Multiplicar en notación científica

Aprende a multiplicar números en notación científica: multiplica los coeficientes, suma los exponentes y normaliza el resultado.

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Definición

Para multiplicar dos números en notación científica, trabajas por separado con las dos partes: los coeficientes y las potencias de diez.
(a×10m)×(b×10n)=(a×b)×10m+n(a \times 10^m) \times (b \times 10^n) = (a \times b) \times 10^{m+n}
La regla tiene tres pasos:
  1. 1.Multiplicar los coeficientes: a×ba \times b
  2. 2.Sumar los exponentes (producto de potencias 10m×10n=10m+n10^m \times 10^n = 10^{m+n})
  3. 3.Normalizar: si a×ba \times b es 1010 o más, mueve la coma decimal una posición a la izquierda y suma 11 al exponente
Ejemplo: (4×103)(3×105)=12×108=1,2×109(4 \times 10^3)(3 \times 10^5) = 12 \times 10^8 = 1{,}2 \times 10^9
Como los dos coeficientes están entre 11 y 1010, su producto siempre está entre 11 y 100100. Así que nunca tienes que mover la coma más de una posición.

Pruébalo ahora

¿Cuál es el producto (2×103)(3×104)(2 \times 10^3)(3 \times 10^4)?

Ejemplos resueltos

Calcula (2×103)×(4×105)(2 \times 10^3) \times (4 \times 10^5).
1

Agrupa los coeficientes y las potencias de diez

(2×4)×(103×105)(2 \times 4) \times (10^3 \times 10^5) → Dos productos separados
2

Multiplica los coeficientes

2×4=82 \times 4 = 8
3

Suma los exponentes

103×105=103+5=10810^3 \times 10^5 = 10^{3+5} = 10^8
4

Comprueba el coeficiente

1≤8<101 \le 8 < 10, no hay nada que corregir → 8×1088 \times 10^8

Errores comunes

Multiplicar los exponentes: 103×105=101510^3 \times 10^5 = 10^{15}

Por qué está mal: Cuando multiplicas potencias de la misma base, cuentas los factores 1010: tres dieces y cinco dieces son ocho dieces, no quince.

Correcto: Suma los exponentes: 103×105=103+5=10810^3 \times 10^5 = 10^{3+5} = 10^8. Los exponentes solo se multiplican en una potencia de una potencia, como (103)2=106(10^3)^2 = 10^6.

Quedarse en 12×10812 \times 10^8

Por qué está mal: El valor es correcto, pero 1212 no está entre 11 y 1010, así que el resultado todavía no está en notación científica.

Correcto: Normaliza: 12×108=1,2×10912 \times 10^8 = 1{,}2 \times 10^9.

Normalizar en la dirección equivocada: 12×108=1,2×10712 \times 10^8 = 1{,}2 \times 10^7

Por qué está mal: Si el coeficiente se hace 1010 veces más pequeño, la potencia de diez tiene que hacerse 1010 veces más grande; si no, el valor cambia.

Correcto: Coeficiente más pequeño, exponente más grande: 12×108=1,2×10912 \times 10^8 = 1{,}2 \times 10^9.

Perder el signo menos: 10−4×107=10−1110^{-4} \times 10^7 = 10^{-11} o 101110^{11}

Por qué está mal: Los exponentes son números enteros con signo, y al sumarlos se siguen las reglas de los números enteros.

Correcto: −4+7=3-4 + 7 = 3, así que 10−4×107=10310^{-4} \times 10^7 = 10^3. Cuando los signos se mezclan, escribe la suma con paréntesis: (−4)+7(-4) + 7.

Visual interactivo

Multiplica paso a paso: 12 × 10^8 todavía hay que normalizarlo

Multiplicar
(4×103)×(3×105)(4 \times 10^{3}) \times (3 \times 10^{5})

  1. 1Agrupa los coeficientes y las potencias de 10.

    (4×3)×(103×105)(4 \times 3) \times (10^{3} \times 10^{5})

Multiplica los coeficientes. ¿Qué obtienes?

Potencias como factores repetidos

Producto de potencias

Misma base, se multiplica: se suman los exponentes.

103⋅10510^{3} \cdot 10^{5}

Escribir cada potencia como factores repetidos

1010·1010·1010
10310^{3}3 factores
·
1010·1010·1010·1010·1010
10510^{5}5 factores

3 + 5 = 8 factores en total

Resultado

103⋅105\displaystyle 10^{3} \cdot 10^{5}==103+5\displaystyle 10^{3 + 5}==108\displaystyle 10^{8}

Valor: 108=10000000010^{8} = 100000000

Te toca: cambia los números con los deslizadores o prueba números nuevos

Multiplicar
(2,5×10−4)×(6×107)(2{,}5 \times 10^{-4}) \times (6 \times 10^{7})

  1. 1Agrupa los coeficientes y las potencias de 10.

    (2,5×6)×(10−4×107)(2{,}5 \times 6) \times (10^{-4} \times 10^{7})

Multiplica los coeficientes. ¿Qué obtienes?

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Problemas de práctica

18 problemas
Problema 1 de 18
Fácil
¿Cuál es el producto (2×103)(3×104)(2 \times 10^3)(3 \times 10^4)?

Por qué es importante

La ciencia está llena de multiplicaciones con números enormes o diminutos, y la notación científica las convierte en cálculo mental rápido:
  • Astronomía: la luz recorre 3×1053 \times 10^5 km cada segundo. Si lo multiplicas por los segundos de un año obtienes la longitud de un año luz
  • Biología: una muestra tiene 4×1064 \times 10^6 bacterias en cada mililitro. ¿Cuántas hay en un matraz entero?
  • Informática: 4×1044 \times 10^4 fotos de 3×1063 \times 10^6 bytes cada una ocupan 1,2×10111{,}2 \times 10^{11} bytes de memoria
  • Química: el número de moléculas por la masa de una molécula da la masa de una muestra
Si escribes estos números completos tienes que contar decenas de ceros, y un solo cero olvidado hace el resultado diez veces más pequeño. En notación científica multiplicas dos números pequeños y sumas dos exponentes.

Aplicaciones del mundo real

Astronomía: ¿cuánto mide un año luz?

Un año luz es la distancia que recorre la luz en un año. Los astrónomos la calculan multiplicando la velocidad de la luz por el tiempo, las dos escritas en notación científica.

Ejemplo:

En 500=5×102500 = 5 \times 10^2 segundos la luz recorre (3×105)(5×102)=15×107=1,5×108(3 \times 10^5)(5 \times 10^2) = 15 \times 10^7 = 1{,}5 \times 10^8 km, más o menos la distancia del Sol a la Tierra.

1Inténtalo tú mismo

La luz recorre 3×1053 \times 10^5 km por segundo. Un año tiene unos 3,15×1073{,}15 \times 10^7 segundos.

¿Cuántos kilómetros recorre la luz en un año? (distancia = velocidad × tiempo)

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Multiplica la velocidad por el tiempo:

Biología: contar bacterias

Los microbiólogos cuentan las bacterias de una muestra pequeña y multiplican por el volumen para estimar el total. Los números crecen tan deprisa que en la práctica solo se pueden escribir en notación científica.

Ejemplo:

Una gota de 5×10−25 \times 10^{-2} mL de un cultivo con 2×1062 \times 10^6 bacterias por mL contiene (2×106)(5×10−2)=10×104=1×105(2 \times 10^6)(5 \times 10^{-2}) = 10 \times 10^4 = 1 \times 10^5 bacterias.

2Inténtalo tú mismo

Un cultivo contiene 4×1064 \times 10^6 bacterias en cada mililitro. El matraz tiene 5×1025 \times 10^2 mL.

¿Cuántas bacterias hay en todo el matraz?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Multiplica las bacterias por mL por el número de mL:

Informática: llenar una tarjeta de memoria

El tamaño de los archivos y el almacenamiento se miden en bytes, y los números llegan enseguida a miles de millones. Los ingenieros multiplican el tamaño de un archivo por el número de archivos para planificar la memoria de un dispositivo.

Ejemplo:

2×1032 \times 10^3 canciones de 4×1064 \times 10^6 bytes cada una ocupan 8×1098 \times 10^9 bytes, es decir, 8 gigabytes.

3Inténtalo tú mismo

Una foto ocupa unos 3×1063 \times 10^6 bytes. Un móvil guarda 4×1044 \times 10^4 fotos.

¿Cuántos bytes ocupan las fotos en total?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Multiplica el tamaño de una foto por el número de fotos:

Puntos clave

  • 1Para multiplicar en notación científica, multiplica por separado los coeficientes y las potencias de diez
  • 2Las potencias de diez se multiplican sumando los exponentes: 10m×10n=10m+n10^m \times 10^n = 10^{m+n}
  • 3Si el nuevo coeficiente es 1010 o más, normaliza: coma una posición a la izquierda y exponente más 11
  • 4Con exponentes negativos, suma con cuidado los números con signo: 10−4×107=10310^{-4} \times 10^7 = 10^3
  • 5Una potencia actúa sobre las dos partes: (a×10m)k=ak×10m×k(a \times 10^m)^k = a^k \times 10^{m \times k}
  • 6Comprueba tu resultado: el coeficiente debe cumplir 1≤a<101 \le a < 10

Preguntas frecuentes

Un exponente cuenta cuántos dieces se multiplican. 103×10510^3 \times 10^5 son tres dieces por cinco dieces, es decir, 3+5=83 + 5 = 8 dieces seguidos: 10810^8.
Un exponente cuenta cuántos dieces se multiplican. 103×10510^3 \times 10^5 son tres dieces por cinco dieces, es decir, 3+5=83 + 5 = 8 dieces seguidos: 10810^8.
Sí, el valor es el mismo. Pero con 3×105×3,15×1073 \times 10^5 \times 3{,}15 \times 10^7 tendrías que multiplicar 300.000300.000 por 31.500.00031.500.000 y contar muchos ceros. En notación científica solo calculas 3×3,153 \times 3{,}15 y 5+75 + 7.
No cuando multiplicas dos números en notación científica: los dos coeficientes son menores que 1010, así que el producto es menor que 10×10=10010 \times 10 = 100. Mueves la coma como mucho una posición. Con potencias o con tres factores o más puede ser mayor, así que comprueba siempre.
Las calculadoras escriben la notación científica con una E: 1,2E91{,}2\text{E}9 significa 1,2×1091{,}2 \times 10^9. El número después de la E es el exponente.

Glosario

Notación científica
Un número escrito como a×10na \times 10^n con 1≤a<101 \le a < 10 y nn un número entero
Coeficiente
El número aa delante de la potencia de diez, entre 11 y 1010
Exponente
El número entero nn en 10n10^n; indica cuántas posiciones se mueve la coma decimal
Producto de potencias
am×an=am+na^m \times a^n = a^{m+n}: al multiplicar potencias de la misma base se suman los exponentes
Normalizar
Reescribir un resultado como 12×10812 \times 10^8 para que el coeficiente quede entre 11 y 1010: 1,2×1091{,}2 \times 10^9

Tarjeta de fórmulas

Multiplicar en notación científica

(a×10m)(b×10n)=(a×b)×10m+n(a \times 10^m)(b \times 10^n) = (a \times b) \times 10^{m+n}

Multiplica los coeficientes, suma los exponentes.

Normalizar

12×108=1,2×10912 \times 10^8 = 1{,}2 \times 10^9

Coeficiente dividido entre $10$, exponente más $1$. El valor no cambia.

Potencia de un número en notación científica

(a×10m)k=ak×10m×k(a \times 10^m)^k = a^k \times 10^{m \times k}

Eleva el coeficiente a la potencia, multiplica el exponente por $k$ y después normaliza.

Reto de hoyUn problema, tres intentos

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