar la regla

Resta los exponentes (arriba menos abajo): $6 - 2 = 4$ = $5^4$

Calcula la potencia: $5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5$ = $625$

Comprueba calculando las dos potencias: $5^6 \div 5^2 = 15625 \div 25$ = $625$, el mismo resultado

Answer: $\frac{5^6}{5^2} = 5^4 = 625$

Dividir potencias de una variable

Simplifica $\frac{x^9}{x^4}$ (con $x \neq 0$).

Piensa en los factores: $9$ factores $x$ arriba, $4$ factores $x$ abajo = $4$ factores comunes

Simplifica los factores comunes: Cada $x$ de abajo se simplifica con una $x$ de arriba = Quedan $9 - 4 = 5$ factores arriba

Escribe el resultado como potencia: $x^{9-4}$ = $x^5$

Answer: $\frac{x^9}{x^4} = x^5$

Dividir con coeficientes

Simplifica $\frac{12x^7}{4x^3}$.

Separa la parte numérica y la parte de potencias: $\frac{12x^7}{4x^3} = \frac{12}{4} \cdot \frac{x^7}{x^3}$ = Dos divisiones separadas

Divide los coeficientes: $12 \div 4$ = $3$

Resta los exponentes: $7 - 3 = 4$ = $x^4$

Junta las dos partes: $3 \cdot x^4$ = $3x^4$

Answer: $\frac{12x^7}{4x^3} = 3x^4$

Dos variables distintas

Simplifica $\frac{18a^6b^5}{6a^2b}$.

Divide los coeficientes: $18 \div 6$ = $3$

Aplica la regla a la base $a$: $a^{6-2}$ = $a^4$

Aplica la regla a la base $b$ (recuerda que $b = b^1$): $b^{5-1}$ = $b^4$

Junta todas las partes: $3 \cdot a^4 \cdot b^4$ = $3a^4b^4$

Answer: $\frac{18a^6b^5}{6a^2b} = 3a^4b^4$

Primero el producto, después el cociente

Simplifica $\frac{6x^5 \cdot 2x^3}{4x^6}$.

Multiplica los coeficientes del numerador: $6 \cdot 2$ = $12$

Aplica la regla del producto en el numerador (suma los exponentes): $x^5 \cdot x^3 = x^{5+3}$ = Numerador: $12x^8$

Divide los coeficientes: $12 \div 4$ = $3$

Aplica la regla del cociente (resta los exponentes): $x^{8-6}$ = $x^2$

Answer: $\frac{6x^5 \cdot 2x^3}{4x^6} = 3x^2$

Mistake: Dividir los exponentes: $\frac{x^8}{x^2} = x^4$

Why: Dividir potencias no significa dividir exponentes. Los $2$ factores de abajo se simplifican con $2$ de los $8$ factores de arriba, así que quedan $8 - 2$ factores, no $8 \div 2$.

Correct: $\frac{x^8}{x^2} = x^{8-2} = x^6$

Mistake: Restar en el orden equivocado: $\frac{3^7}{3^2} = 3^{2-7}$

Why: El exponente del numerador siempre va primero. Aquí arriba hay más factores, así que después de simplificar los factores quedan arriba y el exponente es positivo.

Correct: $\frac{3^7}{3^2} = 3^{7-2} = 3^5 = 243$

Mistake: Dividir las bases: $\frac{6^5}{6^2} = 1^3$

Why: La base indica qué número se multiplica y no cambia. Solo cambia la cantidad de factores.

Correct: $\frac{6^5}{6^2} = 6^{5-2} = 6^3 = 216$

Mistake: Restar también los coeficientes: $\frac{12x^7}{4x^3} = 8x^4$

Why: Los coeficientes son números normales y la raya de fracción significa división: $12 \div 4$. Solo se restan los exponentes de una misma base.

Correct: $\frac{12x^7}{4x^3} = \frac{12}{4} \cdot x^{7-3} = 3x^4$

Fotos en una tarjeta de memoria

La memoria de un ordenador se cuenta en potencias de 2, así que dividir tamaños de almacenamiento es un trabajo para la regla del cociente.

1 MB son $2^{20}$ bytes y 1 KB son $2^{10}$ bytes, así que en 1 MB caben $\frac{2^{20}}{2^{10}} = 2^{10} = 1024$ KB.

Cuánto tarda la luz del Sol en llegar a la Tierra

Los astrónomos dividen distancias enormes entre velocidades escritas en notación científica: se dividen los números de delante y se restan los exponentes de 10.

Una distancia de $6 \times 10^8$ km a $3 \times 10^5$ km por segundo se recorre en $\frac{6}{3} \times 10^{8-5} = 2 \times 10^3 = 2000$ segundos.

Presupuesto por habitante

Los economistas dividen grandes cantidades de dinero entre el número de habitantes para comparar países de distinto tamaño.

Si $8 \times 10^9$ dólares se reparten entre $4 \times 10^6$ personas, a cada una le tocan $2 \times 10^3 = 2000$ dólares.

Q: ¿Por qué la regla dice $a \neq 0$?

A: Porque no se puede dividir entre cero. Con $a = 0$ el denominador $0^n$ valdría $0$ y la fracción no tendría ningún valor.

Q: ¿Qué pasa cuando los dos exponentes son iguales?

A: Entonces se simplifican todos los factores, por ejemplo $\frac{4^3}{4^3} = 1$. La regla da $4^{3-3} = 4^0$, y por qué $4^0$ vale $1$ se explica en la lección Exponente cero.

Q: ¿Y si el exponente de abajo es mayor, como en $\frac{2^3}{2^5}$?

A: Simplifica como siempre: se simplifican $3$ factores y quedan $2$ factores $2$ abajo, así que $\frac{2^3}{2^5} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$. Cómo escribirlo con un solo exponente se ve en la lección Exponentes negativos.

Q: ¿Puedo usar la regla con bases distintas, como $\frac{6^4}{2^3}$?

A: No. La regla solo cuenta factores de una misma base. Calcula las potencias: $\frac{6^4}{2^3} = \frac{1296}{8} = 162$.