¿Qué pasa cuando los dos exponentes son iguales?

Entonces se simplifican todos los factores, por ejemplo $\frac{4^3}{4^3} = 1$. La regla da $4^{3-3} = 4^0$, y por qué $4^0$ vale $1$ se explica en la lección Exponente cero.

¿Y si el exponente de abajo es mayor, como en $\frac{2^3}{2^5}$?

Simplifica como siempre: se simplifican $3$ factores y quedan $2$ factores $2$ abajo, así que $\frac{2^3}{2^5} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$. Cómo escribirlo con un solo exponente se ve en la lección Exponentes negativos.

¿Puedo usar la regla con bases distintas, como $\frac{6^4}{2^3}$?

No. La regla solo cuenta factores de una misma base. Calcula las potencias: $\frac{6^4}{2^3} = \frac{1296}{8} = 162$.

Recursos para profesores

Cociente de potencias de igual base

Q: ¿Por qué la regla dice $a \neq 0$?

Porque no se puede dividir entre cero. Con $a = 0$ el denominador $0^n$ valdría $0$ y la fracción no tendría ningún valor.

Aprende por qué dividir potencias de igual base significa restar los exponentes y aplica la regla con números, variables y coeficientes.

Intermedio20 minLección

Ficha imprimible

Definición

La regla del cociente de potencias dice: cuando divides dos potencias de igual base, conservas la base y restas los exponentes (exponente de arriba menos exponente de abajo):

\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \quad (a \neq 0)

Por qué funciona: escribe ambas potencias como productos de factores y simplifica los factores comunes, porque cualquier número dividido entre sí mismo es

1

\frac{5^6}{5^2} = \frac{5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot \cancel{5} \cdot \cancel{5}}{\cancel{5} \cdot \cancel{5}} = 5^4

Los

2

factores del denominador se simplifican con

2

de los

6

factores del numerador, así que quedan

6 - 2 = 4

factores.

Comprobación con números:

5^6 \div 5^2 = 15625 \div 25 = 625 = 5^4

En esta lección el exponente de arriba siempre es el mayor (

m > n

). Cuando los dos exponentes son iguales, todo se simplifica (lección Exponente cero); cuando el exponente de abajo es mayor, quedan factores en el denominador (lección Exponentes negativos).

Pruébalo ahora

Simplifica

\frac{7^9}{7^3}

Ejemplos resueltos

Simplifica $\frac{5^6}{5^2}$ y calcula su valor.

Comprueba las bases

Las dos potencias tienen base $5$ → Igual base, se puede aplicar la regla

Resta los exponentes (arriba menos abajo)

$6 - 2 = 4$ → $5^4$

Calcula la potencia

$5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5$ → $625$

Comprueba calculando las dos potencias

$5^6 \div 5^2 = 15625 \div 25$ → $625$ , el mismo resultado

Respuesta: $\frac{5^6}{5^2} = 5^4 = 625$

Errores comunes

Dividir los exponentes: $\frac{x^8}{x^2} = x^4$

Por qué está mal: Dividir potencias no significa dividir exponentes. Los $2$ factores de abajo se simplifican con $2$ de los $8$ factores de arriba, así que quedan $8 - 2$ factores, no $8 \div 2$ .

Correcto: $\frac{x^8}{x^2} = x^{8-2} = x^6$

Restar en el orden equivocado: $\frac{3^7}{3^2} = 3^{2-7}$

Por qué está mal: El exponente del numerador siempre va primero. Aquí arriba hay más factores, así que después de simplificar los factores quedan arriba y el exponente es positivo.

Correcto: $\frac{3^7}{3^2} = 3^{7-2} = 3^5 = 243$

Dividir las bases: $\frac{6^5}{6^2} = 1^3$

Por qué está mal: La base indica qué número se multiplica y no cambia. Solo cambia la cantidad de factores.

Correcto: $\frac{6^5}{6^2} = 6^{5-2} = 6^3 = 216$

Restar también los coeficientes: $\frac{12x^7}{4x^3} = 8x^4$

Por qué está mal: Los coeficientes son números normales y la raya de fracción significa división: $12 \div 4$ . Solo se restan los exponentes de una misma base.

Correcto: $\frac{12x^7}{4x^3} = \frac{12}{4} \cdot x^{7-3} = 3x^4$

Visual interactivo

Potencias como factores repetidos

Cociente de potencias

Misma base, se divide: se restan los exponentes.

\frac{5^{6}}{5^{2}}

Escribir cada potencia como factores repetidos

5

5

5

5

5

5

5

5

Se simplifican 2 factores comunes arriba y abajo

Quedan 4 factores en el numerador

\displaystyle 5^{4}

Resultado

\displaystyle \frac{5^{6}}{5^{2}}

=

\displaystyle 5^{6 - 2}

=

\displaystyle 5^{4}

Valor: $5^{4} = 625$

Vale para cualquier base excepto 0

Exponente m6Exponente n2

Potencias como factores repetidos

Cociente de potencias

Misma base, se divide: se restan los exponentes.

\frac{x^{9}}{x^{4}}

Escribir cada potencia como factores repetidos

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

Se simplifican 4 factores comunes arriba y abajo

Quedan 5 factores en el numerador

\displaystyle x^{5}

Resultado

\displaystyle \frac{x^{9}}{x^{4}}

=

\displaystyle x^{9 - 4}

=

\displaystyle x^{5}

Vale para cualquier base excepto 0

Sandbox interactivo

Calculadora de expresiones

Prueba estos:

Historial

Aún no hay cálculos

Problemas de práctica

18 problemas

Problema 1 de 18

Fácil

Simplifica $\frac{7^9}{7^3}$ .

Por qué es importante

Dividimos potencias siempre que los números son muy grandes o muy pequeños:

Informática: los tamaños de memoria son potencias de 2. ¿Cuántos archivos de 1 MB ( $2^{20}$ bytes) caben en 1 GB ( $2^{30}$ bytes)? $\frac{2^{30}}{2^{20}} = 2^{10} = 1024$
Ciencias: las distancias y velocidades en notación científica se dividen restando los exponentes de 10: $\frac{10^8}{10^5} = 10^3$
Cálculo mental: $\frac{2^{20}}{2^{17}} = 2^3 = 8$ sin calcular nunca $2^{20} = 1048576$
Álgebra: simplificar fracciones como $\frac{12x^7}{4x^3}$ es el primer paso hacia las fracciones algebraicas y la resolución de ecuaciones

La regla del cociente convierte una larga división de números enormes en una pequeña resta.

Aplicaciones del mundo real

Fotos en una tarjeta de memoria

La memoria de un ordenador se cuenta en potencias de 2, así que dividir tamaños de almacenamiento es un trabajo para la regla del cociente.

Ejemplo:

1 MB son $2^{20}$ bytes y 1 KB son $2^{10}$ bytes, así que en 1 MB caben $\frac{2^{20}}{2^{10}} = 2^{10} = 1024$ KB.

1Inténtalo tú mismo

Una tarjeta de memoria tiene $2^{30}$ bytes. Cada foto ocupa $2^{22}$ bytes.

¿Cuántas fotos caben en la tarjeta?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Divide el tamaño de la tarjeta entre el tamaño de una foto:

Cuánto tarda la luz del Sol en llegar a la Tierra

Los astrónomos dividen distancias enormes entre velocidades escritas en notación científica: se dividen los números de delante y se restan los exponentes de 10.

Ejemplo:

Una distancia de $6 \times 10^8$ km a $3 \times 10^5$ km por segundo se recorre en $\frac{6}{3} \times 10^{8-5} = 2 \times 10^3 = 2000$ segundos.

2Inténtalo tú mismo

El Sol está a unos $1{,}5 \times 10^8$ km de la Tierra. La luz recorre unos $3 \times 10^5$ km por segundo.

¿Aproximadamente cuántos segundos tarda la luz del Sol en llegar a la Tierra?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Tiempo = distancia dividida entre velocidad:

Presupuesto por habitante

Los economistas dividen grandes cantidades de dinero entre el número de habitantes para comparar países de distinto tamaño.

Ejemplo:

Si $8 \times 10^9$ dólares se reparten entre $4 \times 10^6$ personas, a cada una le tocan $2 \times 10^3 = 2000$ dólares.

3Inténtalo tú mismo

Un país gasta $6 \times 10^{10}$ dólares al año en escuelas y tiene $2 \times 10^7$ habitantes.

¿Cuántos dólares son por habitante?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Divide el presupuesto entre el número de habitantes:

Puntos clave

1Regla del cociente: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ para $a \neq 0$ : se conserva la base y se restan los exponentes
2La regla funciona porque los factores comunes se simplifican: cada factor de abajo se simplifica con uno de arriba
3Resta siempre arriba menos abajo: $\frac{3^7}{3^2} = 3^{7-2} = 3^5$
4La base nunca cambia y los exponentes nunca se dividen: $\frac{x^8}{x^2} = x^6$ , no $x^4$
5Con coeficientes, divide los números y resta los exponentes: $\frac{12x^7}{4x^3} = 3x^4$
6En una expresión mixta, simplifica primero el numerador con la regla del producto y después aplica la regla del cociente

Preguntas frecuentes

Porque no se puede dividir entre cero. Con

a = 0

el denominador

0^n

valdría

0

y la fracción no tendría ningún valor.

Glosario

Cociente: El resultado de una división. En $\frac{a^m}{a^n}$ las potencias forman un cociente.
Base: El número o la variable que se multiplica. En $5^6$ la base es $5$ .
Exponente: La cantidad de factores iguales a la base. En $5^6$ el exponente es $6$ .
Factor común: Un factor que aparece arriba y abajo de una fracción, por lo que se simplifica y da $1$ .
Coeficiente: El número que va delante de una variable. En $12x^7$ el coeficiente es $12$ .

Tarjeta de fórmulas

Cociente de potencias

\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}

Igual base $a \neq 0$: se conserva la base y se restan los exponentes (arriba menos abajo)

Con coeficientes

\frac{c\,a^m}{d\,a^n} = \frac{c}{d}\,a^{m-n}

Se dividen los coeficientes y se restan los exponentes

Producto y después cociente

\frac{a^m \cdot a^p}{a^n} = a^{m+p-n}

Se suman los exponentes de arriba y después se resta el exponente de abajo

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