Hallar el porcentaje

¿Qué porcentaje de 40 es 12?

Identifica la parte y el total: El total va después de "de": 40. La parte va con "es": 12. Falta el porcentaje. = parte = 12, total = 40

Escribe la proporción: $\frac{12}{40} = \frac{p}{100}$ = $\frac{12}{40} = \frac{p}{100}$

Multiplica en cruz: $40 \times p = 12 \times 100$ = $40p = 1200$

Divide entre 40: $p = 1200 \div 40$ = $p = 30$

Answer: 12 es el $30\,\%$ de 40.

Hallar el total

¿15 es el 30 % de qué número?

Identifica lo que sabes: La parte es 15 (junto a "es"), el porcentaje es 30. Falta el total (después de "de"). = parte = 15, $p = 30$

Escribe la proporción: $\frac{15}{x} = \frac{30}{100}$ = $\frac{15}{x} = \frac{30}{100}$

Multiplica en cruz: $30 \times x = 15 \times 100$ = $30x = 1500$

Divide entre 30: $x = 1500 \div 30$ = $x = 50$

Answer: 15 es el $30\,\%$ de 50. Comprobación: el $30\,\%$ de 50 es $0{,}3 \times 50 = 15$.

Hallar la parte

Usa la proporción para calcular el 35 % de 60.

Identifica lo que sabes: El total es 60, el porcentaje es 35. Falta la parte. = total = 60, $p = 35$

Escribe la proporción: $\frac{x}{60} = \frac{35}{100}$ = $\frac{x}{60} = \frac{35}{100}$

Multiplica en cruz: $100 \times x = 35 \times 60$ = $100x = 2100$

Divide entre 100: $x = 2100 \div 100$ = $x = 21$

Answer: El $35\,\%$ de 60 es 21. El mismo planteamiento sirve para cualquier incógnita.

La nota de un examen en porcentaje

María contestó bien 34 de las 40 preguntas de un examen. ¿Qué porcentaje acertó?

Identifica la parte y el total: Todas las preguntas son el total: 40. Las respuestas correctas son la parte: 34. = parte = 34, total = 40

Escribe la proporción: $\frac{34}{40} = \frac{p}{100}$ = $\frac{34}{40} = \frac{p}{100}$

Multiplica en cruz: $40p = 34 \times 100$ = $40p = 3400$

Divide entre 40: $p = 3400 \div 40$ = $p = 85$

Answer: María acertó el $85\,\%$ de las preguntas.

Encuesta: ¿cuántos respondieron?

En una encuesta del instituto, 45 alumnos eligieron el baloncesto como deporte favorito. Eso es el 18 % de todos los alumnos que respondieron. ¿Cuántos alumnos respondieron a la encuesta?

Identifica lo que sabes: 45 alumnos son una parte de todos. El porcentaje es 18. Falta el total (todos los alumnos). = parte = 45, $p = 18$

Escribe la proporción: $\frac{45}{x} = \frac{18}{100}$ = $\frac{45}{x} = \frac{18}{100}$

Multiplica en cruz: $18x = 45 \times 100$ = $18x = 4500$

Divide entre 18 y comprueba: $x = 4500 \div 18 = 250$; comprobación: $0{,}18 \times 250 = 45$ = $x = 250$

Answer: Respondieron a la encuesta 250 alumnos.

Mistake: Poner el total arriba: escribir $\frac{40}{12} = \frac{p}{100}$ para "¿Qué porcentaje de 40 es 12?"

Why: La fracción de la izquierda debe ser parte entre total. Si la inviertes, sale $p \approx 333$, que aquí es imposible porque 12 es menor que 40.

Correct: La parte arriba y el total abajo: $\frac{12}{40} = \frac{p}{100}$, así que $p = 30$.

Mistake: Escribir el porcentaje en el lugar de la parte: $\frac{30}{x} = \frac{15}{100}$ para "¿15 es el 30 % de qué número?"

Why: El número con el signo % siempre va encima del 100. El otro número conocido es la parte o el total.

Correct: $\frac{15}{x} = \frac{30}{100}$, así que $30x = 1500$ y $x = 50$.

Mistake: Multiplicar en línea recta en vez de en cruz: $12 \times p = 40 \times 100$

Why: En la multiplicación en cruz, cada numerador se multiplica por el denominador de la OTRA fracción.

Correct: Multiplica en diagonal: $12 \times 100 = 40 \times p$.

Mistake: Responder 0,3 cuando te piden el porcentaje

Why: En la proporción, $p$ ya es el número de por ciento (de cada 100), no un decimal.

Correct: Si $p = 30$, la respuesta es $30\,\%$. Escribe el signo %.

Notas de exámenes

Los profesores pasan los puntos a porcentaje para poder comparar exámenes con distinto número de preguntas.

18 puntos de 24: $\frac{18}{24} = \frac{p}{100}$, así que $p = 75$, una nota del $75\,\%$.

Encuestas y sondeos

Las encuestas dan sus resultados en porcentajes. Si conoces el porcentaje y cuántas personas dieron una respuesta, puedes hallar cuántas personas fueron encuestadas.

Si 30 personas son el $25\,\%$ de un grupo, entonces $\frac{30}{x} = \frac{25}{100}$ y el grupo tiene 120 personas.

Compras y descuentos

El tique de compra suele decir cuánto has ahorrado, pero no el precio original. La proporción te permite hallar ese precio.

Ahorrar 6 dólares con un $20\,\%$ de descuento significa $\frac{6}{x} = \frac{20}{100}$, así que el precio original era de 30 dólares.

Q: ¿Cómo sé qué número es la parte y cuál es el total?

A: Pregúntate: ¿qué número es la cantidad completa? Ese es el total (a menudo después de "de"). La parte es un trozo de él (a menudo junto a "es"). Si el porcentaje es menor que 100, la parte es menor que el total.

Q: ¿Puede la parte ser mayor que el total?

A: Sí, cuando el porcentaje es mayor que 100. Por ejemplo, 60 es el $150\,\%$ de 40: $\frac{60}{40} = \frac{p}{100}$ da $p = 150$.

Q: ¿Por qué funciona la multiplicación en cruz?

A: Dos fracciones iguales siguen siendo iguales si multiplicas los dos lados por los dos denominadores. Para $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ se obtiene $a \times d = b \times c$.

Q: ¿Qué diferencia hay entre la proporción y la ecuación del porcentaje?

A: Son dos formas de escribir la misma relación. La proporción compara dos fracciones; la ecuación del porcentaje (próxima lección) escribe parte = tasa × total, con el porcentaje en forma decimal. Las dos dan la misma respuesta.