Un producto que ya está normalizado

Calcula $(2 \times 10^3) \times (4 \times 10^5)$.

Agrupa los coeficientes y las potencias de diez: $(2 \times 4) \times (10^3 \times 10^5)$ = Dos productos separados

Multiplica los coeficientes: $2 \times 4 = 8$ = $8$

Suma los exponentes: $10^3 \times 10^5 = 10^{3+5} = 10^8$ = $10^8$

Comprueba el coeficiente: $1 \le 8 < 10$, no hay nada que corregir = $8 \times 10^8$

Answer: $(2 \times 10^3)(4 \times 10^5) = 8 \times 10^8$

Un producto que hay que normalizar

Calcula $(4 \times 10^3) \times (3 \times 10^5)$.

Multiplica los coeficientes: $4 \times 3 = 12$ = $12$

Suma los exponentes: $3 + 5 = 8$ = $12 \times 10^8$

¿Está el coeficiente entre 1 y 10?: $12 \ge 10$, así que todavía no es notación científica = Normalizar

Escribe $12$ como $1{,}2 \times 10^1$: $12 \times 10^8 = 1{,}2 \times 10^1 \times 10^8$ = $1{,}2 \times 10^9$

Answer: $(4 \times 10^3)(3 \times 10^5) = 1{,}2 \times 10^9$

Dos exponentes negativos

Calcula $(2 \times 10^{-5}) \times (7 \times 10^{-3})$.

Multiplica los coeficientes: $2 \times 7 = 14$ = $14$

Suma los exponentes (con su signo): $-5 + (-3) = -8$ = $14 \times 10^{-8}$

Normaliza el coeficiente: $14 = 1{,}4 \times 10^1$ = Suma $1$ al exponente

Junta las partes: $-8 + 1 = -7$ = $1{,}4 \times 10^{-7}$

Answer: $(2 \times 10^{-5})(7 \times 10^{-3}) = 1{,}4 \times 10^{-7}$

Un exponente negativo y uno positivo

Calcula $(2{,}5 \times 10^{-4}) \times (6 \times 10^7)$.

Multiplica los coeficientes: $2{,}5 \times 6 = 15$ = $15$

Suma los exponentes: $-4 + 7 = 3$ = $15 \times 10^3$

Normaliza: $15 = 1{,}5 \times 10^1$, así que el exponente pasa a ser $3 + 1 = 4$ = $1{,}5 \times 10^4$

Comprueba con números en notación decimal: $0{,}00025 \times 60.000.000 = 15.000$ = $1{,}5 \times 10^4 = 15.000$

Answer: $(2{,}5 \times 10^{-4})(6 \times 10^7) = 1{,}5 \times 10^4$

Elevar a una potencia

Calcula $(5 \times 10^3)^3$.

Eleva cada factor a la potencia: $(5 \times 10^3)^3 = 5^3 \times (10^3)^3$ = Potencia de un producto

Eleva el coeficiente al cubo: $5^3 = 5 \times 5 \times 5 = 125$ = $125$

Multiplica los exponentes (potencia de una potencia): $(10^3)^3 = 10^{3 \times 3} = 10^9$ = $125 \times 10^9$

Normaliza: $125 = 1{,}25 \times 10^2$, así que el exponente pasa a ser $9 + 2 = 11$ = $1{,}25 \times 10^{11}$

Answer: $(5 \times 10^3)^3 = 1{,}25 \times 10^{11}$. Con una potencia el coeficiente puede llegar a $100$ o más, y entonces quizá tengas que mover la coma dos posiciones.

Mistake: Multiplicar los exponentes: $10^3 \times 10^5 = 10^{15}$

Why: Cuando multiplicas potencias de la misma base, cuentas los factores $10$: tres dieces y cinco dieces son ocho dieces, no quince.

Correct: Suma los exponentes: $10^3 \times 10^5 = 10^{3+5} = 10^8$. Los exponentes solo se multiplican en una potencia de una potencia, como $(10^3)^2 = 10^6$.

Mistake: Quedarse en $12 \times 10^8$

Why: El valor es correcto, pero $12$ no está entre $1$ y $10$, así que el resultado todavía no está en notación científica.

Correct: Normaliza: $12 \times 10^8 = 1{,}2 \times 10^9$.

Mistake: Normalizar en la dirección equivocada: $12 \times 10^8 = 1{,}2 \times 10^7$

Why: Si el coeficiente se hace $10$ veces más pequeño, la potencia de diez tiene que hacerse $10$ veces más grande; si no, el valor cambia.

Correct: Coeficiente más pequeño, exponente más grande: $12 \times 10^8 = 1{,}2 \times 10^9$.

Mistake: Perder el signo menos: $10^{-4} \times 10^7 = 10^{-11}$ o $10^{11}$

Why: Los exponentes son números enteros con signo, y al sumarlos se siguen las reglas de los números enteros.

Correct: $-4 + 7 = 3$, así que $10^{-4} \times 10^7 = 10^3$. Cuando los signos se mezclan, escribe la suma con paréntesis: $(-4) + 7$.

Astronomía: ¿cuánto mide un año luz?

Un año luz es la distancia que recorre la luz en un año. Los astrónomos la calculan multiplicando la velocidad de la luz por el tiempo, las dos escritas en notación científica.

En $500 = 5 \times 10^2$ segundos la luz recorre $(3 \times 10^5)(5 \times 10^2) = 15 \times 10^7 = 1{,}5 \times 10^8$ km, más o menos la distancia del Sol a la Tierra.

Biología: contar bacterias

Los microbiólogos cuentan las bacterias de una muestra pequeña y multiplican por el volumen para estimar el total. Los números crecen tan deprisa que en la práctica solo se pueden escribir en notación científica.

Una gota de $5 \times 10^{-2}$ mL de un cultivo con $2 \times 10^6$ bacterias por mL contiene $(2 \times 10^6)(5 \times 10^{-2}) = 10 \times 10^4 = 1 \times 10^5$ bacterias.

Informática: llenar una tarjeta de memoria

El tamaño de los archivos y el almacenamiento se miden en bytes, y los números llegan enseguida a miles de millones. Los ingenieros multiplican el tamaño de un archivo por el número de archivos para planificar la memoria de un dispositivo.

$2 \times 10^3$ canciones de $4 \times 10^6$ bytes cada una ocupan $8 \times 10^9$ bytes, es decir, 8 gigabytes.

Q: ¿Por qué se suman los exponentes en lugar de multiplicarlos?

A: Un exponente cuenta cuántos dieces se multiplican. $10^3 \times 10^5$ son tres dieces por cinco dieces, es decir, $3 + 5 = 8$ dieces seguidos: $10^8$.

Q: ¿No puedo escribir los números completos y multiplicarlos?

A: Sí, el valor es el mismo. Pero con $3 \times 10^5 \times 3{,}15 \times 10^7$ tendrías que multiplicar $300.000$ por $31.500.000$ y contar muchos ceros. En notación científica solo calculas $3 \times 3{,}15$ y $5 + 7$.

Q: ¿Puede el producto de los coeficientes ser 100 o más?

A: No cuando multiplicas dos números en notación científica: los dos coeficientes son menores que $10$, así que el producto es menor que $10 \times 10 = 100$. Mueves la coma como mucho una posición. Con potencias o con tres factores o más puede ser mayor, así que comprueba siempre.

Q: Mi calculadora muestra 1.2E9. ¿Qué significa?

A: Las calculadoras escriben la notación científica con una E: $1{,}2\text{E}9$ significa $1{,}2 \times 10^9$. El número después de la E es el exponente.