Exponentes distintos

¿Cuál es mayor: $3{,}1 \times 10^6$ o $9{,}8 \times 10^5$?

Comprueba que los dos están normalizados: Los dos coeficientes, $3{,}1$ y $9{,}8$, están entre $1$ y $10$ = Listos para comparar

Compara los exponentes: $6 > 5$ = $10^6$ es diez veces $10^5$

Decide (aquí los coeficientes no importan): $3{,}1 \times 10^6 = 3.100.000$ y $9{,}8 \times 10^5 = 980.000$ = $3{,}1 \times 10^6 > 9{,}8 \times 10^5$

Answer: $3{,}1 \times 10^6$ es mayor, aunque su coeficiente sea menor.

Exponentes iguales

Compara $4{,}7 \times 10^8$ y $4{,}2 \times 10^8$.

Compara los exponentes: Los dos son $8$ = Exponentes iguales

Compara los coeficientes: $4{,}7 > 4{,}2$ = El primer coeficiente es mayor

Escribe la respuesta: Misma potencia de diez, coeficiente mayor = $4{,}7 \times 10^8 > 4{,}2 \times 10^8$

Answer: $4{,}7 \times 10^8 > 4{,}2 \times 10^8$

Primero normaliza

Compara $45 \times 10^3$ y $4{,}6 \times 10^4$.

Detecta el número que no está normalizado: $45$ no está entre $1$ y $10$ = Hay que reescribir $45 \times 10^3$

Normalízalo: $45 = 4{,}5 \times 10^1$, así que $45 \times 10^3 = 4{,}5 \times 10^{1+3}$ = $4{,}5 \times 10^4$

Compara los exponentes: $4$ y $4$ = Iguales, así que comparamos coeficientes

Compara los coeficientes: $4{,}5 < 4{,}6$ = $45 \times 10^3 < 4{,}6 \times 10^4$

Answer: $45 \times 10^3 < 4{,}6 \times 10^4$ ($45.000 < 46.000$). Comparar $45$ con $4{,}6$ directamente daría la respuesta equivocada.

Exponentes negativos

¿Cuál es mayor: $2 \times 10^{-3}$ o $9 \times 10^{-5}$?

Comprueba que los dos están normalizados: $2$ y $9$ están entre $1$ y $10$ = Listos para comparar

Compara los exponentes como números negativos: En la recta numérica, $-3$ está a la derecha de $-5$ = $-3 > -5$

Decide: $2 \times 10^{-3} = 0{,}002$ y $9 \times 10^{-5} = 0{,}00009$ = $2 \times 10^{-3} > 9 \times 10^{-5}$

Answer: $2 \times 10^{-3}$ es mayor. Con exponentes negativos, el exponente más cercano a cero da el número mayor.

Ordenar tamaños del universo

Ordena de menor a mayor (en metros): el diámetro de la Tierra $1{,}27 \times 10^7$, un átomo de hidrógeno $1 \times 10^{-10}$, la distancia Tierra-Sol $1{,}5 \times 10^{11}$, un glóbulo rojo $70 \times 10^{-7}$. Después halla cuántas veces es más ancho el glóbulo rojo que el átomo.

Normaliza el glóbulo rojo: $70 \times 10^{-7} = 7 \times 10^{1} \times 10^{-7}$ = $7 \times 10^{-6}$

Haz la lista de exponentes: Tierra $7$, átomo $-10$, distancia al Sol $11$, glóbulo $-6$ = $-10 < -6 < 7 < 11$

Ordena los números por sus exponentes: No hay dos exponentes iguales, así que no hacen falta los coeficientes = átomo, glóbulo, Tierra, distancia Tierra-Sol

Compara las potencias de diez del glóbulo y del átomo: $10^{-6} \div 10^{-10} = 10^{-6-(-10)} = 10^4$ = $10^4 = 10.000$

Incluye los coeficientes: $\frac{7}{1} \times 10^4 = 7 \times 10^4$ = $70.000$ veces

Answer: $1 \times 10^{-10} < 7 \times 10^{-6} < 1{,}27 \times 10^7 < 1{,}5 \times 10^{11}$. El glóbulo rojo es $70.000$ veces más ancho que el átomo de hidrógeno.

Mistake: Comparar primero los coeficientes: pensar que $9{,}8 \times 10^5 > 3{,}1 \times 10^6$ porque $9{,}8 > 3{,}1$

Why: La potencia de diez decide el tamaño. $10^6$ es diez veces $10^5$, y ningún coeficiente menor que $10$ puede compensarlo.

Correct: Compara primero los exponentes: $6 > 5$, así que $3{,}1 \times 10^6 > 9{,}8 \times 10^5$. Mira los coeficientes solo cuando los exponentes son iguales.

Mistake: Comparar sin normalizar: pensar que $45 \times 10^3 > 4{,}6 \times 10^4$ porque $45 > 4{,}6$

Why: $45 \times 10^3$ no está en notación científica, así que su exponente no dice su tamaño real.

Correct: Normaliza primero: $45 \times 10^3 = 4{,}5 \times 10^4$. Entonces $4{,}5 < 4{,}6$, así que $45 \times 10^3 < 4{,}6 \times 10^4$.

Mistake: Pensar que $10^{-5} > 10^{-3}$ porque $5 > 3$

Why: Los exponentes negativos se comparan como números negativos: $-5$ es menor que $-3$.

Correct: $10^{-5} = 0{,}00001$ y $10^{-3} = 0{,}001$, así que $10^{-3} > 10^{-5}$. Gana el exponente más cercano a cero.

Mistake: Pensar que $10^6$ es el doble de $10^3$, o $3$ más que $10^3$

Why: Los exponentes se diferencian en $3$, pero cada paso del exponente multiplica por $10$, no suma.

Correct: $\frac{10^6}{10^3} = 10^{6-3} = 10^3$, así que $10^6$ es $1000$ veces $10^3$.

Biología: bacterias y virus

Los microbiólogos comparan longitudes diminutas escritas con exponentes negativos para elegir el microscopio adecuado.

Un microscopio óptico muestra objetos de hasta unos $2 \times 10^{-7}$ m. Una bacteria de $2 \times 10^{-6}$ m es mayor ($-6 > -7$), así que se puede ver. La mayoría de los virus son más pequeños y para verlos hace falta un microscopio electrónico.

Informática: tamaños de almacenamiento

El almacenamiento se mide en bytes: un gigabyte son $10^9$ bytes y un terabyte $10^{12}$ bytes. Comparar exponentes te dice cuántos archivos caben.

Una foto de $3 \times 10^6$ bytes es mucho más pequeña que un vídeo de $3 \times 10^9$ bytes: mismo coeficiente, y los exponentes se diferencian en $3$, así que el vídeo es $1000$ veces mayor.

Física: longitudes de onda de los láseres

Las longitudes de onda de la luz son diminutas y a menudo se escriben de formas distintas, por ejemplo en nanómetros ($10^{-9}$ m). Para compararlas, primero normaliza.

La luz azul tiene una longitud de onda de unos $4{,}5 \times 10^{-7}$ m y la luz roja de unos $7 \times 10^{-7}$ m. Mismo exponente, así que $7 > 4{,}5$ muestra que la luz roja tiene la longitud de onda mayor.

Q: ¿Por qué el exponente importa más que el coeficiente?

A: Un coeficiente normalizado siempre es menor que $10$, mientras que un paso más en el exponente multiplica por $10$. Por eso $9{,}99 \times 10^5 = 999.000$ sigue siendo menor que $1 \times 10^6 = 1.000.000$.

Q: ¿Y si un número no está bien escrito en notación científica?

A: Normalízalo antes de comparar. Mueve la coma hasta que el coeficiente esté entre $1$ y $10$ y ajusta el exponente: $0{,}8 \times 10^5 = 8 \times 10^4$, $45 \times 10^3 = 4{,}5 \times 10^4$.

Q: ¿Un número con exponente negativo es siempre menor que uno con exponente positivo?

A: Sí, para números positivos. Un número normalizado con exponente negativo es menor que $1$ (por ejemplo $9{,}9 \times 10^{-1} = 0{,}99$), y uno con exponente $0$ o mayor vale al menos $1$.

Q: ¿Qué significa "dos órdenes de magnitud mayor"?

A: Significa unas $10^2 = 100$ veces mayor. El orden de magnitud es aproximadamente el exponente, así que una diferencia de $2$ entre los exponentes significa un factor de unos $100$.