Dominio y recorrido

Aprende a identificar el dominio (valores de entrada) y el recorrido (valores de salida) de una función.

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Definición

El dominio de una función es el conjunto de todos los posibles valores de entrada (valores de x) que la función puede aceptar.
El recorrido (también llamado imagen o rango) de una función es el conjunto de todos los posibles valores de salida (valores de y) que la función puede producir.
Piensa en una función como una máquina:
  • Dominio: Lo que puedes poner DENTRO de la máquina
  • Recorrido: Lo que SALE de la máquina
Dominio→funcioˊnRecorrido\text{Dominio} \xrightarrow{\text{función}} \text{Recorrido}
x→ff(x)=yx \xrightarrow{f} f(x) = y

Pruébalo ahora

¿Qué representa el dominio de una función?

Ejemplos resueltos

Encuentra el dominio de la función mostrada: su gráfica empieza en un punto relleno en x=−3x = -3 y termina en un punto relleno en x=5x = 5.
1

Identifica el valor más pequeño de x

El gráfico comienza en x=−3x = -3 → Límite izquierdo: −3-3
2

Identifica el valor más grande de x

El gráfico termina en x=5x = 5 → Límite derecho: 55
3

Escribe en notación de intervalo

Todos los valores de x desde −3-3 hasta 55, inclusive → [−3,5][-3, 5]
4

Escribe en notación de conjuntos (alternativa)

{x∣−3≤x≤5}\{x \mid -3 \leq x \leq 5\} → "x tal que x está entre -3 y 5"

Errores comunes

Confundir dominio con recorrido

Por qué está mal: Ambos términos describen conjuntos de valores, pero se aplican a variables diferentes.

Correcto: Dominio = valores de x (horizontal, entradas). Recorrido = valores de y (vertical, salidas). Recuerda: "D" viene antes de "R" alfabéticamente, igual que x viene antes de y.

Olvidar excluir valores que hacen el denominador cero

Por qué está mal: La división por cero no está definida, por lo que esos valores de x no pueden estar en el dominio.

Correcto: Siempre comprueba si hay una variable en el denominador. Establece denominador ≠0\neq 0 y resuelve.

Usar la notación incorrecta de corchetes

Por qué está mal: Los corchetes [][ ] incluyen los extremos; los paréntesis ()( ) los excluyen.

Correcto: [a,b][a, b] significa a≤x≤ba \leq x \leq b (incluye a y b). (a,b)(a, b) significa a<x<ba < x < b (excluye a y b). Siempre usa ()( ) con ∞\infty.

Asumir que todas las funciones tienen dominio (−∞,∞)(-\infty, \infty)

Por qué está mal: Muchas funciones tienen restricciones naturales por fracciones, raíces cuadradas o contextos del mundo real.

Correcto: Comprueba: división por cero, raíces cuadradas de números negativos, logaritmos de números no positivos y límites contextuales.

Visual interactivo

Gráfica de la función

-4-2024-202468xy(0; -1)(-3; 0)

Toca la gráfica o pasa el ratón por encima para leer los valores.

f(x) = x² − 1g(x) = √(x + 3)
  • Vértice: (0; -1)
a

x < 2 o x > 2·(−∞, 2) ∪ (2, ∞)

Haz clic en los números para seleccionarlos. Ajusta el rango para explorar diferentes valores.

Sandbox interactivo

Graficador interactivo

-10-50510-10-50510xy

Toca la gráfica o pasa el ratón por encima para leer los valores.

Prueba estos ejemplos:

x^2 - 1

Calculadora de expresiones

Prueba estos:

Historial

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Problemas de práctica

16 problemas
Problema 1 de 16
Fácil
¿Qué representa el dominio de una función?

Por qué es importante

Comprender el dominio y el recorrido te ayuda a:
  • Evitar errores matemáticos: No puedes sacar la raíz cuadrada de un número negativo (en los reales), por lo que f(x)=xf(x) = \sqrt{x} tiene restricciones de dominio
  • Interpretar situaciones reales: Una función que modela la altura en función del tiempo tiene un recorrido limitado por restricciones físicas
  • Entender el comportamiento de las funciones: El dominio te dice dónde "vive" una función en el eje x; el recorrido te dice su extensión vertical
  • Resolver problemas correctamente: Muchos problemas contextualizados requieren encontrar valores realistas dentro del dominio y recorrido de una función

Aplicaciones del mundo real

Movimiento de proyectiles

Cuando se lanza una pelota, su altura en función del tiempo es una función con dominio y recorrido restringidos.

Ejemplo:

Si h(t)=−5t2+20th(t) = -5t^2 + 20t modela la altura en metros después de t segundos, el dominio es [0,4][0, 4] (tiempo desde el lanzamiento hasta el aterrizaje) y el recorrido es [0,20][0, 20] (nivel del suelo hasta la altura máxima).

1Inténtalo tú mismo

La altura de un cohete se modela con h(t)=−4t2+32th(t) = -4t^2 + 32t donde t está en segundos.

¿Cuál es la altura máxima (parte superior del recorrido)?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Halla el instante del vértice t=−b2at = \frac{-b}{2a} y luego la altura hh en ese instante:

Funciones de precios

Las empresas usan funciones para modelar precios, con dominios restringidos a cantidades realistas.

Ejemplo:

Si P(x)=100−2xP(x) = 100 - 2x da el precio por unidad al vender x unidades, el dominio podría ser [0,50][0, 50] (no se pueden vender unidades negativas, y el precio no puede bajar de cero).

2Inténtalo tú mismo

La función de beneficio de una tienda es P(x)=−x2+50x−400P(x) = -x^2 + 50x - 400, donde x es el número de artículos vendidos.

La tienda no quiere tener pérdidas, así que P(x)≥0P(x) \geq 0. ¿Cuál es el mayor número de artículos de este dominio realista?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Resuelve −x2+50x−400≥0-x^2 + 50x - 400 \geq 0 y da el extremo derecho:

Puntos clave

  • 1El dominio es el conjunto de todos los valores de entrada válidos (valores de x) para una función
  • 2El recorrido es el conjunto de todos los valores de salida posibles (valores de y) que una función puede producir
  • 3Restricciones comunes de dominio: denominadores ≠0\neq 0, argumentos de raíz ≥0\geq 0
  • 4Usa notación de intervalo con [][ ] para extremos incluidos y ()( ) para extremos excluidos
  • 5Siempre usa paréntesis con infinito: (−∞,a](-\infty, a] o [b,∞)[b, \infty)

Preguntas frecuentes

Usa un corchete [][ ] si el extremo está incluido en el conjunto (punto sólido en el gráfico, ≤\leq o ≥\geq en la inecuación). Usa paréntesis ()( ) si está excluido (punto abierto, << o >>). Siempre usa paréntesis con infinito ya que infinito no es un número.
Usa un corchete [][ ] si el extremo está incluido en el conjunto (punto sólido en el gráfico, ≤\leq o ≥\geq en la inecuación). Usa paréntesis ()( ) si está excluido (punto abierto, << o >>). Siempre usa paréntesis con infinito ya que infinito no es un número.
Entonces el dominio es todos los números reales: (−∞,∞)(-\infty, \infty) o R\mathbb{R}. Esto es común para polinomios sin fracciones ni raíces, como f(x)=2x+3f(x) = 2x + 3 o g(x)=x3−xg(x) = x^3 - x.
Considera qué salidas son posibles. Para funciones cuadráticas, encuentra el vértice (mínimo o máximo). Para raíces cuadradas, las salidas siempre son ≥0\geq 0. Para funciones racionales, comprueba las asíntotas horizontales. ¡A veces graficar es el método más fácil!

Glosario

Dominio
El conjunto de todos los valores de entrada válidos (valores de x) para una función
Recorrido
El conjunto de todos los valores de salida posibles (valores de y) de una función
Notación de intervalo
Una forma de escribir conjuntos usando corchetes y paréntesis, ej. [−3,5)[-3, 5)
Notación de conjuntos
Una forma de describir conjuntos usando condiciones, ej. {x∣x>0}\{x \mid x > 0\}
Restricción
Un valor que no puede estar en el dominio debido a reglas matemáticas
Reto de hoyUn problema, tres intentos

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