Comparar números en notación científica

Aprende a comparar y ordenar números en notación científica: primero los exponentes, luego los coeficientes, y cuántas veces es mayor un número.

Intermedio20 minLección
Ficha imprimible

Definición

Para comparar números en notación científica a×10na \times 10^n (con 1≤a<101 \le a < 10), casi nunca necesitas escribir todos los ceros. Sigue tres pasos:
  1. 1.Normaliza los dos números, de modo que cada coeficiente esté entre 11 y 1010. Por ejemplo, 45×103=4,5×10445 \times 10^3 = 4{,}5 \times 10^4.
  2. 2.Compara los exponentes. El número con el exponente mayor es el número mayor: 3,1×106>9,8×1053{,}1 \times 10^6 > 9{,}8 \times 10^5, porque 6>56 > 5.
  3. 3.Si los exponentes son iguales, compara los coeficientes: 4,7×108>4,2×1084{,}7 \times 10^8 > 4{,}2 \times 10^8, porque 4,7>4,24{,}7 > 4{,}2.
El exponente decide primero porque cada paso hacia arriba en el exponente multiplica el número por 1010, y un coeficiente nunca puede compensarlo: incluso 9,99×1059{,}99 \times 10^5 es menor que 1×1061 \times 10^6.
Los exponentes negativos siguen la misma regla, simplemente los comparas como números negativos: −3>−5-3 > -5, así que 10−3>10−510^{-3} > 10^{-5} (0,001>0,000010{,}001 > 0{,}00001).
¿Cuántas veces mayor? Cuando los coeficientes son iguales, divide las potencias de diez restando los exponentes:
108105=108−5=103=1000\frac{10^8}{10^5} = 10^{8-5} = 10^3 = 1000
Cada diferencia de 11 en el exponente es un orden de magnitud (un factor 1010).

Pruébalo ahora

¿Qué número es mayor: 8,9×1068{,}9 \times 10^6 o 5,2×1075{,}2 \times 10^7?

Ejemplos resueltos

¿Cuál es mayor: 3,1×1063{,}1 \times 10^6 o 9,8×1059{,}8 \times 10^5?
1

Comprueba que los dos están normalizados

Los dos coeficientes, 3,13{,}1 y 9,89{,}8, están entre 11 y 1010 → Listos para comparar
2

Compara los exponentes

6>56 > 5 → 10610^6 es diez veces 10510^5
3

Decide (aquí los coeficientes no importan)

3,1×106=3.100.0003{,}1 \times 10^6 = 3.100.000 y 9,8×105=980.0009{,}8 \times 10^5 = 980.000 → 3,1×106>9,8×1053{,}1 \times 10^6 > 9{,}8 \times 10^5

Errores comunes

Comparar primero los coeficientes: pensar que 9,8×105>3,1×1069{,}8 \times 10^5 > 3{,}1 \times 10^6 porque 9,8>3,19{,}8 > 3{,}1

Por qué está mal: La potencia de diez decide el tamaño. 10610^6 es diez veces 10510^5, y ningún coeficiente menor que 1010 puede compensarlo.

Correcto: Compara primero los exponentes: 6>56 > 5, así que 3,1×106>9,8×1053{,}1 \times 10^6 > 9{,}8 \times 10^5. Mira los coeficientes solo cuando los exponentes son iguales.

Comparar sin normalizar: pensar que 45×103>4,6×10445 \times 10^3 > 4{,}6 \times 10^4 porque 45>4,645 > 4{,}6

Por qué está mal: 45×10345 \times 10^3 no está en notación científica, así que su exponente no dice su tamaño real.

Correcto: Normaliza primero: 45×103=4,5×10445 \times 10^3 = 4{,}5 \times 10^4. Entonces 4,5<4,64{,}5 < 4{,}6, así que 45×103<4,6×10445 \times 10^3 < 4{,}6 \times 10^4.

Pensar que 10−5>10−310^{-5} > 10^{-3} porque 5>35 > 3

Por qué está mal: Los exponentes negativos se comparan como números negativos: −5-5 es menor que −3-3.

Correcto: 10−5=0,0000110^{-5} = 0{,}00001 y 10−3=0,00110^{-3} = 0{,}001, así que 10−3>10−510^{-3} > 10^{-5}. Gana el exponente más cercano a cero.

Pensar que 10610^6 es el doble de 10310^3, o 33 más que 10310^3

Por qué está mal: Los exponentes se diferencian en 33, pero cada paso del exponente multiplica por 1010, no suma.

Correcto: 106103=106−3=103\frac{10^6}{10^3} = 10^{6-3} = 10^3, así que 10610^6 es 10001000 veces 10310^3.

Visual interactivo

¿Cuál es mayor? Primero normaliza, luego compara exponentes y después coeficientes

Comparar
45×10345 \times 10^{3}?4,6×1044{,}6 \times 10^{4}

¿Qué signo va en la casilla?

10⁴10⁵10⁶AB
Potencias de 10: cada paso a la derecha es 10 veces mayor.

Tamaños en el universo: toca del más pequeño al más grande (metros)

Comparar

Toca los números de menor a mayor.

Algunos aún no están en notación científica: normalízalos primero.

10⁻²10⁰10²10⁴10⁶10⁸10¹⁰10¹²BDAC
Potencias de 10: cada paso a la derecha es 10 veces mayor.

Para hacerse una idea

10⁻⁵10⁻³10⁻¹10¹10³10⁵10⁷10⁹1234
Potencias de 10: cada paso a la derecha es 10 veces mayor.
1virus (m):1×10−71 \times 10^{-7}= 0,0000001
2cabello humano, grosor (m):8×10−58 \times 10^{-5}= 0,00008
3monte Everest, altura (m):8,85×1038{,}85 \times 10^{3}= 8850
4Tierra a la Luna (m):3,84×1083{,}84 \times 10^{8}= 384000000

Sandbox interactivo

Calculadora de expresiones

Prueba estos:

Historial

Aún no hay cálculos

Problemas de práctica

18 problemas
Problema 1 de 18
Fácil
¿Qué número es mayor: 8,9×1068{,}9 \times 10^6 o 5,2×1075{,}2 \times 10^7?

Por qué es importante

La ciencia está llena de números demasiado grandes o demasiado pequeños para compararlos a simple vista:
  • Espacio: la Tierra mide unos 1,27×1071{,}27 \times 10^7 m de ancho, mientras que la distancia de la Tierra al Sol es de unos 1,5×10111{,}5 \times 10^{11} m. Los exponentes te dicen enseguida que la distancia es unas 10410^4 (diez mil) veces mayor.
  • Biología: un glóbulo rojo (7×10−67 \times 10^{-6} m) es mucho más grande que un átomo de hidrógeno (1×10−101 \times 10^{-10} m), porque −6>−10-6 > -10.
  • Informática: un terabyte (101210^{12} bytes) guarda 10001000 veces más que un gigabyte (10910^9 bytes).
  • Medicina: dosis y concentraciones como 5×10−45 \times 10^{-4} g u 8×10−68 \times 10^{-6} g nunca deben confundirse.
Comparar primero los exponentes es rápido y seguro. Contar los ceros de 0,00000700{,}0000070 y 0,000000010{,}00000001 es lento y es fácil equivocarse.

Aplicaciones del mundo real

Biología: bacterias y virus

Los microbiólogos comparan longitudes diminutas escritas con exponentes negativos para elegir el microscopio adecuado.

Ejemplo:

Un microscopio óptico muestra objetos de hasta unos 2×10−72 \times 10^{-7} m. Una bacteria de 2×10−62 \times 10^{-6} m es mayor (−6>−7-6 > -7), así que se puede ver. La mayoría de los virus son más pequeños y para verlos hace falta un microscopio electrónico.

1Inténtalo tú mismo

Una bacteria mide 2×10−62 \times 10^{-6} m de largo. Un virus mide 1×10−71 \times 10^{-7} m de diámetro.

¿Cuántas veces más larga es la bacteria que el virus?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Compara las potencias de diez y después incluye los coeficientes:

Informática: tamaños de almacenamiento

El almacenamiento se mide en bytes: un gigabyte son $10^9$ bytes y un terabyte $10^{12}$ bytes. Comparar exponentes te dice cuántos archivos caben.

Ejemplo:

Una foto de 3×1063 \times 10^6 bytes es mucho más pequeña que un vídeo de 3×1093 \times 10^9 bytes: mismo coeficiente, y los exponentes se diferencian en 33, así que el vídeo es 10001000 veces mayor.

2Inténtalo tú mismo

Un disco duro guarda 2×10122 \times 10^{12} bytes. Un archivo de película ocupa 2×1092 \times 10^9 bytes.

¿Cuántas películas caben en el disco?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Los coeficientes son iguales, así que compara solo las potencias de diez:

Física: longitudes de onda de los láseres

Las longitudes de onda de la luz son diminutas y a menudo se escriben de formas distintas, por ejemplo en nanómetros ($10^{-9}$ m). Para compararlas, primero normaliza.

Ejemplo:

La luz azul tiene una longitud de onda de unos 4,5×10−74{,}5 \times 10^{-7} m y la luz roja de unos 7×10−77 \times 10^{-7} m. Mismo exponente, así que 7>4,57 > 4{,}5 muestra que la luz roja tiene la longitud de onda mayor.

3Inténtalo tú mismo

Una hoja de laboratorio indica un láser rojo de 650×10−9650 \times 10^{-9} m y un láser verde de 5,3×10−75{,}3 \times 10^{-7} m.

¿Qué láser tiene la longitud de onda mayor?

Paso 1: Elige la respuesta correcta

Normaliza 650×10−9650 \times 10^{-9} y después compara:

Puntos clave

  • 1Primero normaliza: cada coeficiente debe cumplir 1≤a<101 \le a < 10 (por ejemplo 45×103=4,5×10445 \times 10^3 = 4{,}5 \times 10^4)
  • 2Compara primero los exponentes: el exponente mayor da el número mayor
  • 3Solo cuando los exponentes son iguales, compara los coeficientes
  • 4Los exponentes negativos se comparan como números negativos: 10−3>10−510^{-3} > 10^{-5} porque −3>−5-3 > -5
  • 5Para ordenar una lista, ordena por exponente y, con el mismo exponente, por coeficiente
  • 6Con coeficientes iguales, 10m10^m es 10m−n10^{m-n} veces 10n10^n: cada paso del exponente es un orden de magnitud

Preguntas frecuentes

Un coeficiente normalizado siempre es menor que 1010, mientras que un paso más en el exponente multiplica por 1010. Por eso 9,99×105=999.0009{,}99 \times 10^5 = 999.000 sigue siendo menor que 1×106=1.000.0001 \times 10^6 = 1.000.000.
Un coeficiente normalizado siempre es menor que 1010, mientras que un paso más en el exponente multiplica por 1010. Por eso 9,99×105=999.0009{,}99 \times 10^5 = 999.000 sigue siendo menor que 1×106=1.000.0001 \times 10^6 = 1.000.000.
Normalízalo antes de comparar. Mueve la coma hasta que el coeficiente esté entre 11 y 1010 y ajusta el exponente: 0,8×105=8×1040{,}8 \times 10^5 = 8 \times 10^4, 45×103=4,5×10445 \times 10^3 = 4{,}5 \times 10^4.
Sí, para números positivos. Un número normalizado con exponente negativo es menor que 11 (por ejemplo 9,9×10−1=0,999{,}9 \times 10^{-1} = 0{,}99), y uno con exponente 00 o mayor vale al menos 11.
Significa unas 102=10010^2 = 100 veces mayor. El orden de magnitud es aproximadamente el exponente, así que una diferencia de 22 entre los exponentes significa un factor de unos 100100.

Glosario

Notación científica
Un número escrito como a×10na \times 10^n con 1≤a<101 \le a < 10 y nn un número entero
Coeficiente
El número aa delante de la potencia de diez, por ejemplo 4,64{,}6 en 4,6×1044{,}6 \times 10^4
Exponente
La potencia nn en 10n10^n; es lo primero que se compara
Normalizar
Reescribir un número para que su coeficiente esté entre 11 y 1010: 45×103=4,5×10445 \times 10^3 = 4{,}5 \times 10^4
Orden de magnitud
Un factor 1010; los números cuyos exponentes se diferencian en 33 se diferencian en unos tres órdenes de magnitud (10310^3)

Tarjeta de fórmulas

Orden para comparar

normalizar→exponentes→coeficientes\text{normalizar} \rightarrow \text{exponentes} \rightarrow \text{coeficientes}

Asegúrate de que $1 \le a < 10$, compara los exponentes y compara los coeficientes solo si los exponentes son iguales.

Cuántas veces mayor

10m10n=10m−n\frac{10^m}{10^n} = 10^{m-n}

Con coeficientes iguales, el número mayor es $10^{m-n}$ veces el menor.

Reto de hoyUn problema, tres intentos

Más sobre este tema

Notación científica

Intermedio25 min

Escribir números en notación científica

Intermedio25 min

Pasar de notación científica a notación decimal

Intermedio25 min

Multiplicar en notación científica

Avanzado25 min