Encontrar el dominio a partir de un gráfico

Encuentra el dominio de la función mostrada, cuyo gráfico existe desde $x = -3$ hasta $x = 5$.

Identifica el valor más pequeño de x: El gráfico comienza en $x = -3$ = Límite izquierdo: $-3$

Identifica el valor más grande de x: El gráfico termina en $x = 5$ = Límite derecho: $5$

Escribe en notación de intervalo: Todos los valores de x desde $-3$ hasta $5$, inclusive = $[-3, 5]$

Escribe en notación de conjuntos (alternativa): $\{x \mid -3 \leq x \leq 5\}$ = "x tal que x está entre -3 y 5"

Answer: Dominio: $[-3, 5]$ o $\{x \mid -3 \leq x \leq 5\}$

Encontrar el rango a partir de un gráfico

Encuentra el rango de una parábola con vértice en $(0, -4)$ que abre hacia arriba.

Encuentra el valor mínimo de y: El vértice es el punto más bajo en $y = -4$ = Mínimo: $y = -4$

Determina el valor máximo de y: La parábola sube hasta el infinito = Máximo: $\infty$

Escribe en notación de intervalo: Todos los valores de y desde $-4$ hasta infinito = $[-4, \infty)$

Interpreta: La función produce todos los valores $\geq -4$ = El rango incluye $-4$ y todos los valores mayores

Answer: Rango: $[-4, \infty)$ o $\{y \mid y \geq -4\}$

Dominio con restricciones

Encuentra el dominio de $f(x) = \frac{1}{x-2}$

Identifica las restricciones: Una fracción es indefinida cuando el denominador es igual a cero = Condición: $x - 2 \neq 0$

Resuelve para el valor restringido: $x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$ = $x \neq 2$

Escribe el dominio: Todos los números reales excepto 2 = $(-\infty, 2) \cup (2, \infty)$

Verifica: En $x = 2$: $f(2) = \frac{1}{0}$ es indefinido = Restricción confirmada

Answer: Dominio: $(-\infty, 2) \cup (2, \infty)$ o $\{x \mid x \neq 2\}$

Dominio de una función raíz cuadrada

Encuentra el dominio de $g(x) = \sqrt{x + 3}$

Recuerda la restricción: La expresión bajo una raíz cuadrada debe ser $\geq 0$ = Condición: $x + 3 \geq 0$

Resuelve la desigualdad: $x + 3 \geq 0 \Rightarrow x \geq -3$ = $x \geq -3$

Escribe en notación de intervalo: Todos los valores de x desde $-3$ hasta infinito = $[-3, \infty)$

Comprueba el límite: En $x = -3$: $\sqrt{-3+3} = \sqrt{0} = 0$ (válido) = $-3$ está incluido

Answer: Dominio: $[-3, \infty)$ o $\{x \mid x \geq -3\}$

Dominio y rango a partir de una ecuación

Encuentra el dominio y el rango de $f(x) = x^2 - 1$

Comprueba las restricciones de dominio: Sin fracciones (sin división por cero) y sin raíces cuadradas (nada negativo bajo la raíz) = Sin restricciones

Indica el dominio: Cualquier número real puede elevarse al cuadrado = Dominio: $(-\infty, \infty)$

Encuentra la salida mínima: Como $x^2 \geq 0$ para todo x, el mínimo de $x^2 - 1$ es $0 - 1 = -1$ = Valor mínimo de y: $-1$

Indica el rango: La parábola abre hacia arriba desde $y = -1$ = Rango: $[-1, \infty)$

Answer: Dominio: $(-\infty, \infty)$, Rango: $[-1, \infty)$

Mistake: Confundir dominio con rango

Why: Ambos términos describen conjuntos de valores, pero se aplican a variables diferentes.

Correct: Dominio = valores de x (horizontal, entradas). Rango = valores de y (vertical, salidas). Recuerda: "D" viene antes de "R" alfabéticamente, igual que x viene antes de y.

Mistake: Olvidar excluir valores que hacen el denominador cero

Why: La división por cero es indefinida, por lo que esos valores de x no pueden estar en el dominio.

Correct: Siempre comprueba si hay una variable en el denominador. Establece denominador $\neq 0$ y resuelve.

Mistake: Usar la notación incorrecta de corchetes

Why: Los corchetes $[ ]$ incluyen los extremos; los paréntesis $( )$ los excluyen.

Correct: $[a, b]$ significa $a \leq x \leq b$ (incluye a y b). $(a, b)$ significa $a < x < b$ (excluye a y b). Siempre usa $( )$ con $\infty$.

Mistake: Asumir que todas las funciones tienen dominio $(-\infty, \infty)$

Why: Muchas funciones tienen restricciones naturales por fracciones, raíces cuadradas o contextos del mundo real.

Correct: Comprueba: división por cero, raíces cuadradas de números negativos, logaritmos de números no positivos y límites contextuales.

Movimiento de proyectiles

Cuando se lanza una pelota, su altura en función del tiempo es una función con dominio y rango restringidos.

Si $h(t) = -5t^2 + 20t$ modela la altura en metros después de t segundos, el dominio es $[0, 4]$ (tiempo desde el lanzamiento hasta el aterrizaje) y el rango es $[0, 20]$ (nivel del suelo hasta la altura máxima).

Funciones de precios

Las empresas usan funciones para modelar precios, con dominios restringidos a cantidades realistas.

Si $P(x) = 100 - 2x$ da el precio por unidad al vender x unidades, el dominio podría ser $[0, 50]$ (no se pueden vender unidades negativas, y el precio no puede bajar de cero).

Q: ¿Cómo sé si un extremo debe usar corchete o paréntesis?

A: Usa un corchete $[ ]$ si el extremo está incluido en el conjunto (punto sólido en el gráfico, $\leq$ o $\geq$ en la desigualdad). Usa paréntesis $( )$ si está excluido (punto abierto, $<$ o $>$). Siempre usa paréntesis con infinito ya que infinito no es un número.

Q: ¿Qué pasa si una función no tiene restricciones?

A: Entonces el dominio es todos los números reales: $(-\infty, \infty)$ o $\mathbb{R}$. Esto es común para polinomios sin fracciones ni raíces, como $f(x) = 2x + 3$ o $g(x) = x^3 - x$.

Q: ¿Cómo encuentro el rango sin graficar?

A: Considera qué salidas son posibles. Para funciones cuadráticas, encuentra el vértice (mínimo o máximo). Para raíces cuadradas, las salidas siempre son $\geq 0$. Para funciones racionales, comprueba las asíntotas horizontales. ¡A veces graficar es el método más fácil!