¿Puede la parte ser mayor que el total?

Sí, cuando el porcentaje es mayor que 100. Por ejemplo, 60 es el $150\,\%$ de 40: $\frac{60}{40} = \frac{p}{100}$ da $p = 150$.

¿Por qué funciona la multiplicación en cruz?

Dos fracciones iguales siguen siendo iguales si multiplicas los dos lados por los dos denominadores. Para $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ se obtiene $a \times d = b \times c$.

¿Qué diferencia hay entre la proporción y la ecuación del porcentaje?

Son dos formas de escribir la misma relación. La proporción compara dos fracciones; la ecuación del porcentaje (próxima lección) escribe parte = tasa × total, con el porcentaje en forma decimal. Las dos dan la misma respuesta.

Recursos para profesores

Proporción del porcentaje

Usa la proporción parte/total = porcentaje/100 para hallar una parte, un total o un porcentaje que falta con la multiplicación en cruz.

Intermedio25 minLección

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Definición

La proporción del porcentaje dice que una parte comparada con su total es igual al porcentaje comparado con 100:

\frac{\text{parte}}{\text{total}} = \frac{p}{100}

El total es la cantidad completa (suele ser el número que va después de la palabra de).
La parte es un trozo de ese total (suele ser el número junto a la palabra es).
$p$ es el porcentaje, el número delante del signo %.

En cada problema de porcentajes conoces dos de estos tres números y falta uno. Coloca los números conocidos en la proporción, escribe una letra para el que falta, multiplica en cruz y luego divide.

Ejemplo: ¿Qué porcentaje de 40 es 12?

\frac{12}{40} = \frac{p}{100} \quad\Rightarrow\quad 40p = 12 \times 100 = 1200 \quad\Rightarrow\quad p = 30

Así que 12 es el

30\,\%

de 40.

Pruébalo ahora

¿Qué proporción corresponde a la pregunta "¿Qué porcentaje de 50 es 20?"?

Ejemplos resueltos

¿Qué porcentaje de 40 es 12?

Identifica la parte y el total

El total va después de "de": 40. La parte va con "es": 12. Falta el porcentaje. → parte = 12, total = 40

Escribe la proporción

$\frac{12}{40} = \frac{p}{100}$

Multiplica en cruz

$40 \times p = 12 \times 100$ → $40p = 1200$

Divide entre 40

$p = 1200 \div 40$ → $p = 30$

Respuesta: 12 es el $30\,\%$ de 40.

Errores comunes

Poner el total arriba: escribir $\frac{40}{12} = \frac{p}{100}$ para "¿Qué porcentaje de 40 es 12?"

Por qué está mal: La fracción de la izquierda debe ser parte entre total. Si la inviertes, sale $p \approx 333$ , que aquí es imposible porque 12 es menor que 40.

Correcto: La parte arriba y el total abajo: $\frac{12}{40} = \frac{p}{100}$ , así que $p = 30$ .

Escribir el porcentaje en el lugar de la parte: $\frac{30}{x} = \frac{15}{100}$ para "¿15 es el 30 % de qué número?"

Por qué está mal: El número con el signo % siempre va encima del 100. El otro número conocido es la parte o el total.

Correcto: $\frac{15}{x} = \frac{30}{100}$ , así que $30x = 1500$ y $x = 50$ .

Multiplicar en línea recta en vez de en cruz: $12 \times p = 40 \times 100$

Por qué está mal: En la multiplicación en cruz, cada numerador se multiplica por el denominador de la OTRA fracción.

Correcto: Multiplica en diagonal: $12 \times 100 = 40 \times p$ .

Responder 0,3 cuando te piden el porcentaje

Por qué está mal: En la proporción, $p$ ya es el número de por ciento (de cada 100), no un decimal.

Correcto: Si $p = 30$ , la respuesta es $30\,\%$ . Escribe el signo %.

Visual interactivo

12 es el 30 % de 40

Parte: 30 %

= 12

Resto: 70 %

= 28

Total: 100 % = 40

= 10 (40)

Parte: 30 % valor:12

Resto: 70 % valor:28

Resolvedor de ecuaciones

Resolver para $x$ :

\frac{12}{40} = \frac{x}{100}

\frac{12}{40} = \frac{x}{100}

Multiplicar en cruz:

a \cdot d = b \cdot c

El numerador de cada lado por el denominador del otro lado. Es lo mismo que multiplicar ambos lados por los dos denominadores.

Consejos:

• Lo que hagas de un lado, hazlo del otro
• Deshaz las operaciones en orden inverso
• Comprueba tu respuesta sustituyendo

Sigue mientras resolvemos la ecuación paso a paso.

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Problemas de práctica

18 problemas

Problema 1 de 18

Fácil

¿Qué proporción corresponde a la pregunta "¿Qué porcentaje de 50 es 20?"?

Por qué es importante

Ya sabes calcular el porcentaje de un número. En la vida real, muchas veces la pregunta es al revés:

Exámenes: Has sacado 34 de 40 puntos. ¿Qué porcentaje es?
Encuestas: 45 alumnos eligieron baloncesto, el 18 % de los encuestados. ¿Cuántos alumnos respondieron?
Compras: Te ahorraste 12 dólares, que eran un 15 % de descuento. ¿Cuál era el precio original?
Deporte: Una jugadora encesta 27 de 30 tiros libres. ¿Cuál es su porcentaje de acierto?

La proporción resuelve los tres tipos de preguntas con un solo planteamiento, así que no necesitas una regla distinta para cada caso. En la próxima lección verás el otro método, la ecuación del porcentaje (parte = tasa × total), que resuelve los mismos problemas en una línea.

Aplicaciones del mundo real

Notas de exámenes

Los profesores pasan los puntos a porcentaje para poder comparar exámenes con distinto número de preguntas.

Ejemplo:

18 puntos de 24: $\frac{18}{24} = \frac{p}{100}$ , así que $p = 75$ , una nota del $75\,\%$ .

1Inténtalo tú mismo

Liam contestó bien 27 de las 30 preguntas de un test.

¿Qué porcentaje acertó Liam?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Resuelve $\frac{27}{30} = \frac{p}{100}$ : calcula $27 \times 100 \div 30$

Encuestas y sondeos

Las encuestas dan sus resultados en porcentajes. Si conoces el porcentaje y cuántas personas dieron una respuesta, puedes hallar cuántas personas fueron encuestadas.

Ejemplo:

Si 30 personas son el $25\,\%$ de un grupo, entonces $\frac{30}{x} = \frac{25}{100}$ y el grupo tiene 120 personas.

2Inténtalo tú mismo

En una encuesta municipal, 120 personas dijeron que sí a un parque nuevo. Eran el 60 % de todas las personas encuestadas.

¿Cuántas personas fueron encuestadas?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Resuelve $\frac{120}{x} = \frac{60}{100}$ : calcula $120 \times 100 \div 60$

Compras y descuentos

El tique de compra suele decir cuánto has ahorrado, pero no el precio original. La proporción te permite hallar ese precio.

Ejemplo:

Ahorrar 6 dólares con un $20\,\%$ de descuento significa $\frac{6}{x} = \frac{20}{100}$ , así que el precio original era de 30 dólares.

3Inténtalo tú mismo

Una chaqueta tiene un 15 % de descuento y te ahorras 12 dólares.

¿Cuál era el precio original de la chaqueta en dólares?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Resuelve $\frac{12}{x} = \frac{15}{100}$ : calcula $12 \times 100 \div 15$

Puntos clave

1La proporción del porcentaje es $\frac{\text{parte}}{\text{total}} = \frac{p}{100}$
2El total suele ir después de "de", la parte suele ir con "es"
3El número con el signo % siempre va encima del 100
4Escribe una letra para el número que falta, multiplica en cruz y luego divide
5El mismo planteamiento halla la parte, el total o el porcentaje
6Comprueba tu respuesta: la parte debe ser ese porcentaje del total

Preguntas frecuentes

Pregúntate: ¿qué número es la cantidad completa? Ese es el total (a menudo después de "de"). La parte es un trozo de él (a menudo junto a "es"). Si el porcentaje es menor que 100, la parte es menor que el total.

Glosario

Proporción del porcentaje: La igualdad $\frac{\text{parte}}{\text{total}} = \frac{p}{100}$ que relaciona una parte, un total y un porcentaje.
Parte: La cantidad que es una porción del total, por ejemplo las respuestas correctas de un examen.
Total: La cantidad completa, que corresponde al $100\,\%$ .
Porcentaje: Un número de cada 100, escrito con el signo %.
Multiplicación en cruz: En $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ , multiplicar en diagonal para obtener $a \times d = b \times c$ .

Tarjeta de fórmulas

Proporción del porcentaje

\frac{\text{parte}}{\text{total}} = \frac{p}{100}

Parte entre total es igual a porcentaje entre 100.

Porcentaje que falta

p = \frac{\text{parte} \times 100}{\text{total}}

¿Qué porcentaje de 40 es 12? $p = 1200 \div 40 = 30$

Total que falta

\text{total} = \frac{\text{parte} \times 100}{p}

¿15 es el 30 % de qué número? $1500 \div 30 = 50$

Parte que falta

\text{parte} = \frac{p \times \text{total}}{100}

El 35 % de 60: $2100 \div 100 = 21$

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