Introducción a la semejanza

Aprende qué significa que dos figuras sean semejantes y cómo identificar figuras semejantes usando lados proporcionales y ángulos iguales.

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Definición

Dos figuras son semejantes si tienen la misma forma pero no necesariamente el mismo tamaño. Las figuras semejantes tienen:
  1. 1.Ángulos correspondientes iguales - Todos los ángulos correspondientes son exactamente iguales
  2. 2.Lados correspondientes proporcionales - Todos los lados correspondientes tienen la misma razón
Usamos el símbolo ∼\sim para mostrar semejanza. Si el triángulo ABCABC es semejante al triángulo DEFDEF, escribimos:
△ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF
El factor de escala (o razón de semejanza) es la razón entre los lados correspondientes de figuras semejantes. Si cada lado de la figura B es el doble de largo que el lado correspondiente de la figura A, el factor de escala es 22.

Pruébalo ahora

¿Son todos los cuadrados semejantes entre sí?

Ejemplos resueltos

El triángulo ABCABC tiene ángulos de 50°50°, 60°60° y 70°70°. El triángulo DEFDEF tiene ángulos de 50°50°, 60°60° y 70°70°. ¿Son semejantes?
1

Compara los ángulos correspondientes

Ángulo A = 50°50° = Ángulo D Ángulo B = 60°60° = Ángulo E Ángulo C = 70°70° = Ángulo F → Todos los ángulos coinciden
2

Aplica el criterio AA (Ángulo-Ángulo)

Si dos ángulos de un triángulo son iguales a dos ángulos de otro triángulo, son semejantes → Criterio AA satisfecho
3

Enuncia la conclusión

Como todos los ángulos correspondientes son iguales, los triángulos son semejantes → △ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF

Errores comunes

Confundir semejante con congruente

Por qué está mal: Las figuras congruentes tienen exactamente el mismo tamaño Y forma. Las figuras semejantes solo necesitan tener la misma forma - pueden ser de diferentes tamaños.

Correcto: Todas las figuras congruentes son semejantes (con factor de escala 1), pero las figuras semejantes no son necesariamente congruentes.

Asociar incorrectamente los lados al comparar figuras

Por qué está mal: Debes asociar lados que estén en la misma posición relativa a los ángulos, no solo lados de la misma longitud.

Correcto: Siempre identifica primero los ángulos correspondientes, luego asocia los lados que están opuestos a esos ángulos.

Usar la dirección incorrecta del factor de escala

Por qué está mal: El factor de escala depende de desde qué figura estés escalando. De pequeño a grande da un factor > 1, de grande a pequeño da un factor < 1.

Correcto: Siempre aclara: 'Factor de escala de la figura A a la figura B.' Si AA es más pequeña, el factor de escala será mayor que 1.

Visual interactivo

Triángulos semejantes

81210PQR121815STU△PQR ∼ △STU

LLLLos tres pares de lados están en la misma razón k.

  • ST : PQ = 12 : 8 = 1,5
  • TU : QR = 18 : 12 = 1,5
  • US : RP = 15 : 10 = 1,5

Mueve el control para cambiar la razón k. Los ángulos no cambian, cada lado se multiplica por k.

Cuadrícula de transformación

T(3, 2)
-10-10-8-8-6-6-4-4-2-2224466881010xy(2, 1)(4, 1)(3, 4)(5, 3)(7, 3)(6, 6)
OriginalTransformado

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Problemas de práctica

15 problemas
Problema 1 de 15
Fácil
Dos figuras son semejantes si tienen:

Por qué es importante

La semejanza es uno de los conceptos más útiles en geometría y aparece en todas partes:
  • Arquitectura: Los arquitectos crean maquetas a escala de edificios antes de la construcción
  • Mapas: Un mapa es una figura semejante al terreno real que representa
  • Fotografía: Ampliar o reducir una foto crea una imagen semejante
  • Arte: Los artistas usan la semejanza para crear profundidad y perspectiva
  • Ingeniería: Los ingenieros prueban modelos semejantes más pequeños antes de construir estructuras a tamaño real
¡Entender la semejanza te ayuda a trabajar con proporciones, predecir medidas y resolver problemas reales que involucran escala!

Aplicaciones del mundo real

Maquetas a escala en arquitectura

Los arquitectos construyen maquetas a escala de edificios para mostrar a clientes y probar diseños antes de la construcción.

Ejemplo:

Una maqueta a escala 1:100 significa que cada 1 cm en la maqueta representa 100 cm (1 metro) en el edificio real. Un edificio de 50 metros de alto sería de 50 cm en la maqueta.

1Inténtalo tú mismo

Un arquitecto hace una maqueta de una casa a escala 1:50. La maqueta mide 30 cm de largo.

¿Cuánto mide la casa real?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Calcula: 30×5030 \times 50

Lectura de mapas

Los mapas son figuras semejantes al terreno real que representan, usando una escala para convertir distancias.

Ejemplo:

En un mapa con escala 1:25000, 4 cm en el mapa representan 4 × 25000 = 100000 cm = 1 km de distancia real.

2Inténtalo tú mismo

En un mapa, dos ciudades están a 8 cm de distancia. La escala del mapa es 1:500000.

¿Cuál es la distancia real entre las ciudades en kilómetros?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Calcula: 8×5000008 \times 500000

Puntos clave

  • 1Las figuras semejantes tienen la misma forma pero no necesariamente el mismo tamaño
  • 2Para que las figuras sean semejantes: los ángulos correspondientes deben ser iguales Y los lados correspondientes deben ser proporcionales
  • 3El factor de escala es la razón entre los lados correspondientes de figuras semejantes
  • 4Puedes encontrar lados faltantes en figuras semejantes usando proporciones o el factor de escala
  • 5Símbolo de semejanza: ∼\sim (ej. △ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF)

Preguntas frecuentes

Las figuras congruentes tienen exactamente el mismo tamaño Y forma (factor de escala = 1). Las figuras semejantes tienen la misma forma pero pueden ser de diferentes tamaños. Todas las figuras congruentes son semejantes, pero no todas las figuras semejantes son congruentes.
Las figuras congruentes tienen exactamente el mismo tamaño Y forma (factor de escala = 1). Las figuras semejantes tienen la misma forma pero pueden ser de diferentes tamaños. Todas las figuras congruentes son semejantes, pero no todas las figuras semejantes son congruentes.
¡Sí! Cuando la segunda figura es más pequeña que la primera, el factor de escala es menor que 1. Por ejemplo, si la figura B es la mitad del tamaño de la figura A, el factor de escala de A a B es 0,50{,}5 o 12\frac{1}{2}.
¡Sí! Todos los cuadrados tienen cuatro ángulos rectos (90°) y cuatro lados iguales. Como los ángulos coinciden y los lados son proporcionales (todos multiplicados por el mismo factor de escala), todos los cuadrados son semejantes entre sí.

Glosario

Figuras semejantes
Figuras que tienen la misma forma pero no necesariamente el mismo tamaño
Ángulos correspondientes
Ángulos en la misma posición en figuras semejantes
Lados correspondientes
Lados en la misma posición en figuras semejantes
Factor de escala
La razón entre los lados correspondientes de figuras semejantes
Proporcional
Que tiene la misma razón
Reto de hoyUn problema, tres intentos

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