Polígonos regulares

Aprende qué hace que un polígono sea regular, cómo hallar sus ángulos interiores, exteriores y centrales, su perímetro y su área, y qué polígonos regulares embaldosan un suelo.

Intermedio25 minLección
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Definición

Un polígono regular tiene todos los lados iguales Y todos los ángulos iguales. Hacen falta las dos condiciones:
  • Un rombo tiene cuatro lados iguales, pero sus ángulos no son todos iguales (por ejemplo 60°60° y 120°120°), así que no es regular.
  • Un rectángulo tiene cuatro ángulos iguales (90°90°), pero sus lados no son todos iguales, así que no es regular.
  • Un cuadrado tiene las dos cosas, es un cuadrilátero regular.
Todo polígono regular tiene un centro OO, a la misma distancia de todos los vértices. Los segmentos del centro a los vértices dividen un polígono regular de nn lados en nn triángulos isósceles iguales.
**Ángulos de un polígono regular de nn lados** (la suma (n−2)×180°(n-2) \times 180° viene de la lección sobre la suma de ángulos):
aˊngulo interior=(n−2)×180°naˊngulo exterior=360°naˊngulo central=360°n\text{ángulo interior} = \frac{(n-2) \times 180°}{n} \qquad \text{ángulo exterior} = \frac{360°}{n} \qquad \text{ángulo central} = \frac{360°}{n}
El ángulo central es el ángulo en el centro entre los segmentos hacia dos vértices vecinos. En un polígono regular es igual al ángulo exterior.
Longitudes: el radio rr va del centro a un vértice, la apotema aa va del centro al punto medio de un lado y es perpendicular a él.
Perímetro y área (lado ss):
P=n⋅sA=12⋅P⋅aP = n \cdot s \qquad A = \frac{1}{2} \cdot P \cdot a
Mosaicos: un polígono regular cubre el plano él solo únicamente si su ángulo interior divide a 360°360°. Eso funciona exactamente para tres: el triángulo equilátero (60°60°), el cuadrado (90°90°) y el hexágono regular (120°120°).

Pruébalo ahora

¿Cuánto mide cada ángulo exterior de un decágono regular (10 lados), en grados?

Ejemplos resueltos

Decide qué figuras son polígonos regulares: un rombo con ángulos de 70°70° y 110°110°, un rectángulo de 3 cm por 5 cm y un triángulo equilátero.
1

Comprueba el rombo

Los 4 lados son iguales, pero los ángulos miden 70°70° y 110°110° → Ángulos distintos: no es regular
2

Comprueba el rectángulo

Los 4 ángulos miden 90°90°, pero los lados miden 3 cm y 5 cm → Lados distintos: no es regular
3

Comprueba el triángulo equilátero

Los 3 lados son iguales y los 3 ángulos miden 60°60° → Regular

Errores comunes

Decir que un rombo es regular porque todos sus lados son iguales

Por qué está mal: Lados iguales son solo la mitad de la definición. Un rombo puede tener ángulos de 60°60° y 120°120°.

Correcto: Un polígono es regular solo si todos los lados Y todos los ángulos son iguales. Comprueba siempre las dos cosas.

Olvidar dividir entre nn: dar (n−2)×180°(n-2) \times 180° como un solo ángulo interior

Por qué está mal: (n−2)×180°(n-2) \times 180° es la SUMA de todos los ángulos interiores, 720°720° en un hexágono, demasiado para un solo ángulo.

Correcto: Un ángulo interior de un polígono regular de nn lados es (n−2)×180°n\frac{(n-2) \times 180°}{n}, en un hexágono 720°6=120°\frac{720°}{6} = 120°.

Hallar nn dividiendo 360°360° entre el ángulo INTERIOR

Por qué está mal: Con un ángulo interior de 144°144° sale 360144=2,5\frac{360}{144} = 2{,}5 lados, algo imposible. Solo el ángulo exterior cumple 360°n\frac{360°}{n}.

Correcto: Halla primero el ángulo exterior 180°−144°=36°180° - 144° = 36° y después n=360°36°=10n = \frac{360°}{36°} = 10.

Usar el lado o el radio en lugar de la apotema en A=12PaA = \frac{1}{2} P a

Por qué está mal: El radio llega a un vértice y es más largo que la apotema. Solo la apotema es perpendicular al lado, así que solo ella es la altura de cada triángulo.

Correcto: Usa la apotema: la distancia perpendicular del centro al punto medio de un lado.

Visual interactivo

Polígono regular

60°as = 6 cm

Ángulo central

360∘÷6=60∘360^\circ \div 6 = 60^\circ

Cada ángulo interior

(6−2)⋅180∘6=120∘\dfrac{(6 - 2) \cdot 180^\circ}{6} = 120^\circ

Cada ángulo exterior

180∘−120∘=60∘180^\circ - 120^\circ = 60^\circ

Perímetro

P=n⋅s=6⋅6=36 cmP = n \cdot s = 6 \cdot 6 = 36\,\text{cm}

Apotema (del centro al punto medio de un lado)

a=s2tan⁡(180∘÷6)≈5,2 cma = \dfrac{s}{2\tan(180^\circ \div 6)} \approx 5{,}2\,\text{cm}

Área

A=12⋅P⋅a≈12⋅36⋅5,196≈93,53 cm2A = \tfrac{1}{2} \cdot P \cdot a \approx \tfrac{1}{2} \cdot 36 \cdot 5{,}196 \approx 93{,}53\,\text{cm}^2

Los radios dividen un polígono regular en n triángulos isósceles congruentes. Cada uno tiene base s y altura a, así que el área es n · ½ · s · a = ½ · P · a.

Gráfica de la función

-4-2024-4-2024xy3 × 120° = 360°120°120°120°

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Problemas de práctica

18 problemas
Problema 1 de 18
Fácil
¿Cuál de estas figuras es un polígono regular?

Por qué es importante

Los polígonos regulares son las formas que se eligen cuando todo debe ser justo, resistente o fácil de repetir:
  • Naturaleza: las abejas construyen celdas hexagonales en sus panales. Los hexágonos llenan el espacio sin huecos y gastan la menor cantidad de cera en las paredes.
  • Señales de tráfico: la señal de stop es un octágono regular, así los conductores reconocen su forma incluso por detrás.
  • Suelos y paredes: las baldosas son cuadrados, triángulos o hexágonos, los únicos polígonos regulares que cubren un suelo sin huecos.
  • Mecánica: las tuercas y las cabezas de tornillo son hexágonos regulares, así una llave encaja desde seis direcciones.
  • Diseño y construcción: cenadores, mesas y ventanas usan octágonos y pentágonos regulares; el ángulo central le dice al carpintero cómo cortar cada pieza.
Con las fórmulas de esta lección hallas cualquier ángulo, el perímetro y el área de un polígono regular a partir del número de lados y una sola longitud.

Aplicaciones del mundo real

Panales y baldosas hexagonales

Las abejas y los fabricantes de baldosas usan hexágonos regulares, porque exactamente tres encajan alrededor de un punto sin dejar hueco.

Ejemplo:

Los cuadrados encajan de 4 en 4 alrededor de un punto (4⋅90°=360°4 \cdot 90° = 360°), los triángulos equiláteros de 6 en 6 (6⋅60°=360°6 \cdot 60° = 360°).

1Inténtalo tú mismo

Un alicatador quiere cubrir el suelo de un baño solo con hexágonos regulares.

¿Cuántos hexágonos se juntan en cada vértice?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Divide el ángulo completo alrededor de un punto entre un ángulo interior:

Señales de stop

Una señal de stop es un octágono regular. Los fabricantes usan el área para saber cuánta lámina reflectante necesita cada señal.

Ejemplo:

Un octágono regular de lado 25 cm tiene una apotema de unos 30,2 cm.

2Inténtalo tú mismo

Una señal de stop es un octágono regular con lados de 25 cm y una apotema de 30,2 cm.

¿Cuántos centímetros cuadrados de lámina reflectante cubren toda la señal?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Usa A=12⋅P⋅aA = \frac{1}{2} \cdot P \cdot a:

El suelo de un cenador

El suelo de un cenador octogonal está hecho de 8 secciones triangulares de madera iguales que se juntan en el centro.

Ejemplo:

Cada sección tiene en su punta, en el centro, el ángulo central 360°8=45°\frac{360°}{8} = 45°.

3Inténtalo tú mismo

Una carpintera corta los 8 triángulos isósceles del suelo de un cenador octogonal regular.

¿Con qué ángulo debe cortar cada una de las dos esquinas de la base de un triángulo?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Resta el ángulo central de 180°180° y reparte el resto a partes iguales:

Puntos clave

  • 1Un polígono regular tiene todos los lados iguales Y todos los ángulos iguales; un rombo y un rectángulo no son regulares
  • 2Ángulo interior de un polígono regular de nn lados: (n−2)×180°n\frac{(n-2) \times 180°}{n}
  • 3El ángulo exterior y el ángulo central valen los dos 360°n\frac{360°}{n}
  • 4Para hallar nn a partir de un ángulo interior, toma primero el ángulo exterior 180°−interior180° - \text{interior} y después n=360°exteriorn = \frac{360°}{\text{exterior}}
  • 5Perímetro P=n⋅sP = n \cdot s y área A=12⋅P⋅aA = \frac{1}{2} \cdot P \cdot a, donde la apotema aa va del centro al punto medio de un lado
  • 6Solo el triángulo equilátero, el cuadrado y el hexágono regular cubren un suelo por sí solos, porque 60°60°, 90°90° y 120°120° dividen a 360°360°

Preguntas frecuentes

Sí. En los triángulos, lados iguales obligan a ángulos iguales, así que todo triángulo equilátero tiene tres ángulos de 60°60°. A partir de cuatro lados ya no es así: un rombo tiene lados iguales pero puede tener ángulos distintos.
Sí. En los triángulos, lados iguales obligan a ángulos iguales, así que todo triángulo equilátero tiene tres ángulos de 60°60°. A partir de cuatro lados ya no es así: un rombo tiene lados iguales pero puede tener ángulos distintos.
Los dos reparten los 360°360° de una vuelta completa en nn partes iguales: los ángulos exteriores son los nn giros de un paseo alrededor del polígono, los ángulos centrales son las nn porciones alrededor del centro. Por eso los dos valen 360°n\frac{360°}{n}.
Su ángulo interior mide 108°108°. Tres suman 324°324° y dejan un hueco de 36°36°, cuatro sumarían 432°432° y se solaparían. Como 360108\frac{360}{108} no es un número entero, los pentágonos no encajan sin huecos.
Un polígono regular de nn lados tiene nn ejes de simetría, por ejemplo 6 un hexágono regular. La lección sobre simetría en los polígonos estudia estos ejes y los giros con detalle.

Glosario

Polígono regular
Un polígono con todos los lados iguales y todos los ángulos iguales.
Centro
El punto interior de un polígono regular que está a la misma distancia de todos los vértices.
Ángulo central
El ángulo en el centro entre los segmentos hacia dos vértices vecinos: 360°n\frac{360°}{n}.
Radio
La distancia del centro de un polígono regular a un vértice.
Apotema
La distancia perpendicular del centro de un polígono regular al punto medio de un lado.
Mosaico (teselado)
Un patrón de figuras que cubre una superficie plana sin huecos ni solapamientos.

Tarjeta de fórmulas

Ángulo interior

(n−2)×180°n\frac{(n-2) \times 180°}{n}

Un ángulo dentro de un polígono regular de $n$ lados

Ángulo exterior y ángulo central

360°n\frac{360°}{n}

El giro en cada vértice y el ángulo en el centro para un lado

Número de lados

n=360°aˊngulo exteriorn = \frac{360°}{\text{ángulo exterior}}

Ángulo exterior $= 180° - $ ángulo interior

Perímetro

P=n⋅sP = n \cdot s

Número de lados por la longitud del lado

Área

A=12⋅P⋅aA = \frac{1}{2} \cdot P \cdot a

La mitad del perímetro por la apotema $a$

Reto de hoyUn problema, tres intentos

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