Polígonos regulares

Un **polígono regular** tiene **todos los lados iguales** Y **todos los ángulos iguales**. Hacen falta las dos condiciones: - Un **rombo** tiene cuatro lados iguales, pero sus ángulos no son todos iguales (por ejemplo $60°$ y $120°$), así que **no** es regular. - Un **rectángulo** tiene cuatro ángulos iguales ($90°$), pero sus lados no son todos iguales, así que **no** es regular. - Un **cuadrado** tiene las dos cosas, es un cuadrilátero regular. Todo polígono regular tiene un **centro** $O$, a la misma distancia de todos los vértices. Los segmentos del centro a los vértices dividen un polígono regular de $n$ lados en $n$ triángulos isósceles iguales. **Ángulos de un polígono regular de $n$ lados** (la suma $(n-2) \times 180°$ viene de la lección sobre la suma de ángulos): $$\text{ángulo interior} = \frac{(n-2) \times 180°}{n} \qquad \text{ángulo exterior} = \frac{360°}{n} \qquad \text{ángulo central} = \frac{360°}{n}$$ El **ángulo central** es el ángulo en el centro entre los segmentos hacia dos vértices vecinos. En un polígono regular es igual al ángulo exterior. **Longitudes:** el **radio** $r$ va del centro a un vértice, la **apotema** $a$ va del centro al punto medio de un lado y es perpendicular a él. **Perímetro y área** (lado $s$): $$P = n \cdot s \qquad A = \frac{1}{2} \cdot P \cdot a$$ **Mosaicos:** un polígono regular cubre el plano él solo únicamente si su ángulo interior divide a $360°$. Eso funciona exactamente para tres: el triángulo equilátero ($60°$), el cuadrado ($90°$) y el hexágono regular ($120°$).

¿Regular o no?

Decide qué figuras son polígonos regulares: un rombo con ángulos de $70°$ y $110°$, un rectángulo de 3 cm por 5 cm y un triángulo equilátero.

Comprueba el rombo: Los 4 lados son iguales, pero los ángulos miden $70°$ y $110°$ = Ángulos distintos: no es regular

Comprueba el rectángulo: Los 4 ángulos miden $90°$, pero los lados miden 3 cm y 5 cm = Lados distintos: no es regular

Comprueba el triángulo equilátero: Los 3 lados son iguales y los 3 ángulos miden $60°$ = Regular

Answer: Solo el triángulo equilátero es regular. El rombo falla en los ángulos, el rectángulo en los lados.

Los tres ángulos de un octágono regular

Halla el ángulo interior, el ángulo exterior y el ángulo central de un octágono regular.

Cuenta los lados: Un octágono tiene $n = 8$ lados = $n = 8$

Ángulo interior: $\frac{(8-2) \times 180°}{8} = \frac{1080°}{8}$ = $135°$

Ángulo exterior: $\frac{360°}{8}$ (comprobación: $180° - 135° = 45°$) = $45°$

Ángulo central: $\frac{360°}{8}$, la vuelta completa alrededor del centro repartida entre 8 triángulos = $45°$

Answer: Ángulo interior $135°$, ángulo exterior $45°$, ángulo central $45°$.

Hallar n a partir del ángulo interior

Cada ángulo interior de un polígono regular mide $144°$. ¿Cuántos lados tiene?

Halla el ángulo exterior: $180° - 144°$ = $36°$

Usa ángulo exterior $= \frac{360°}{n}$: $n = \frac{360°}{36°}$ = $n = 10$

Comprueba con la fórmula del ángulo interior: $\frac{(10-2) \times 180°}{10} = \frac{1440°}{10} = 144°$ = Correcto

Answer: El polígono tiene 10 lados: es un decágono regular.

Área con la apotema dada

Un pentágono regular tiene lados de 8 cm y una apotema de 5,5 cm. Calcula su área.

Calcula el perímetro: $P = 5 \cdot 8$ = $P = 40$ cm

Escribe la fórmula del área: $A = \frac{1}{2} \cdot P \cdot a$ = Fórmula lista

Sustituye: $A = \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot 5{,}5$ = $A = 110$ cm²

Answer: El área del pentágono es $110$ cm².

Área de un hexágono regular a partir del lado

Un hexágono regular tiene lados de 6 cm. Calcula su área sin que te den la apotema.

Divídelo en 6 triángulos desde el centro: Ángulo central $\frac{360°}{6} = 60°$, ángulos de la base $\frac{180° - 60°}{2} = 60°$ = 6 triángulos equiláteros de lado 6 cm

La apotema es la altura de un triángulo: $a = \sqrt{6^2 - 3^2} = \sqrt{27}$ = $a \approx 5{,}196$ cm

Área de un triángulo: $\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 5{,}196$ = $\approx 15{,}59$ cm²

Área del hexágono: $6 \cdot 15{,}588 \approx 93{,}53$ (comprobación: $\frac{1}{2} \cdot 36 \cdot 5{,}196 \approx 93{,}53$) = $A \approx 93{,}53$ cm²

Answer: El área es de unos $93{,}53$ cm² (exactamente $54\sqrt{3}$ cm²).

Los polígonos regulares son las formas que se eligen cuando todo debe ser justo, resistente o fácil de repetir: - **Naturaleza**: las abejas construyen celdas hexagonales en sus panales. Los hexágonos llenan el espacio sin huecos y gastan la menor cantidad de cera en las paredes. - **Señales de tráfico**: la señal de stop es un octágono regular, así los conductores reconocen su forma incluso por detrás. - **Suelos y paredes**: las baldosas son cuadrados, triángulos o hexágonos, los únicos polígonos regulares que cubren un suelo sin huecos. - **Mecánica**: las tuercas y las cabezas de tornillo son hexágonos regulares, así una llave encaja desde seis direcciones. - **Diseño y construcción**: cenadores, mesas y ventanas usan octágonos y pentágonos regulares; el ángulo central le dice al carpintero cómo cortar cada pieza. Con las fórmulas de esta lección hallas cualquier ángulo, el perímetro y el área de un polígono regular a partir del número de lados y una sola longitud.

Mistake: Decir que un rombo es regular porque todos sus lados son iguales

Why: Lados iguales son solo la mitad de la definición. Un rombo puede tener ángulos de $60°$ y $120°$.

Correct: Un polígono es regular solo si todos los lados Y todos los ángulos son iguales. Comprueba siempre las dos cosas.

Mistake: Olvidar dividir entre $n$: dar $(n-2) \times 180°$ como un solo ángulo interior

Why: $(n-2) \times 180°$ es la SUMA de todos los ángulos interiores, $720°$ en un hexágono, demasiado para un solo ángulo.

Correct: Un ángulo interior de un polígono regular de $n$ lados es $\frac{(n-2) \times 180°}{n}$, en un hexágono $\frac{720°}{6} = 120°$.

Mistake: Hallar $n$ dividiendo $360°$ entre el ángulo INTERIOR

Why: Con un ángulo interior de $144°$ sale $\frac{360}{144} = 2{,}5$ lados, algo imposible. Solo el ángulo exterior cumple $\frac{360°}{n}$.

Correct: Halla primero el ángulo exterior $180° - 144° = 36°$ y después $n = \frac{360°}{36°} = 10$.

Mistake: Usar el lado o el radio en lugar de la apotema en $A = \frac{1}{2} P a$

Why: El radio llega a un vértice y es más largo que la apotema. Solo la apotema es perpendicular al lado, así que solo ella es la altura de cada triángulo.

Correct: Usa la apotema: la distancia perpendicular del centro al punto medio de un lado.

Panales y baldosas hexagonales

Las abejas y los fabricantes de baldosas usan hexágonos regulares, porque exactamente tres encajan alrededor de un punto sin dejar hueco.

Los cuadrados encajan de 4 en 4 alrededor de un punto ($4 \cdot 90° = 360°$), los triángulos equiláteros de 6 en 6 ($6 \cdot 60° = 360°$).

Señales de stop

Una señal de stop es un octágono regular. Los fabricantes usan el área para saber cuánta lámina reflectante necesita cada señal.

Un octágono regular de lado 25 cm tiene una apotema de unos 30,2 cm.

El suelo de un cenador

El suelo de un cenador octogonal está hecho de 8 secciones triangulares de madera iguales que se juntan en el centro.

Cada sección tiene en su punta, en el centro, el ángulo central $\frac{360°}{8} = 45°$.

Un polígono regular tiene todos los lados iguales Y todos los ángulos iguales; un rombo y un rectángulo no son regulares

Ángulo interior de un polígono regular de $n$ lados: $\frac{(n-2) \times 180°}{n}$

El ángulo exterior y el ángulo central valen los dos $\frac{360°}{n}$

Para hallar $n$ a partir de un ángulo interior, toma primero el ángulo exterior $180° - \text{interior}$ y después $n = \frac{360°}{\text{exterior}}$

Perímetro $P = n \cdot s$ y área $A = \frac{1}{2} \cdot P \cdot a$, donde la apotema $a$ va del centro al punto medio de un lado

Solo el triángulo equilátero, el cuadrado y el hexágono regular cubren un suelo por sí solos, porque $60°$, $90°$ y $120°$ dividen a $360°$

Q: ¿Todo triángulo con tres lados iguales es regular?

A: Sí. En los triángulos, lados iguales obligan a ángulos iguales, así que todo triángulo equilátero tiene tres ángulos de $60°$. A partir de cuatro lados ya no es así: un rombo tiene lados iguales pero puede tener ángulos distintos.

Q: ¿Por qué el ángulo exterior y el ángulo central son iguales?

A: Los dos reparten los $360°$ de una vuelta completa en $n$ partes iguales: los ángulos exteriores son los $n$ giros de un paseo alrededor del polígono, los ángulos centrales son las $n$ porciones alrededor del centro. Por eso los dos valen $\frac{360°}{n}$.

Q: ¿Por qué un pentágono regular no puede cubrir un suelo?

A: Su ángulo interior mide $108°$. Tres suman $324°$ y dejan un hueco de $36°$, cuatro sumarían $432°$ y se solaparían. Como $\frac{360}{108}$ no es un número entero, los pentágonos no encajan sin huecos.

Q: ¿Cuántos ejes de simetría tiene un polígono regular?

A: Un polígono regular de $n$ lados tiene $n$ ejes de simetría, por ejemplo 6 un hexágono regular. La lección sobre simetría en los polígonos estudia estos ejes y los giros con detalle.

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Polígonos regulares

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Geometría / Polígonos

Polígonos regulares

Aprende qué hace que un polígono sea regular, cómo hallar sus ángulos interiores, exteriores y centrales, su perímetro y su área, y qué polígonos regulares embaldosan un suelo.

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